2022-2023学年辽宁省葫芦岛市四校高三年级上册期中联考数学试卷及答案

2022-2023学年度上学期高三年级四校期中联考试题

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合/="卜，B={y\y--\x-3\-2\,则()

A.0B.(一8,—2]C.(-oo,0)D.

2.若复数z满足(z—D(l+i)=2—2i,则目=()

A.B.百C.5D.75

函数且的图象恒过定点若点在椭圆二+己

3.A,A=1(〃？〉0,

mn

n>0）上，则加+〃的最小值为（)

A.12B.14C.16D.18

在［-2肛2句的图象大致为（)

5.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现

是假钞，则另1张也是假钞的概率为（)

D

A.1?c-F-?

6.在等腰梯形力8CD中，43//。。,48=28。=2。。=2,尸是腰/0上的动点，则

|2而-定|的最小值为（)

3g

A.V7B.3Lr/(------

2

7.已知变量x,y的关系可以用模型y=c・*拟合，设z=lny,其变换后得到一组数

据下:

试卷第1页，共5页

X16171819

Z50344131

由上表可得线性回归方程z=-4x+a,贝ljc=()

A.-4B.C.109D./

8.已知双曲线5-耳=1(>0,6>0)左右焦点为耳，F>过心的直线与双曲线的右支交

于尸，。两点，且而2=3月0,若△尸。耳为以。为顶角的等腰三角形，则双曲线的离

心率为()

A.3B.2C.72D.73

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有

选错的得0分.

9.若函数/(X)=cos(°x+g)(69>0)两条对称轴之间的最小距离为卷,则下列说法正

确的是()

A.函数/(X)的最小正周期为乃

B.函数“X)在0,-上单调递减

c.将函数/(x)图象向右平移g个单位长度后所得图象关于夕轴对称

6

D.若/(%)=/(七)=0,则/&+%)=乎

10.己知Q〉o,b>0,alog42+blogj6VI=,则下列结论正确的是()

16

A.4a+b=5B.4a+b=：C.a6的最大值为交D.'的最小值为更

264ab5

11.已知点4(7,0),3(1,0)，若圆(x-2a+l)，(y-2a-2)2=l上存在点M满足

MA-MB=3^则实数。的值为()

A.-2B.-1C.2D.0

12.香囊，又名香袋、花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，

如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2,其平面展开图如

图2所示，则下列说法正确的是()

试卷第2页，共5页

B.直线徵与直线环'所成的角为45°

C.该六面体的体积为MiD.该六面体内切球的表面积是当

3

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.(1-2X)5(1+3X)4的展开式中按x的升募排列的第3项的系数为.

14.已知向量■的夹角为60。，且同=2,忖=1,贝.

15.若两曲线y=x2_lVy=alnx-l存在公切线，则正实数。的取值范围是—

16.已知数列｛凡｝满足。“=log］有).给出定义：使数列｛4｝的前k项和为正整数的

k,eN*)叫做“好数”，则在［1,2021］内的所有“好数”的和为_____.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

17.(10分)已知函数/(x)=Msin(@x+e“A/>0,0>0,帆<］)的部分图象如

(1)求函数/(x)的解析式:

(2)在中，角4B,C的对边分别是a,h,c,若(2a-c)cos8=bcosC,求

的取值范围.

18.(12分)在数列｛叫中，q=1,%”=且％,%,%成等比数列.

(1)证明数列是等差数列，并求｛%｝的通项公式；

试卷第3页，共5页

(2)设数列出｝满足，=(4/+1况4向，其前〃项和为S.,证明：S„<n+1.

19.(12分)如图，在四棱锥P-/8C。中，平面P48_L平面/BCD,BCIIAD,NB4D=9Q。,

P4=AD=2AB=4BC=4,PC=JI?

(1)证明：HJL平面/BCD；

(2)线段48上是否存在一点M,使得MC与平面尸8所成角的正弦值为立史？若存

17

在，请求出空■的值：若不存在，请说明理由.

20.(12分)随着疫情的有效控制，某校学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时

的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供A、B两种套餐(每人每

次只能选择其中一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择A类套餐的概率为:、选

择B类套餐的概率为2.而前一天选择了A类套餐第二天选择A类套餐的概率为：、选

择8套餐的概率为：；前一天选择8类套餐第二天选择A类套餐的概率为;、选择8类

42

套餐的概率也是如此往复.记某同学第〃天选择A类套餐的概率为勺.

(1)记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择A类套餐的人数为X,求X的分布列

并求E(X)；

(2)证明数列｛匕-11是等比数列，并求数列｛£｝的通项公式；

(3)为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利

用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐.如果你

是组长，如何安排分发A、8套餐的同学的人数呢，说明理由.

21.(12分)已知尸平)是椭圆&撩+营=1.>/>>0)与抛物线E-./=2PMp>0)

的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点尸.

(1)求椭圆。及抛物线E的方程；

试卷第4页，共5页

3

(2)/1,6是椭圆。上的两个不同点，若直线。4,08的斜率之积为-;(注：0为坐标

BM

原点)，点M是线段04的中点，连接8M并延长交椭圆C于点N,求\扁的\值.

22.(12分)已知函数/(x)=lnx+/，其中e是自然对数的底数.

(1)设直线”点-2是曲线y=/(x)(x>l)的一条切线，求。的值；

(2)若使得/(x)+〃?aN0对Vx«0,+8)恒成立，求实数机的取值范围.

试卷第5页，共5页

2022-2023学年度上学期高三年级四校期中联考试题

数学试卷答案

1.C2.D3.C4.C5.C6.C7.D8.C..

9.AC10.BCD.11.BD12.AD

13,-2614.2.15.(0,2e]16.2026

5兀兀

=71,(0=2,

17.解：⑴由图象知M=l,T=412~6

将点代入解析式得siny+<pj=l.因为网<£，所以中=£，

26

所以f(x)=sin(2x+a

5分

(2)由(2a-c)cosB=bcosC得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

所以251仙858=5出伊+0,2sinAcosB=sinA,

1jnr2TT

因为AE(O,71),所以sinAwO,所以cosB=],B=y,A+C=—,

/A).(._2兀n人兀5兀uc、i•(A兀)(l1

f|=sinA+|,0<A<—,—<AH—<—,月f以sinA4—G-A,

V2Jv6J36661(2_

所以•-------------------------------------------------------10分

,anz1111

18.证明：(1)由4+】=-----,得---=—+。，即--------=。，

。q+1%+】4。〃+]见

所以数列｛，｝是等差数列，其公差为C,首项为1,-------------------------3分

因此，,=1+(〃

久

由《,生,名成等比数列，得W=a冈，即［」一］=lx—1—

（c+lj4c4-1

解得c=2或c=0(舍去)，----------------------------------------6分

2/7-1

4«2+1211

(2)因为“=—已---=1+7-----7；-----r=1H--------------,------------------8分

4n2-l(2n-l)(2n+l)2/?-12〃+1

n"13352M-12〃+U2〃+1

因为白>。，所以+------------------------------------------12分

19.详解：（1）证明：■.・平面P481.平面/8C。，平面P/Bc平面=

/8/。=90°,

r.4D_L平面尸

•••尸/u平面尸45,ADLPA,

试卷第1页，共5页

在直角梯形/8CZ)中，2AB=4BC=4,

AC=yjAB2+BC2=『=后，

•1-PA=4,PC=而，；.PA、AC?=PC"即尸/_L/C，

又4)ppC=/,AD、nCu平面/BCD,

PA1平面ABCD.--6分

(2)解：以A为原点，AB,AD,4P所在直线分别为x,z轴建立如图所示的空

间直角坐标系，

则/(0,0,0),5(2,0,0),P(O,0,4),C(2,1,0),D(O,4,0),

•••AB=(2,0,0),pc=(2,1,-4),PD=(0,4,-4),

设而=2万，2e[。,1],则川(230,0)

AMC=(2-22,1,0),

n-PC=02x+y-4z=0

设平面PCD的法向量为万=(x,y,z),贝1卜——，即an

n-PD^Q4y-4z=0

33

令V=1,贝IIx=5,z=1,•*.w=(-,1,1),-----------------------------9分

•••MC与平面PCD所成角的正弦值为叵，

17

3

(2-22)+l

.而n-MC2

=|cos<nMC>|=||=|,--------------------

’’17\n\-\MC\+i+ixj(2-2Ay+1

化简得16万_8/1+1=0,解得2=!，

4

故线段45上存在点“满足题意，且缥=!.-----------------------------12分

AB4

试卷第2页，共5页

20.解：（1）第二天选择A类套餐的概率乙=gx；+gx；=；；

第二天选择B类套餐的概率423+11=2：,

A3人在第二天的有X个人选择A套餐，

X的所有可能取值为0、1、2、3,

有尸=Q=(左二0,123),

・・・X的分布列为

X0123

8421

P

279927

---------------------------------------------------------------------3分

i^(£(Z)=0x—4-lx—+2x—+3x—=1.----------------------------------------------------4分

279927

(2)依题意，Fi=ax；+(1-E,)xg,

P

贝I」n+\-1=-；(月,一|)(〃*1，"eN).

24

当〃=1时，可得耳丁话,

...数列［匕-叁］是首项为2公比为的等比数列.

〔5J154

2_16fJ_\

-8分

5-15\"4；

（3）由（1）知：Pn，

22

二七名不，即第30次以后购买A套餐的概率约为不

2

贝iJ20x《=8,20-8=12

负责A套餐的8人，负责B套餐的12人-12分

21.解：（1）•••尸］；,半）是抛物线£："=2px（p>0）上一点，

.••P=2,即抛物线E的方程为/=4x,焦点厂（1,0）,------------------------------2分

a1—b1—1,

试卷第3页，共5页

又•：P在椭圆G4+4=i±>•」-+Y-

a2b2*'9a23b2

结合1-62=1知/=3,a2=4f

...椭圆C的方程为A[•=1，抛物线E的方程为y2=4x.---------------4分

(2)设/(芭,必),B(x2,y2),Ng,%),j^j=2(2>0),

:点M是线段0/的中点，.'A/[J•⑶，

BM=^2~X1，^2~y^\,丽=(/一%，力-%)，BN=ABM.

•'«(匕-W，%-%)=%底_》2，/一%)，

X3=9+(1-加2

——6分

%=/+(1々)力

・・•点"（七,%）在椭圆。上,

•・•点4（2,必），8（%,%）在椭圆。上,

3

又・・・。/,08斜率之积为-二，

4

2722

...9+江=1,五+或=1,咨+她=0,-------------------------10分

43434