人教A版高中数学必修2学案第2章点直线平面之间的位置关系章末综合提升

[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]空间点、线、面位置关系的判断与证明【例1】如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝eq\r(2)，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.[证明](1)设AC与BD交于点O，连接EO，如图所示，∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝eq\f(1,2)AC＝1，∴四边形AOEF为平行四边形，∴AF∥OE.∵OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连接FO，如图所示．∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，∴四边形CEFO为菱形，∴CF⊥EO.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.又BD∩EO＝O，∴CF⊥平面BDE.空间平行、垂直关系的转化：(1)平行、垂直关系的相互转化(2)证明空间线面平行或垂直需注意三点①由已知想性质，由求证想判定．②适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE[证明](1)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1所以A1F⊥B1C因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1所以CC1⊥A1F又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C所以A1F⊥平面BCC1B1由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE所以A1F∥平面ADE空间角的计算问题【例2】如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．[解](1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up10(2))＝eq\f(\r(5),2)，∴tan∠OAE＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(\r(5),5).(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，∴OC⊥平面AOB.又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.空间角的求法：求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB≠AC，D、E分别是BC、AB的中点，AC＞AD，设PC与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P­BC­A的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系是________．α＜β＜γ[∵D、E分别是BC、AB的中点，∴DE∥AC，∴PC与DE所成的角为∠PCA，即α；∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角为∠PDA，即β；过A作AH⊥BC，垂足为H，连接PH，易证BC⊥平面PAH，∴∠PHA是二面角P­BC­A的平面角，即γ.∵AB≠AC，∴AD＞AH，又AC＞AD，∴AC＞AD＞AH，∴eq\f(PA,AC)＜eq\f(PA,AD)＜eq\f(PA,AH)，∴tanα＜tanβ＜tanγ，∴α＜β＜γ.]折叠问题【例3】如图所示，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，求三棱锥Q­ABP的体积．[解](1)由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.又BA⊥AD，且AC⊂平面ACD，AD⊂平面ACD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3eq\r(2).又BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，所以BP＝2eq\r(2).作QE⊥AC，垂足为E，则QE＝eq\f(1,3)DC，QE∥DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱锥Q­ABP的体积为VQ­ABP＝eq\f(1,3)×QE×S△ABP＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×3×2eq\r(2)sin45°＝1.解决折叠问题的关键和解题步骤：解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况，看看哪些元素的位置变了，哪些没有变，基本思路是利用不变求变，一般步骤如下：⑴平面→空间：根据平面图形折出满足条件的空间图形．想象出空间图形，完成平面图形与空间图形在认识上的转化．⑵空间→平面：为解决空间图形问题，要回到平面上来，重点分析元素的变与不变．⑶平面→空间：弄清楚变与不变的元素以后，再立足于不变的元素的位置关系、数量关系去探求变化后元素在空间中的位置关系与数量关系．eq\a\vs4\al([跟进训练])3．图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.图1图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．[解](1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面