中考数学知识点与经典题型练习 最值问题中的胡不归模型(解析版)

专题18最值问题中的胡不归模型

解决方构造射线4。使得SinNDAN=A,CHIAC=k,CH=kAC.

案

一、单选题

1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-r+公+3的图像与X轴交于A、C两点，与

X轴交于点C(3,0),若P是X轴上一动点，点。的坐标为(0,-1),连接PC,则&PD+PC的

32—

ʌ.4B.2+2夜C.2∖[2D.—+~∖∕2

【答案】A

【分析】过点P作/VL8C于J,过点。作LBC于，，根据

√2PD+PC=√2P。+乎PC）=&（PO+R/）,求出OP+/V的最小值即可解决问题.

【详解】解：连接BC,过点P作RZLBC于J,过点。作。HJ_8C于，.

；二次函数y=+笈+3的图像与X轴交于点C(3,0),

J.h=2,

；•二次函数的解析式为y=-V+2x+3,令y=0,-f+2x+3=0,

解得X=-1或3,

ΛA(-1,0),

令X=0,)=3,

：.B(0,3),

・・・OB=OC=3,

VZBOC=90o,

JNOBC=NoC5=45。，

VD(0,-1),

ΛOD=I,BD=A9

u

∖DHLBCt

ΛZDWB=90o,

设O∕∕=x,则3H=x,

VD/72+BH2=BD2,

∙'∙X2÷X2=42,

ʌx=2√2,

：・DW=2√2，

9JPJLCB,

・•・ZPJC=90o,

:・PJ=-PC,

2

.∙.√2PD+PC=√2PD+券PcJ=√Σ(PO+∕V),

,.∙DP+PJ≥DH,

∙'∙DP+PJ≥2√2，

∙∙.OP+PJ的最小值为2&,

√2PD+PC的最小值为4.

故选:A.

【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短

等知识，得到NOBC=NOCB=45。，PJ=变PC是解题的关键.

2

2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数)，=f-2r+c的图象与X轴交于4、C两点,与y

轴交于点8(0,-3),若P是X轴上一动点，点。(0,1)在y轴上，连接PZ),则夜PD

+PC的最小值是()

A.4B.2+2√2C.2√2D.∣+∣√2

【答案】A

【分析】过点P作/V,Be于J,过点。作。儿L8C于根据

0PD+PC=上[PD+qPC]=&(PO+刊)，求出。P+PJ的最小值即可解决问题.

‹)

【详解】解：过点P作尸∙ΛL8C于J,过点。作LBC于从

：二次函数y=x2-2r+c的图象与y轴交于点8(0,-3),

Λc=-3,

工二次函数的解析式为y=x2-2x-3,令y=0,x2-2x-3=0,

解得冗=-1或3,

ΛA(-1,0),B(0,-3),

：.OB=OC=3,

,：NBOC=90。，

；・NOBC=NOCB=45。,

VD(0,1),

ΛOD=I,BD=4,

VDHLBC,

・・・/。"8=90。，

设Q"=x,则BH=%,

DH2+BH2=BD1

X2+X2=42,

.∙∙x=2√∑,

・•・D∕7=2√2，

VPJlCB,

・・・ZPJC=90o,

Λ√2PD+PC=√2尸。+干尸Cj=√Σ(PO+∕V),

•：DP+PJ≥DH,

JDP+PJ≥2√2，

・・・OP+/V的最小值为2&,

；・y∕2PD+PC的最小值为4.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短

等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.

二、填空题

3.如图，矩形ABC。中A5=3,BC=C,E为线段AB上一动点，连接“，则/AE+CE

的最小值为_.

D

aEb

【答案】3

【详解】思路引领：在射线AB的下方作NMAB=30。，过点E作ETLAM于T,过点C作

C//L4M于，.易证ET=gAE,推出;4E+EC=CE+E7≥C”,求出CH即可解决问题.

答案详解：∙.∙四边形ABCO是矩形，

ΛZβ=90o,

・/CAQCBy/3

・・tan2_(JΛH==—,

AB3

.∖ZCAB=30°,

,AC=2BC=2yβ,

在射线AB的卜,方作/MAB=30。，过点E作ETJ_AM于T,过点C作C4_LAM于".

,.,ZCAH=60o,NCHA=90。,AC=2√3,

ΛCH=AC∙sin6o=2√3×-=3,

,/-AE+EC=CE+ET>CH,

2

."ΛAE+EC>3,

.∙.JAE+EC的最小值为3,

故答案为3.

4.如图，在Z∖ACE中，CA=CE,ZCAE=30°,半径为5的O经过点C,CE是圆。的

切线，且圆的直径A3在线段AE上，设点。是线段AC上任意一点（不含端点），则

OO+gα＞的最小值为.

【分析】过点C作关于4E的平行线，过点。作垂直于该平行线于H,可将38转化

为DH,此时8+}cZ＞就等于OD+D”，当Oz）H共线时，即为所要求的最小值.

【详解】解：如图所示，过点C作关于AE的平行线，过点。作DH垂直于该平行线于H,

CH//AB,NCAE=30。，OC=OA,

AHCA=ZOCA=30°,

HD1

..SinNHCO=—=-,/HCO=60°,

CD2

.---CD=HD,

2

.∙.OD+-CD=OD+DH,

2

.,当0,D,H三点共线,即在图中H在TT位置，。在Zy位置的时候有OD+D”最小,

，当0,D,H三点共线时，g8有最小值，

此时'=OCXSinNHCo=OC×sin60o=5×-=—,

22

.∙.OQ+（c。的最小值为挛，

22

故答案为逑.

2

【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将3。。进行转换.

5.如图，△43C中，ZBAC=75o,NACB=60。，AC=4,则AABC的面积为一；点。，点

E,点尸分别为BC,AB,AC上的动点，连接。E,EF,FD,则△OEF的周长最小值为

备用图

【答案】6+2√33^+√6

【分析】（1）过点A作AH_L8C于”，根据/3AC=75。，ZC=60°,即可得到

（2）过点8作A∕LAC^Γ∙∕,作点尸关于A8的对称点M,点尸关于BC的对称点M连接

BM,BN,BJ,MN,MN交AB于E,交Be于。，此时△FETT的周长=MN的长，然后证

明△8MN是等腰直角三角形，的值最小时，MN的值最小，再根据垂线段最短可知，当

BF与即重合时，的值最小，由此求解即可.

【详解】解：①如图，过点A作AHLBC于H∙

ZAHB=ZAHC=90o,

,：ZBΛC=75o,ZC=60°,

.∙.NB=ɪ80°-ZBAC-ZC=450,NHAC=30°

.,.BH=AH,HC=-AC=2

2

∙-∙AH=∖∣AC2-HC2=2√3

：.AH=BH=2yβ，

：.BC=BH+CH=2√3+2,

.∖SΔABC=^∙BC∙AH=^∙（2√3+2）.√3=6+2√3.

BDHC

②如图，过点5作即，AC于J,作点F关于AB的对称点M,点尸关于BC的对称点N,

连接BM,BN,BJ,MN,MN交AB于E,交BC于。，此时△F£Z7的周长=MN的长.

YBF=BM=BM,NABM=NABJ,ZCBJ=ZCBN,

：.NMBN=2NABC=90。,

...△8MN是等腰直角三角形，

.二SM的值最小时，AW的值最小，

根据垂线段最短可知，当8尸与8J重合时，8例的值最小，

•；Bj=j⅛cJ2+4百=3+6,

AC4

；•MN的最小值为&8J=3λ^+√6,

.•.△OE尸的周长的最小值为30+卡.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性

质与判定，垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

6.如图，正方形ABCD的边长为4,点E为边AD上一个动点，点尸在边C。上，且线段

EF=4,点G为线段跖的中点，连接8G、CG,则8G+gCG的最小值为.

【答案】5

【分析】因为OG=TEF=2,所以G在以。为圆心，2为半径圆上运动，取。/=1,可证

△GDIs丛CDG,从而得出G∕=^∙CG,然后根据三角形三边关系，得出3/是其最小值

【详解】解：如图,

在Rt△DE尸中，G是E厂的中点，

.∖DG=-EF=2,

2

二点G在以。为圆心，2为半径的圆上运动，

在C。上截取Q∕=l,连接G/,

.Dl_DG

"DGCD

：.ZGDI=NCDG,

：.XGDISXCDG、

.IG_DI_I

"CG^OG2,

.MG=-CG,

2

BG+-CG=BG+IG>B1,

2

当8、G、/共线时，BG+gcG最小=B/,

在RtABC/中，CI=3,BC=4,

.∙.B∕=5,

故答案是：5.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点G的运动轨迹是解题的

关键.

7.如图，OABC。中NA=60。，AB=6,AD=2,尸为边C。上一点，则gPC+2PB的最

小值为.

B

【答案】6/

【分析】作a/，A。交A力的延长线于“，由直角三角形的性质可得"P=也OP,因此后

2

PD+2PB=2也DP+PB)=2(PH+PB),当，、P、B三点共线时”P+PB有最小值，即GPZ)十

2

2尸8有最小值，即可求解.

【详解】如图，过点P作P”，AL>,交AD的延长线于”，

H

四边形ABeD是平行四边形，

.∙.AB∕/CD,

ZA=ZPDH=Mo

VPH±AD

，NDPH=30。

：.DH=gpD,PH=用DH=与PD,

-".SPD+2PB=2(乎PD+PB)=2(PW+PB)

・•・当点H，点P,点3三点共线时，4P+P8有最小值，即√5PD+2PB有最小值，

此时BHYAH，NABH=30。,ZA=60o,

：.AH=^AB=3,BH=6AH=36

贝IJMPD+2PB最小值为6y∕3,

故答案为：6∖∣3.

【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知

识.构造直角三角形是解题的关键.

8.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=#X-G分别交X轴、y轴于A、B两点,若

C为X轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为.

【答案】6

【分析】先求出点A,点B坐标，由勾股定理可求A8的长，作点3关于OA的对称点夕，

可证ΔA88'是等边三角形，由直角三角形的性质可得C"=3AC,则

2BC+AC=2(B'C+CH),即当点B',点C,点H三点共线时，8'C+CH有最小值，即2BC

+AC有最小值，由直角三角形的性质可求解.

【详解】解：♦.•一次函数y=1x-√5分别交X轴、y轴于A、8两点，

点A(3,0),点s(θ,-√5),

.∙.A0=3,80=5

；•AB=y∣OA1+OB2=J32+(√3y=2√3,

作点B关于OA的对称点8'，连接AB',B'C,过点C作CHLAB于，，如图所示：

OB=OB'=6,

BB'=2√3,AB=AR=2拒

AB=AB1=BB1

∙*∙ΔA5B'是等边三角形，

β.∙AO±BBf,

r

JZBAO=-ZBAB=30°f

•CHLAB,

.∙.CH=-AC,

2

：.2BC+AC=2^BC+^AC^=2(B'C+CH),

，当点B',点C,点〃三点共线时，B'C+C”有最小值，即28C+AC有最小值，

此时，BlHl.AB,ΔABB)是等边三角形，

/.BH=AH=√3,NBB1H=30°,

；•B'H=∖∣B'A2-AH2=^(2√3)2-(√3)2=3,

.∙.28C+AC的最小值为6.

故答案为：6.

【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角

形的性质，确定点C的位置是解题的关键.

9.如图，在中，AB=AC=4,NCAB=30。，ADLBC,垂足为O,P为线段AD上

的一动点，连接PB、Pe.则∕¾+2PB的最小值为.

【答案】4近

【分析】在NBAC的外部作/CAE=I5。，作8F_LAE于凡交AO于P,此时如+2P8=2

gpA+P8)=g(PF+PB)=2BF,通过解直角三角形AB尸，进一步求得结果.

【详解】解：如图，

在/84C的外部作NCAE=I5。,作BFLAETF,交ADTP,

此时∕¾+2P8最小,

.∙.ZAFB=90o

VAB=AC,AD±BC,

.∙.ZCAD=ZBAD=-NBAC=IX30°=15°,

22

.∙.ZEAD=NCAE+/CAZ)=30。，

：.PF=-PA,

2

^PA+Pβ}=+PB)=2BF,

.,.PA+2PB=2

2

在RtAABF中，AB=4,ZBAF=ZBAC+ZCAE=45°,

ΛBF=AB∙sin45o=4×也=2播,

2

/.(∕¾+2PB)ftλ=2BF=4√2.

故答案为：4√2.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线.

10.如图，在边长为4的正方形ABCz）内有一动点尸，且BP=e.连接CP,将线段PC

绕点P逆时针旋转90。得到线段PQ.连接CQ、DQ,贝IJ。。+CQ的最小值为一.

【答案】5

【分析】连接AC、AQ,先证明ABCPS∕L4CQ得理=Yl即AQ=2,在AO上取AE=I,

BP2

证明4。4£：6/∖。4。得后。=3。。，⅛IDQ+CQɪEQ+CQ≥CE,求出CE即可.

【详解】解：如图，连接AC、AQ,

Y四边形ABCD是正方形，PC绕点尸逆时针旋转90。得到线段PQ,

：.ZACB=ZPCQ=45o,

.".ZSCP=ZACQ,cosZACS=—=—,cosZPCβ=-=—,

AC2QC2

：.ZACB=ZPCO,

.".∕∖BCP^∆ACQ,

.AQ√2

•■-----=-----

BP2

,：BP=五,

：.AQ=2,

.∙.。在以A为圆心，AQ为半径的圆上，

在AO上取AE=1,

∙∙RAE=51'^AQ=21'MAE="。,

：.∆QAE^∆DAQ,

制弓即EQTQO,

：.^DQ+CQ^EQ+CQ>CE,

连接CE,

CE=4DE1+CD1=5-

.∙.gθQ+CQ的最小值为5.

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数,

解题的关键在于能够连接AC、AQ,证明两对相似三角形求解.

三、解答题

11.NAO8=30。，OM=2,。为OB上动点，求+的最小值.

B

【答案】√3

【详解】思路引领：（胡不归经典）作NBCW=/408=30。，过点M作仞C,ON于点C,交

OB于点D，,当MCl.0N时，（此时点O即为点O）MZ）+；0D=Mo+CO的值最小，最小

值是CM的长，

答案详解：如图，

作NBON=/408=30。，过点M作MULoN于点C,交OB于点O,

所以当MCLON时，（此时点/）即为点。）

MD+^0D=MD+CD的值最小，最小值是CM的长,

在RtAOCM中，ZOMC=30°,OM=2

.∙.oc=ι,

ΛGW=√5.

答：Mn+；0。的最小值为

12.已知，在正方形ABC。中，点E,F分别为A。上的两点，连接BE、CF,并延长交于

点G,连接。G,H为CF上一点、,连接BH、DH,ZGBH+ZGED=90°

(2)如图2,若BH=BC,过点8作8/,CH于点/,求证：BI+—DG=CG-,

2

（3）如图2,在（1）的条件下，P为线段Ao（包含端点A、D）上一动点，连接CP,过点B

作CP于点Q,将aBCQ沿BC翻折得二BCM,N为直线AB上一动点，连接当

.BCM面积最大时，直接写出立AN+MY的最小值.

2

【答案】(1)3

(2)见解析

(3)3√2

【分析】(1)根据正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得

FC=2DH=M,设正方形的边长为3X,AF=IDF,可得FD=X,在RtAFDC中，根据

勾股定理建立方程，即可求解；

(2)过点。作ZW，GC于点M,证明-GB/是等腰直角三角形，ΛBIC^ΛCMD,进而证

明aGΛ1E>是等腰直角=角形，根据GC=G∕+∕C=B∕+MO=8/+变GD即可得证；

2

(3)取BC的中点S,连接SM,连接PN,以PN为底边，在PN的左侧作等腰直角三角

13

形TPN,根据直角三角形中斜边上的中点等于斜边的一半可得SM=IBC=：,则当

22

SMj_BC时，BaW的面积最大，^TN+MN=^AN+MN≥TM,可得当三点

2

共线时，苧4N+MN取得最小值，证明四边形ATMC是矩形，可得TM=AC=3应，即

与AN+MN的最小值为36.

(1)

解：：四边形ABCD是正方形，

.∙.ZAOC=90o,AB=AD=DC,

”为CF的中点，DH=-,

2

FC=2DH=√10,

设正方形的边长为3x,AF=2OF,可得收)=x,

在Rt..FDC中，FD2+DC2=FC2,

即(3x)-+x2=10,

解得χ=l,

AB=3x=3；

(2)

如图，过点。作E>MLGC于点M,

ZAEB=/GED,NGBH+/GED=90。,

ZAEB+ZABE=90o,

：.ZABE=NGBH=-ZABH,

2

BH=BC,BrCH,

：.NHBl=/CBI=-ZHBC,

2

NABC=90。，

.∙.ZGBI=ZGBH+/HBI=-ZABH+-ZHBC=-ZABC=45o,

222

.∙∙GE是等腰直角三角形，

・•.GI=BI,

,/BlC=NCMD=9Q。，/ICB=9伊一/DCM=4CDM,BC=DC,

.∙.BlgCMD,

:.MD=IC,MC=BI,

:.GM=GC-CM=GC-Bl=GC-GI=IC,

GM=MD,

.∙.GMO是等腰直角三角形，

：.MD=叵GD,

2

拒

.∙.GC=GI+1C=BI+MD=Bl+-GD,

2

即B/+立。G=CG;

2

G

图2

(3)

如图甲所示，取3C的中点S,连接S连接PN,以PN为底边,在PN的左侧作等腰直

角三角形TPN,

:.TN=—PN,

2

BQ^PC,

ABCQ是直角三角形，

将XBCQ沿BC翻折得aBCM,

.∙.BMC是直角三角形，

13

.-.SM=-BC=-,

22

当SM±BC时，.BCM的面积最大，

S是BC的中点，

.∙.BMC是等腰直角三角形，

则，8QC也是等腰直角三角形，

.∙.CQ=BQ=-BC=^AC,

此时如图乙所示，则点尸与A重合，

TN+MN=-AN+MN≥TM,

2

.∙.T,N,M三点共线时•，克AN+MN取得最小值,

2

.∙.NPCM=ZACB+NBCM=90°,

NBMC=90。,ZTAC=ZTAB+ZBAC=90°.

则四边形ATMC是矩形，

.∙.TM=AC=3五，

即受AN+MV的最小值为3√L

2

图甲图乙

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，两点

之间线段最短，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键.

4

13.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-分别与X,y轴交于点A,B,抛物线

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点C的坐标是(0,6),将AACO绕着点C逆时针旋转90。得到aECF,点A的对应点

是点E.

①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上：

②若点尸是y轴上的任一点，求;8P+EP取最小值时，点P的坐标.

【答案】⑴丁=1X2-7元-4

1o2

3

(2)①点E在抛物线上；②P(0,--)

【分析】(1)先求出A、8坐标，然后根据待定系数法求解即可；

(2)①根据旋转的性质求出EF=Ao=3,CF=CO=6,从而可求E的坐标，然后把E的坐标

代入(1)的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；

Λ∩HP33

②过点E作EHL43,交y轴于尸，垂足为“，sinZABO=—=——=二，则HP二」8P,

ABBP55

^BP+EP=HP+PE,可知“P+PE的最小值为E”的长，从而解决问题.

(1)

解：当Λ=0时，y=-4,

4

当产0时，--x-4=0,

ΛΛ=-3,

ΛA(-3,O),B(O,-4),

把4、8代入抛物线y=3d+"+c,

5

—×(-3)2-3⅛+c=O

得《18

•••抛物线解析式为y=Kv-Jχ-4.

1o2

(2)

解：①YA(-3,O),C(0,6),

."0=3,C0=6,

由旋转知：EF=AO=3,CF=C0=6,NFCo=90°

.∙.E到X轴的距离为6-3=3,

•••点E的坐标为(6,3),

当X=3时，y=2x6。-1χ6-4=3,

182

・・・点E在抛物线上；

②过点E作交y轴于P,垂足为H,

Λ0A=3,03=4,

.'.AB=5f

•・・…。=0空3

ABBP5

3

/.HP=^BP,

3

：.-BP+EP=HP+PE,

：.HP+PE的最小值为的长,

作EGLV轴于G,

,：ZGEP^ZABO,

.*.tanZGEP=tanNA30,

・PGAo

•∙=,

EGBO

・PG_3

•∙=，

64

3

：.P(0,--).

2

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角

函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将转化为“P的长是解题的关键.

14.如图1,抛物线y="2+(α+3)x+3(αHθ)与X轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在

X轴上有一动点E(wζθ)(0＜根＜4),过点E作X轴的垂线交直线A8于点N,交抛物线于

点P,过点P作尸MLAB于点

(1)求a的值和直线AB的函数表达式：

⑵设APMN的周长为G,AAEN的周长为G,若*求机的值.

(3)如图2,在(2)的条件下,将线段OE绕点。逆时针旋转得到OE',旋转角为α(0。＜1＜90°),

2

连接£A、EB,求B的最小值.

33

【答案】直线A3解析式为产・尸+3；

44

Q)2

⑶亚

3

【分析】(1)令y=0,求出抛物线与X轴交点，列出方程即可求出小根据待定系数法可以

确定直线AB解析式；

(2)由APNMSLANE,推出二∙=∙∣,列出方程即可解决问题；

AN5

42

(3)在y轴上取一点M使得OAf=W,构造相似三角形，可以证明AAf就是EA+彳E1B的

3ɔ

最小值.

(1)

令)=0,则以2+(α+3)x+3=0,

(X+1)(4x+3)=0>

3

.*.x=-l或・一,

a

：抛物线产加+(α+3)x+3(a≠0)与X轴交于点A(4,0),

：.24

a

.3

・・〃=-—.

4

VA(4,0),B(0,3),

b=3

设直线AB解析式为产质+匕，则

4k+b=0'

3

kt=——

解得《4,

b=3

3

••・直线AB解析式为严7+3；

(2)

如图1,

yl

Ar

图1

PMLAB,PEjLoA,

/.ZPMN=ZAENf

∙//PNM=/ANE,

：.丛PNMS丛ANE,

,C25

-PN_6

••—―,

AN5

`:NE//OB,

・ANAE

*'ΛB^OA,

AN=-(4-m),

4

3g

•・•抛物线解析式为y=jf+=x+3,

44

3933

PN=——J%2+一机+3—(—m+3)=——m2÷3m,

4444

322

——m+3"zN

•=9

-(4-∕n)ɔ

4

解得m=2或4,

经检验户4是分式方程的增根，

.β.m=2；

(3)

4

如图2,在y轴上取一点的使得OM'=§，连接A"，在AArh取一点E使得OE=OE.

图2

4

VOE,=2OM'∙O8=一χ3二4,

f3

.∖OEf2=OM,∙OB,

.OE,OB

**OM,~~OE'

∙.'ZBOE,=ZM,OE,,

[△MOEsXEOB、

.ME'0E'2

**BF^OB^3,

2

.*.ME=—BE',

3

22

・・・+E=AE'+E'M'=AΛΓ,此时Ag+]BE'最小(两点间线段最短，A、M，、£共

线时)，

最小值=AM=^42+(∣)2=警.

【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值

2

问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM僦是AE'+§BE'的最小值.

15.如图1,已知正方形ABC。，AB=4,以顶点3为直角顶点的等腰Rt△8EF绕点8旋转，

BE=BF=屈，连接AE,CF.

⑴求证：AABE注ACBF.

(2)如图2,连接OE,当。E=BE时，求SzBCF的值.(SZBCF表示△BC尸的面积)

(3)如图3,当RtABE尸旋转到正方形48CD外部，且线段AE与线段C尸存在交点G时，若

M是CQ的中点，尸是线段QG上的一个动点，当满足&MP+PG的值最小时，求MP的值.

【答案】(1)见解析

(2)2或6

∙J∖Λ-∖[s

kɔ/~

【分析】(1)山“SAS'可证△A8E四Z∖C8尸；

(2)由“SSS'可证△A。EgaABE,可得ND4E=/8AE=45。，可证A"=EH,由勾股定理

可求BE的长，即可求解；

(3)先确定点P的位置，过点8作8。_LCF于Q,由勾股定理可求CE的长，由平行线分

线段成比例可求解.

(1)

证明：•••四边形ABCO是正方形，

：.AB=BC,ZABC=90o,

,.∙NEBF=900=ZABC,

：.NABE=/CBF,

又YBE=BF,AB=BC,

在△48£：和4C8F中，

AB=CB

"ZABE=Z.CBF,

BE=BF

.,.△ABE^ACBF(SAS)；

(2)

解：如图2,过点E作EHLAB于H,

,.∙AABE沿ACBF,

J.SΔABE=SΔCBF,

■：AD=AB,AE=AE,DE=BE,

：.∕∖ADE^Δ,ABE(SSS),

ΛZDΛE=ZBAE=450,

•；EHLAB,

：.ZEAB=ZAEH=45%

：.AH=EH,

t222

∖BE=BH+EH9

Λ10=EH2÷(4-EH)2,

：.EH=\或3,

当EH=∖时

・・・SΔABE=SΔBCF=ɪAB×EH=∣×4×1=2,

当EH=3时

.∖SΔABE=SΔBCF=gABXEH=∣×4×3=6,

,S/BC尸的值是2或6；

(3)

解：如图3,过点尸作尸K,AE于K,

由(1)同理可得△A8E∕Z∖C8F,

：・NEAB=/BCF,

・・•ZBAE+ZCAE+ZACB=90°,

/.NBCF+NCAE+NACB=90。,

ZAGC=90°,

β.∙NAGC=NAoC=90。，

・・・点4点G,点C,点。四点共圆,

/.NACo=NAG0=45。，

•；PKLAG,

ZNPGK=NGPK=45。,

/7

JPK=GK=-PGf

2

.,.MP+—PG=MP+PK,

2

.∙.当点M,点P,点K三点共线时，且点E,点G重合时，MP+芋PG值最小，g∣J√2MP+PG

最小，

如图4,过点B作BQLCF于Q,

<BE=BF=回,NEBF=90°,BQLEF,

ΛEF=2√5,BQ=EQ=FQ=非,

CQ=QBC2-BQ?=√16-5=√∏，

.∙.CS=C0-Eβ=√Π-√5,

'：MK±AE,CELAE,

：.MK//CE,

.DMMP

•∙~~=~，

DCCE

又・・・M是C。的中点，

：.DC=IfDM.

：.MP=ɪCE=8-好.

22

【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，

熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键.

16.如图，矩形。ABC的顶点A、C分别在X、V轴的正半轴上，点B的坐标为(2√5,4),

一次函数y=-*x+6的图象与边OC、AB.X轴分别交于点。、E、F,ZDFO=30,

并且满足。D=BE,点”是线段。E上的一个动点.

(1)求b的值；

(2)连接OM,若AOZW的面积与四边形。的面积之比为1:3,求点用的坐标；

(3)求。M+gM尸的最小值.

【答案】(1)b=3∙,(2)M(竽,g)；(3)I

【分析】(1)利用矩形的性质，用。表示点E的坐标，再利用待定系数法即可求解；

(2)首先求出四边形Q4ED的面积，再根据条件求出AODM的面积，即可解决问题；

(3)过点〃作MN_LX轴交于点N,^∖0M+-MF^0M+MN,即可转化为求(W+MN

2

的最小值，作点。关于一次函数的对称点。'，过点。'作X轴的垂线交X轴于点N',交一次

函数于点〃，即。0+MN的最小值为OW算出长度即可.

【详解】(1)在y=中，令X=0,则y=6,

・•・点。的坐标为(0,。),

OD=BE,BQ瓜4),

:.β(2√3,4-⅛),

把E(2G,4-6)代入y=—-x+b中得：4-6=———×2y∣3+b,

33

解得：b=3：

(2)由(1)得一次函数为y=_gx+3,D(0,3),C(2√3,l).

.∖0D=3,AE=I,QA=26，

S四边形OWE=T(C>D+ΛE)∙C>Λ=→(3+1)×2√3=4√3,

NODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3,

∖DoD例的面积与四边形。4。E的面积之比为1:4,

∙'∙SODM=TS四边形OADE=ʌ/ɜ，

设点M的横坐标为。，则;x3a=√L

解得：a=­~—>

3

把X=友代入y=_且x+3中得：y=]

333

；.M(空

33

(3)

如图所示，过点M作MVI.x轴交于点N,

ZDFO=30，

.-.MN=-MF,

2

:.OM+-MF=OM+MN,

2

作点。关于一次函数的对称点。，且。O'与直线D尸交于Q点，过点。'作X轴的垂线交X轴

于点N',

.∙.OM=O'M,

:.OMJMF=OM+MN=O'M+MN,

2

当。、M、N在同一直线时0w+MN最小，

即OM+』MF=OM+MN=O'M+MN的最小值为ON',

2

ZDFO=30°,

.∙.ZODF=60o,ZDoQ=30°,Z(7O7V,=90o-30o=60°,

在R/VODQ中，OQ=OE)∙sin60o=3x4=孚，

.∙.OO'=2OQ=3√3,

在RfON'O'中.<∕M=O(7sin60°=3后X立=2,

22

19

.∙,OΛ∕+:M/的最小值为；.

22

【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积,

解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题.

17.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=0x2+bx+c的图象经过点4(-1,O),B(0,

-√3),C(2,0),其对称轴与X轴交于点D

(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；

(2)点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点M使得以A,B,M,N为顶

点的四边形为菱形，求点M的坐标；

【答案】(I)V=巫(ɪ-ɪ)2--,(ɪ,)；(2)(ɪ立)或(；，-五)或

228282222

(ɪ,-√3+-)或([,一石一姮)或(；，一直)；(3)正

2222264

【详解】思路引领：(1)将A、B、C三点的坐标代入y=θx2+fer+c,利用待定系数法即可求

出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；

(2)当以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径

画弧与对称轴有两个交点，此时AM=A5；②以B为圆心A8为半径画弧与对称轴有两个交

点，此时8M=A8;③线段A8的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM=8例，分别列

出方程，求解即可；

(3)连接A8,作。，LAB于“，交。8于P,此时;P8+PO最小.最小值就是线段OH,

求出即可.

答案详解：(1)由题意，C=-G,解得∙b=g,

4〃+2b+c=0

c=-√r3

抛物线解析式为y=与X2-4x-6,

金3=3(J)2_"

22228

∙∙.顶点坐标（J,一吨）；

28

（2）设点M的坐标为（；，y）.

VΛ（-1,O）,B（0,-√3）,

ΛAB2=1+3=4.

①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM=AB,

则（；+1）2+y2=4,解得y=±五，

即此时点例的坐标为（1,立）或（!，-立）；

2222

②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM=AB,

贝IJ（ɪ）2+（y+√3）2=4,解得y=-√5+巫或丫=一6一巫，

222

即此时点M的坐标为（；，-G+半）或（；，-G-卓）：

③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时4Λ∕=8M,

则（J+1）2+y2=（ɪ）2+（y+G）2,解得y=-立，

226

即此时点M的坐标为（!,-3）.

26

综上所述，满足条件的点M的坐标为（；，立）或（；，-且）或（；，-石+巫）

222222

或（；，-G-姮）或（；，--）；

2226

（3）如图，连接A8,作。，_LA8于，，交.0B于P,此时;P8+P。最小.

NABo=30°,

：.PH=-PB,

2

.∖-PB+PD=PH+PD=DH,

2

.∙.此时;P8+P。最短(垂线段最短).

3

oo

在RQAO“中，VZAHD=90fAD=ɪ,ZHAD=60f

sin60o=,

AD

・・・。〃=殛，

4

；.gPB+PD的最小值为逑.

24

18.已知抛物线y=0r2+6x+c与X轴交于A(-1,O),B(5,0)两点，C为抛物线的顶

点，抛物线的对称轴交X轴于点。，连接BC,HtanZCBD=P如图所示.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设P是抛物线的对称轴上的一个动点.

①过点尸作X轴的平行线交线段BC于点E,过点E作EFLPE交抛物线于点F,连接F8、

FC,求△BC/的面积的最大值；

②连接PB,求∣PC+PB的最小值.

【答案】(1)一孚x+当；(2)①：；②W

【详解】思路引领：(1)设抛物线的解析式为：y=α(x+l)(X-5),可得对称轴为直线X

=2,由锐角三角函数可求点C坐标，代入解析式可求解析式；

(2)①先求出直线8C解析式，设F(2,力，可得点E(5-gf,/),点尸(5-m2-31,

4V44J

可求EF的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解;

②根据图形的对称性可知/ACD=N8CO,AC=BC=5,过点/"乍尸GJ_A