2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)一试预测卷二(含解析)

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛

一试仿真模拟卷(二)

一、填空题(每题8分，共64分)

1.若28s°=2疝"5亩。、如万、85。成等比数列，则cos2a—cos2^=.

2.己知正实数列｛4｝满足：4=1,%=7，a,+产曳心生孚%(〃=2,3,…)，则。到8=

a,,1+2

3.已知定义在R上的函数y=/(x)(x),对任意满足p2+/=,的p、4、「均有/(p)+

/(^)+/(r)=0,M、m分别为函数g(x)=/(x)+tanx+3,在xe卜金、)上的最大值和最小值，

贝！JM+加=.

4.在直三棱柱ABC—4耳储中，已知A3=5C=1,BB、=C,NA3C=90。，E、尸分别

为边明、4G的中点，则点E沿棱柱的表面到点F的最短路径的长度为.

11J

5.设复数4、z2、Z3满足㈤=%|=%|=2018.则Z1Z2Z3的值为.

马+Z2+Z3

1|112018

6.已知：a=---1-----1----y+-H----](〃£N)，贝ij[4]=__________-

〃1+11+21+221+2"八+£八

7.已知耳、鸟为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其中的一个公共点，且/耳尸玛=9,设

椭圆和双曲线的离心率分别为q和%,则e；+e；的最小值为.

8.用1、2、3、4、5、6、7这七个数字组成没有重复数字的七位数，使其恰好是11的倍

数的概率为.

二、解答题(共56分)

]

9.(16分)设正整数数列｛a,,｝满足：外=4,且对于任何〃wN*,有2+」一(答妆产＜

an+]-----------

nn+\

2+—.求数列｛〃“｝的通项.

10.(20分)如图，设动点P到点4-1,0)和8(1,0)的距离分别为4和ZAPB=20,

且存在常数;i(o</i<i),使得44豆1?。=/1.

(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

(2)过点B作直线交双曲线。的右支于M、N两点，试确定4的范围，使OM-ON=0,

其中点O为坐标原点.

11/ax

11.(20分)已知函数/(x)E+E+E，xe(0,+oo).

(1)当a=8时，求/(x)的单调区间；

(2)对任意正数a,证明：l</(x)<2.

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一试仿真模拟卷（二）详细解析

1.—1.解：由题意得：sina=sing+cosg,sin*2/7=sin^-cos^.

故cos?a-cos2/7=1-sin2«-(l-2sin20)=-sin2a+2sin?°

=-(sin0+cos0)2+2sin夕cos8=-L

2.320,8-2.解：由题意得，

1=(♦±一2n=马上■(〃=2,3,，=

%+2q+2%+2a“+21+2

故数歹|」但“+2｝是以4+2=3为首项，q=3为公比的等比数列.

-1

从而，an=3x3"—2.故生018=3如8-2.

3.6.解：令p=q=r=。,则/1(O)：。.

令q=0,p=x,r=-x,贝lJ/(x)+/(0)+/(r)=0=/(x)=_/(_x).

所以/(幻为奇函数.故y=g(x)-3也为奇函数.

因此，M+m=6.

3

4.=.解：比较以下三种情形下的线段Ef的长度：

2

分别将以下三个二面角A—44—G、A—4G—片展成平面，

利用余弦定理计算即可.

I_1=z,

5.-----------.解：因为区|=2018(，=1,2,3),所以Z,Z,=20182.从而

^K)723z,.20182

Z]Z3

Z?1Z]+Z2+Z31

故原式二2018?+20182320182

2018?Z+j2+Z3-4072324

Z!+Z2+Z3

6.2016,解:

1111cle

一万面，4<,+耳+尹+•,+^zr=2--<2.

1

>1+14>1

另一方面，当〃上3时，an+-+-++

2351+2”T一235

所以当〃23时，=

152018

又q=7，,从而[aj=[4]=0.故£[。人]=2016.

2-6〜k=l

7.1H-----.解：

2

设|P£|=x,|Pg|=y(不妨x>y),椭圆的长轴长为2m,双曲线的实轴长为2〃，

1§

222—7=

|耳玛|=2c.则x+y=2/%,x—y=2n9x+y-xy^=4c.故/+3/=43，所以=+4.

e\e2

于是，

4(e：+4)=(e：+^2+>4+2^3・

Iqe?)

所以e；+4Nl+/.

11A3e：eln13arI28+12/+3rH.222、、6

当8==，且下+下=4,即e：=一^，e；=—j—时，(e,+^)min=l+—.

e2e,ete2442

4

8.3.解：注意到，一个正整数被11整除当且仅当其奇数位上的数字之和与偶数位上

35

的数字之和的差被11整除.

记七位数为34aL则满足题意的七位数共有7!个.

又(%+%+々3+)一(%+4+々2)三°(mod11).

而

|(%+。5+43+4)一(4+包+%)|nrix=4+5+6+7—1—2—3—16.

故只能是%+%+/+。1=%+%+生，

即：％+。5+。3+4=4+4+。2=14.

于是，分组只能是：{2,3,4,5}和{1,6,7},{1,2,4,7}和{3,5,6},{1,2,5,6}和{3,4,7},{1,3,4,6}和

{2,5,7}.

和共四种情形.每种情形可以组成4!x3!个被11整除的七位数.

故所求的概率为-x4!x3!=—.

7!35

9.解法一：易得：4=1,%=4，。3=9，猜想：an~n-

下面用数学归纳法证明.

(1)当〃=1,2时，易知/=〃2均成立；

(2)假设〃=%(%1)成立，则.=22,且满足

]

c1c1

2+---<-p——<2+—①

%1__ak

k攵+1

当〃=Z+1时，

由①得

-U2k2

k2(k+l)k(k2+k-l)

=>------<a.<----------

k2-k+\k+'k-\

zJ1\2(z+l)2,J八2I

=氏+D.一廿十]v%<(&+1)，+—.

因为后22时，(k2+1)-(k+\)2=k(k+\)(k-2)>0,所以e(O,l].

Z+l

乂左—lil,所以---e(0,1].

k-\

又处“GN”,所以(4+1)2<%+|4(4+1)2.

故4+]=(k+l)2,即〃=左+1时，a“=〃2成立.

2

由(1),(2)知，对任意〃wN*,an=n.

2

解法二：易得：/=1,4=4，a3=9,猜想：an-n..

下面用数学归纳法证明

(1)当〃=1,2时，易知4=〃2均成立；

(2)假设“=左(左22)成立，则且满足

1

①

当〃=%+1时,

由①得

①

即

c1k+\k（k+\）c1e

2+——<——+———-<2+—.②

a

k+\kctk+ik

由②左式，得?<,即（4-1）4+1<公+42一比，因为两端为整数，

kak+l

则

（左一l）a«+]<+k~—k—1=（女+1）-（左一1）于是a«+i<（女+1）~.

T/1+__k（k,+1）2,k~+1—k{k+1）k~—^+1

乂田②石式,-------<---------------=---------.

aMkk-

则（K—上+l）a*+i>二（左+1）.

因为两端为正整数，则（炉一人+1）q用>k4+k3+l,

所以%J小=（%+】）、』.

又因人之2时，az为正整数，则

2

ak+l>U+1）.④

据③④得，%1=（左+1）。即〃=左+1时,a“=〃2成立.

2

由（1）,（2）知，对任意〃eN,an=n.

10.解法一：（1）在△巩8中，|A6|=2,即

2~——d:+d；—2d、d,cos28,4=（&—%）~+44。,sin"0,

即14—4I=14—44&sin?e=?（常数），

点P的轨迹C是以A、8为焦点，实轴长2a=2>/i二元的双曲线，方程为：

上2-J21.

1-22

（2）设拉（再,y）,N（x2,y2）

①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=l,和N（l,-1）在双曲线上.即一!一―-=

I—AA

1=42+3—1=0=）=—I±中，因为0<a<1,所以4=2^1二1.

22

②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=Z（x-l）.

c22

x__2L

由｛]_/12=]，得:[2-(1-A)k2]x2+2(1-A)k2x-(1-A)(k2+2)=0,

j=Z(x-l)

由于该方程有两个不同的解，故[丸-(1-/OF〕工。，

-2k2(l-A)_-(l-A)(k2+A)

[人

所以玉+工2=1AiZ

A-(1-A)k2,2A~(l-A)k2

k2^

于是，凹%=小％-1）区-1）==（］_裆2.

因为OM-ON=0,且M、N在双曲线右支上，所以

2(1-2)

%向+%％=0k1=2(1-2)A垂)一1,2

22+2-l-----—>----n------<2<-

<%,+x>0=<nj外+x—iI-223•

22

,xx>0k~>A2+A-l>0

t27^1

由①②知，<1二1vzi<2.

23

解法二：（1）同解法一

（2）设〃（演,必），N（x2,y2）,MN的中点为七（%,％）

①当％=工2=1时，|M8|2=-----^=1=>/12+/1-1=0,

1-X

因为0v2Vl.所以4=—―-；

c29

*上=1

②当中9时，1/4=脑=W.色

只％—ITy。

又Z/WN=kpE-所以（1一4）y；=温一气;

2

Ill/MON='得*；+)，；=(空),

0

第二定义得『+/)_2Q__

2.

1

=~~~xo9+(l-^)-2x.

1—A0

所以(1—4)%;=AXQ—2(1—/I)%。+(1—.

于是由!([-')，；=丸汇一4入0

7H

l(l-A)^=-2(l-A)x0+(l-乃2

(1)2

得与

2-32

因为％>1，所以支应>1,又0<2<1,

2-3%

解得：好」</1<2由①②知吏二1<丸<2.

2323

11.(1)当a=8时，/(%)=-^^=+-+,/^=-^^+-.

VT+73Vl+x3

贝]jf\x)-(i+x)'，S+x-(i+4>M+x)'

1+x

vl+x1+vx

_242S+x

1+x

[-G

2yfx-VT+x•(1+x)

令广(x)>0,结合x>0,解得0cx<1.

故/(x)在(0,1)单调递增,同理/(x)在(1,+oo)单调递减.

所以a=8时，/(x)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+oo).

(2)对任意给定的a>(),x>0因

/(x)=r-l--+~/J—+~-，若令6=—，则abx=8.①

Vl+xS+a,8ax

J+一

vax

则f(x)—/+/+/•②

Vl+xy/l+ay/1+b

先证/(x)>l：因为

111111

--->----

vl+x1+XVl+o\+a'<l+bl+b

又由2+a+/+xN442azzx=8,从而a+〃+x26.

所以f(X)=/H—/-H—/>-----1------1----

vl+x71+b1+11+。1+Z?

3+2(。+/?+x)+〃。+/7x+at9+(。+b+x)+(ab+kx+ax)

=------------------------2--------------------------