1第六章平面向量及其应用（知识归纳题型突破）（原卷版）

第六章平面向量及其应用（知识归纳+题型突破）1．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．灵活应用正余弦定理解三角形,会运用正（余）弦定理，解决三角形中的边，角问题．6．能灵活运用正余弦定理解决生活中的三角形问题．知识点01：向量的加法（1）向量加法的定义求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.（2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.（3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.知识点02：向量的减法（1）相反向量与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作.①零向量的相反向量仍是零向量②任意向量与其相反向量的和是零向量，即:③若,互为相反向量,则，，.（2）向量减法定义向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算.（3）向量减法的几何意义已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.知识点03：向量三角不等式①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；知识点04：向量的数乘（1）向量数乘的定义一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：①②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.知识点05：向量共线定理内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.知识点06：平面向量数量积的概念（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积).记作：，即.规定：零向量与任一向量的数量积为0（2）投影如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.知识点07：平面向量基本定理（1）平面向量基本定理如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使.若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.知识点08：平面向量的坐标表示（1）两个向量和（差）的坐标表示两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.坐标表示：，则：；（2）向量数乘的坐标表示实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.坐标表示:,则.知识点09：平面向量共线的坐标表示设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得；用坐标表示,可写为,即：消去得到：.这就是说,向量()共线的充要条件是.知识点10：两个向量平行、垂直的坐标表示已知非零向量，（1）．（2）知识点11：向量模的坐标表示向量模的坐标表示若向量，由于，所以．其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．知识点12：两向量夹角余弦的坐标表示已知非零向量，是与的夹角，则．知识点13：平面几何中的向量方法①平面两个向量的数量积：；②向量平行的判定:；③向量平行与垂直的判定:；④平面内两点间的距离公式：（其中，）⑤求模：；；知识点141：余弦定理（1）余弦定理的描述①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：；（2）余弦定理的推论；；知识点15：正弦定理（1）正弦定理的描述①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.②符号语言：在中，若角、及所对边的边长分别为，及，则有（2）正弦定理的推广及常用变形公式在中，若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则①②；；；③④⑤④，，（可实现边到角的转化）⑥⑤，，（可实现角到边的转化）知识点16：解决几何问题的常见公式三角形面积的计算公式：①；②；③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).题型一：平面向量基本概念【例1】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（

）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为矩形C．若，且，则四边形为矩形D．若，且，则四边形为梯形【例2】（2023下·北京·高一北京市第九中学校考期中）给出下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若且，则 D．若，，则【例3】（2019·浙江·高三专题练习）给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若与同向，且，则>；④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．其中假命题的个数为（）A．1 B．2C．3 D．4巩固训练1．（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022下·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习）下列命题中，正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D．若，则与方向相同或相反3．（2020下·四川凉山·高一四川省越西中学校考阶段练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与相等的向量共有几个；（2）与方向相同且模为的向量共有几个；题型二：平面向量共线定理及推论【例1】（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，点，分别是，边上的中点，线段，交于点D，则的值为（

）A． B． C． D．【例2】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知点O是的内心，，，则（

）A． B． C．2 D．【例3】（2023下·贵州·高二校联考阶段练习）在中，E为AC上一点，，P为线段BE上任一点，若，则的最小值是（

）A． B． C．6 D．8巩固训练1．（2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2．（2023下·广东深圳·高一翠园中学校考期中）如图，在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则实数的值是（

）A． B． C． D．3．（2022下·湖南长沙·高一长沙市明德中学阶段练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，，，．(1)试用向量来表示;(2)AM交DN于O点，求的值．题型三：平面向量基本定理【例1】（2022·高一课时练习）已知分别为的边上的中线，设，,则＝（

）A．＋ B．＋C． D．＋【例2】（2023下·江苏苏州·高一统考期末）如图，在中，点，分别在边和边上，，分别为和的三等分点，点靠近点，点靠近点，交于点，设，，则（

）A． B．C． D．【例3】（2023下·江西·高一校联考期中）如图，在中，为重心，，延长交于点，设，.(1)若，求的值；(2)若，求的值.巩固训练1．（2022上·海南·高三校联考期末）已知长方形中，，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，线段，交于点，则（

）A． B．C． D．2．（多选）（2020上·江苏南通·高一统考期末）在梯形中，，，，分别是，的中点，与交于，设，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．3．（2023下·山东·高一滨州一中校联考期中）如图，在梯形ABCD中，，E，F分别是AB，BC的中点，AC与DE相交于点O，设，．(1)用，表示；(2)用，表示．题型四：平面向量共线的坐标表示【例1】（2022下·广东梅州·高一统考期末）已知，且三点共线，则（

）A． B． C． D．【例2】（2023下·云南大理·高一大理白族自治州民族中学校考期中）已知两个非零向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例3】（2023上·陕西宝鸡·高三校联考阶段练习），且，则.巩固训练1．（2023上·湖南·高二邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知向量，且，则.2．（2023上·北京朝阳·高三统考期中）已知向量，若，则；若，则.3．（2023下·安徽宿州·高一统考期中）平面内给定三个向量，且.(1)求实数关于的表达式；题型五：平面向量的数量积（含定值，最值，范围）【例1】（2023上·广东中山·高三中山一中校考阶段练习）正三角形中，，为上的靠近的四等分点，为的中点，则（

）A． B． C． D．【例2】（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（

）A．6 B．3 C． D．【例3】（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形中，已知，，，点在边上，则的最小值为（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·浙江湖州·高二湖州中学校考阶段练习）在边长为的正方形中，是中点，则；若点在线段上运动，则的最小值是.2．（2023上·天津·高三天津市第七中学校考阶段练习）如图，在菱形中，，E、F分别为、上的点．，，点M在线段上，且满足，；若点N为线段上一动点，则的取值范围为．3．（2023上·天津蓟州·高三天津市蓟州区第一中学校考阶段练习）如图，已知直角三角形△中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，若与圆的切点为，则，则的取值范围为.题型六：向量的模（含定值，最值，范围）【例1】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知平面向量，的夹角为，则．【例2】（2023上·上海·高二上海市七宝中学校考阶段练习）单位向量，，两两之间的夹角都是，求.【例3】（2016上·湖南·高三阶段练习）已知为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【例4】（2023·上海崇明·统考一模）已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于．【例5】（2023下·山西朔州·高一校联考阶段练习）已知向量满足，若对任意的实数，都有，则的最小值为.巩固训练1．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）已知向量，满足，，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．42．（2023上·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）已知向量，满足，，则.3．（2023上·上海黄浦·高二格致中学校考期中）若，与、的夹角都是60°，且，，，则.4．（2023上·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）在中，为中点，为线段上一点，且满足，若，则的最大值为．5．（2023下·浙江绍兴·高二绍兴一中校考学业考试）已知向量，为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的取值范围是.题型七：向量的夹角（含定理，最值，范围）【例1】（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（

）A． B． C． D．【例2】（2021下·福建三明·高一统考期末）中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（

）A． B． C． D．【例3】（2022上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（

）A． B． C． D．【例4】（2022·上海·校考三模）在中，，点满足,则的最大值是巩固训练1．（2019上·广东深圳·高三深圳市南头中学校考期末）在中，、分别是边、的中点，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，，则向量与的夹角为．3．（2019上·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）已知，向量满足，设与的夹角为θ，则的最小值为．4．（2023下·新疆伊犁·高一校联考期末）设，向量，，，且∥，．(1)求；(2)求向量与夹角的大小.题型八：向量的投影【例1】（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（

）A． B． C． D．【例2】（多选）（2023·辽宁辽阳·统考二模）若过作的垂线，垂足为，则称向量在上的投影向量为．如图，已知四边形均为正方形，则下列结论正确的是（

）A．在上的投影向量为B．在上的投影向量为C．在上的投影向量为D．在上的投影向量为【例3】（2022上·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考阶段练习）在中，已知，，，若，且，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则的取值范围是（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2022上·湖南怀化·高二统考期中）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．2．（2022·高一课时练习）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．3．（2022下·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）已知菱形的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上数量投影的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022下·浙江绍兴·高一统考期末）已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（

）A． B． C．－ D．－题型九：向量平行垂直的坐标表示【例1】（2023下·广东·高一校联考阶段练习）已知向量，．(1)若，求；(2)若，求实数的值．【例2】（2023下·河南焦作·高一统考期末）已知向量，．(1)若，求实数k的值；(2)若，求实数t的值．【例3】（2022下·山东临沂·高一统考期末）已知向量，.(1)若，求实数m的值；(2)若非零向量满足，求与的夹角.巩固训练1．（2023上·河北秦皇岛·高二校考开学考试）设向量，满足，，．(1)求向量，的夹角及；(2)若，则实数k的值．2．（2023下·宁夏银川·高一贺兰县第一中学校考阶段练习）已知两个非零向量与不共线，(1)试确定实数k，使得与共线；(2)若，且，求实数的值．3．（2023下·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）已知向量，，，(1)若，求实数的值；(2)向量，互相垂直，试求的值．4．（2021下·天津西青·高一统考期末）已知向量，．(1)求；(2)若向量，且，求向量的坐标；(3)若向量与相互垂直，求实数的值．题型十：两个向量所成角为锐角或钝角【例1】（2023上·山东·高二济南市历城第二中学校联考开学考试）已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是.【例2】（2023下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为．【例3】（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）已知向量，且与的夹角为.(1)求及；(2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围.巩固训练1．（2023上·安徽芜湖·高二芜湖市第二中学校考开学考试）已知，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是.2．（2023下·甘肃定西·高一甘肃省临洮中学校考阶段练习）设向量，，向量与的夹角为锐角，则x的范围为.3．（2023上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考阶段练习）已知平面向量，，．(1)①若，求；②若，求；(2)若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围．题型十一：利用正（余）弦定理判定三角形解的个数【例1】（2023下·天津河西·高一统考期中）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（

）A．，，，有两解B．，，，有一解C．，，，有一解D．，，，无解【例2】（2023下·北京·高一北京市陈经纶中学校考期中）已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（

）A． B．或C． D．或【例3】（2023·山东潍坊·统考一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在中，角所对的边分别为，且__________.(1)求角的大小；(2)已知，且角有两解，求的范围.【例4】（2022下·北京大兴·高一统考期末）在中，.(1)若，求；(2)若存在且唯一确定，求的取值范围.巩固训练1．（2023下·江苏连云港·高一校考期中）由下列条件解，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（2022上·北京·高三北京四中校考开学考试）在下列关于的四个条件中选择一个，能够使角被唯一确定的是：（

）①②；③；④.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④3．（2023下·江西宜春·高二校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)已知，且角有两解，求的范围.4．（2023·高一课时练习）在中，，．分别根据下列条件，求边长a的取值范围．(1)有一解；(2)有两解；(3)无解．题型十二：利用正（余）弦定理判定三角形的形状【例1】（2023上·全国·高三专题练习）在中，，，分别为角，，的对边，已知．若，，成等比数列，则是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．不确定【例2】（2023下·江苏徐州·高一统考期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【例3】（2023下·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，则的形状为.巩固训练1．（2023·甘肃酒泉·统考三模）中，，，分别是角，，的对边，且，则的形状为（

）A．直角三角形 B．锐角三角形C．直角或钝角三角形 D．钝角三角形2．（2023下·高一课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，若，则的形状为.3．（2023下·上海松江·高一上海市松江一中校考阶段练习）在中，角所对应的边分别是，满足，则该三角形的形状是．题型十三：求三角形周长（边长）（含定值，最值，范围）【例1】（2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习）在锐角三角形中，角的对边分别为，且，则：（1）．（2）若的中点为，则的取值范围为．【例2】（2023上·安徽淮南·高三校考阶段练习）在中，角的对边分别是,若是锐角三角形且角，则的取值范围为.【例3】（2023下·辽宁锦州·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）在锐角中，角所对的边为，若，且，则的取值范围是.【例4】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若D为边上一点，，．(1)求角；(2)求的取值范围．【例5】（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）在锐角中，为角所对的边，.(1)求角；(2)若，求周长的取值范围.巩固训练1．（2023下·江苏连云港·高一校考阶段练习）在中，，，则锐角周长的范围是.2．（2023下·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则的取值范围是.3．（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数的最小正周期为．(1)求的值；(2)已知分别为中角的对边，且满足，求的周长的最大值．4．（2023上·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.(1)求；(2)若为的内心，求的取值范围.5．（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，求的取值范围.题型十四：求三角形（四边形）面积（含定值，最值，范围）【例1】（2023下·内蒙古鄂尔多斯·高二校联考期末）如图为矩形与半圆的组合图形，其中，为半圆弧上一点，，垂足为，点在线段上，且，设，则的面积的最大值为．【例2】（2023下·河北保定·高一统考期中）如图，某公园内有一个边长为的正方形区域，点处有一个路灯，，，现过点建一条直路分别交正方形区域两边，于点和点，若对五边形区域进行绿化，则此绿化区域面积的最大值为．【例3】（2023上·河北秦皇岛·高二校考开学考试）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．(1)求角B的大小和边长b的值；(2)求面积的取值范围．【例4】（2023上·重庆九龙坡·高三重庆市杨家坪中学校考阶段练习）彩云湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，.(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的属离防护栏（用根号表示）？(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？巩固训练1．（2023下·辽宁锦州·高一统考期末）为满足群众就近健身和休闲的需求，很多城市开始规划建设“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”OPQ中，准备修一条三角形健身步道OAB，已知扇形的半径，圆心角，A是扇形弧上的动点，B是半径OQ上的动点，，则面积的最大值为.2．（2022上·安徽·高三合肥一六八中学校联考阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是．3．（2023上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.(1)在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.4．（2023下·陕西咸阳·高一校考期中）如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=km，，∠AOB=，当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上(M，N不与A，B重合，M在A，N之间)，且．(1)若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；(2)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，设∠AOM=，，试确定，当θ为多大时△OMN的面积最小，并求出最小面积值．题型十五：利用正（余）弦定理解决实际问题【例1】（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）如图，相距的之间是一条马路（可近