2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习：核心素养测评八

核心素养测评八

对数与对数函数

巩固提升练（25分钟50分）

一、选择题（每小题5分，共35分）

1.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物

质的原子总数N约为1080,则下列各数中与土最接近的是（）

N

（参考数据：1g3^0.48）

A.IO33B.IO53C.IO73D.IO93

V^361^361

【解析】选D.设吆=x二^—,两边取对数Jgx=lg^—=lg336i-lglO8o=361Xlg3-8O

N10801080

%93.28,所以X=1093.28,即与包最接近的是1093.

N

2.（2019•吉林模拟）不等式log（2x-l）W2的解集为（）

3

卜3，|]B.g,5

C.（-8,5]D.

【解析】选B.因为log（2x-l）W2可化为log（2x-l）Wlog9,所以0<2xTI9,

333

所以入xW5.所以原不等式的解集为（I,5.

3.（2020•吕梁模拟）函数y=lnsinx（0〈x〈Ji）的大致图象是（）

-1-

【解析】选C.因为0<x<n,所以(KsinxWl,

所以InsinxWO,排除选项A,B,D.

；r

4.（2020•太原模拟）已知3a=e,b=log35Tog2,c=21nv3,则a,b,c的大小关系为

（）

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

【解析】选C.由a=loge<l,b=log—<loge=a,c=ln3>l,则c>a>b.故选C.

33y3

5.若函数y=aixi（a>0且aKl）的值域为{y|y21},则函数y=log丨x|的图象大致是

a

[解析]选B.由于y=a：x的值域为{y|yel},所以a>l,则y=log|x|在(0,+°°)上

a

是增函数，又函数y=log|x|的图象关于y轴对称.因此y=log|x|的图象应大致

aa

为选项B.

6.已矢口f(x)=]g(10+x)+]g(10_x),贝！J()

-2-

A.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是增函数

B.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是增函数

C.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是减函数

D.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是减函数

0+x>0

【解析】选D.由'得x£(T0,10),且£&)=厄(100”).所以£仪)

,10>0.

是偶函数，

又t=100-X2在(0,10)上单调递减，y=lgt在(0,+8)上单调递增，故函数f(x)在

(0,10)上单调递减.

7.(2020咛德模拟)已知函数f(x)=lg(|x|+1),记a=f(5o.2),b=f(log3),c=f(1),

0.2

则a,b,c的大小关系为()

A.b<c<aB.a<b<c

C.c<a<bD.c<b<a

【解析】选A.f(x)是偶函数，在［0,+8)上单调递增，

所以b=f(Iogo23);f(-1°g。/3)=f0。go2I).

因为5o.2>5O=1,0<Iogl<log0.2=1,

0.2耳0.2

所以0<log1<1<5O2,

a23

所以f。。g0,23奸⑴(5。2)，

所以b<c<a.

二、填空题(每小题5分，共15分)

-3-

8.已知函数f(x)狽從7°则力(孙一

【解析】f°g3;2,

G⑶2)二2(

答案」

4

9.(2019•深圳模拟)函数f(x)=lnt1的定义域为，值域为

x-1

n

【解析】使f(x)有意义，则±±>0.

X-1

所以x>1或x<T,所以定义域为{x|x>1或x〈-1}.

x+1.

又因为In——=1nx-1+2=ln

X-1Y-1

因为1+三>0且1+2_彳1,

x-1x-1

所以In0+=-)扌0,

所以f(x)的值域为(—oo(,O)u(o,+8).

答案：{x|x>1或X<T}(一8,0)U(0,+8)

【变式备选】

函数f(x)=I1-2/O06X的定义域为

-4-

(x〉0

【解析】由题意得'解得故函数f(x)的定义域为

Ll20g6%>0,

(。,V%]•

答案：(0,而]

'Igx,0<x<10,,、

10.已知函数f(x)=11若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c),

—x+6,x>10,

、7

则abc的取值范围是.口

【解析】作出函数f(x)的大致图象如图.

O12345678910II了

-1

由图象知，要使千（a）=f（b）=f（c）,不妨设0<a<b<c,则-1ga=Igb=-丄c+6.

所以Iga+lgb=0,所以ab=1,所以abc=c.

由图知10<c<12,所以abcG（10,12）.

答案：(10,12)

综合运用练(15分钟35分)

1.（5分）（2020•长春模拟）已知x=lnn,y=log^2,z=p~2,则（）

A.x<y<zB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

【解析】选DIn五>lne=1,即x>1,0=log1<log2<log5=1,即0<y<1,0<±<-L<1,

555J工

即0<z<1,

-5-

jg2_

沙g/二星3g2」g二二Iog2、冋因为e<4,所以2、屹4,所以Iog2A®<Iog4<1,

4TIg5Ig55

ve<e

所以y<z.

综上所述:y<z<x,故选D.

2.(5分)(2020•威海模拟)已知函数f(x)=lnx+ln(a-x)的图象关于直线x=l对

称,则函数f(x)的值域为()

A.(0,2)B.[0,+8)

C.(-°°,2]D.(-°°,0]

【解析】选D.因为函数f(x)=lnx+ln(a-x)的图象关于直线x=1对称，

所以千(1-x)=千(1+x),

即ln(1-x)+ln(a-1+x)

=ln(1+x)+ln(a-1-x),

所以(1-x)(a7+x)=(1+x)(aT-x),

整理得(a-2)x=0恒成立，

所以a=2,所以f(x)=lnx+ln(2-x),定义域为(0,2).

又f(x)=Inx+ln(2-x)-1n(2x-X2),

因为0<x<2时,0<2X-X2W1,

所以ln(2x-X2)W0,

所以函数f(x)的值域为(-8,0].故选D.

3.(5分)已矢口a>b>l,若logb+loga=-,ai)=bn,贝lja=_____,b=_______.

ab7

-6-

［解析］由于a>b>1，则Iogb£(0,1),因为logb+loga至，即Iogb+—-_所

aab?a小匕？

1.1

以Iogb二士或Iogb=2(舍去),所以0z=b,R卩a=b2,所以ab=(b2)b=b2b=ba,所以

a7a

a=2b,b2=2b,所以b=2(b=0舍去)，a=4.

答案：42

4.(10分)设f(x)=log(l+x)+log(3-x)(a>0,aWl),且f(1)=2.

aa

⑴求a的值及f(x)的定义域.

⑵求f(x)在区间|o,4上的最大值.

.7.

/,I4-X>0

【解析】⑴因为f(1)=2,所以Iog4=2(a>0,a右1),所以a=2.由'得

a(3-x>0,

-1<x<3,

所以函数f(x)的定义域为(-1,3).

(2)f(x)=Iog(1+x)+log(3-x)

22

-log［(1+x)(3~x)］=log［-(x-1)2+4］,

22

所以当x£(7,1］时,f(x)是增函数；

当xG(1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在［(J/上的最大值是f(1)=1og4=2.

L?J2

5.(10分)已知函数f(x)=log(3-ax).

a

(1)当xe［0,2］时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.

⑵是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间［1,2］上为减函数,并且最大值

为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.

【解析】(1)因为a>0且aH1,设t(x)=3-ax,