人教版A数学选修1-2教师用书第2章2-22-2-1综合法和分析法

2.2直接证明与间接证明2.学习目标核心素养1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)通过学习综合法和分析法体现了数学逻辑推理的素养，提升学生的数学运算的素养.1．综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法eq\x(PQ1)→eq\x(Q1Q2)→eq\x(Q2Q3)→…→eq\x(QnQ)(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)顺推证法或由因导果法2.分析法定义框图表示特点一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法逆推证法或执果索因法思考：综合法与分析法有什么区别？[提示]综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其过程应用了()A．分析法 B．综合法C．综合法、分析法综合使用 D．间接证法B[从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．]2．要证明A>B，若用作差比较法，只要证明________．A－B>0[要证A>B，只要证A－B>0.]3．将下面用分析法证明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步骤补充完整：要证eq\f(a2＋b2,2)≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥0[用分析法证明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步骤为：要证eq\f(a2＋b2,2)≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．]综合法的应用【例1】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.求证：a，b，c成等差数列．[证明]因为sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1，所以sinB(sinA＋sinC)＋(cos2B－1)＝0，即sinB(sinA＋sinC)－2sin2B＝0，所以sinB(sinA＋sinC－2sinB)＝0，由于在△ABC中，sinB≠0，因此sinA＋sinC－2sinB＝0，由正弦定理可得eq\f(a,2R)＋eq\f(c,2R)－eq\f(2b,2R)＝0，于是a＋c＝2b，故a，b，c成等差数列．综合法的解题步骤eq\o([跟进训练])1．设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)·Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m为常数，且m≠－3.(1)求证：{an}是等比数列；(2)若数列{an}的公比为q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝eq\f(3,2)f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))为等差数列．[证明](1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(2m,m＋3)(m≠－3)，又m为常数，∴{an}为等比数列．(2)∵(3－m)Sn＋2man＝m＋3，∴(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，又m≠－3，∴a1＝1，∴b1＝a1＝1，由(1)，可得q＝f(m)＝eq\f(2m,m＋3)(m≠－3)，∴n∈N*且n≥2时，bn＝eq\f(3,2)f(bn－1)＝eq\f(3,2)·eq\f(2bn－1,bn－1＋3)，∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1，又易知bn≠0，∴eq\f(1,bn)－eq\f(1,bn－1)＝eq\f(1,3).∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))是首项为1，公差为eq\f(1,3)的等差数列.分析法的应用【例2】设a，b为实数，求证：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)．[证明]当a＋b≤0时，∵eq\r(a2＋b2)≥0，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．当a＋b＞0时，用分析法证明如下：要证eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，只需证(eq\r(a2＋b2))2≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a＋b))eq\s\up12(2).即证a2＋b2≥eq\f(1,2)(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．用分析法证明不等式的三个关注点1分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、基本不等式、已知的重要不等式等.2分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件或充要条件.3分析法为逆推证明，因此在使用时要注意逻辑性与规范性.其格式一般为“要证……，只要证……，只需证……，……显然成立，所以……成立”.eq\o([跟进训练])2．已知a，b是正实数，求证：eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).[证明]要证eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，只要证aeq\r(a)＋beq\r(b)≥eq\r(ab)·(eq\r(a)＋eq\r(b))．即证(a＋b－eq\r(ab))(eq\r(a)＋eq\r(b))≥eq\r(ab)(eq\r(a)＋eq\r(b))，因为a，b是正实数，即证a＋b－eq\r(ab)≥eq\r(ab)，也就是要证a＋b≥2eq\r(ab)，即(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0.而该式显然成立，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).综合法和分析法的综合应用[探究问题]1．在实际解题时，综合法与分析法是否可以结合起来使用？提示：在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．2．你会用框图表示综合法与分析法交叉使用时的解题思路吗？提示：用框图表示如下：其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．【例3】已知a、b、c是不全相等的正数，且0<x<1.求证：logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc.思路探究：解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成整式不等式证明．[证明]要证明：logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc，只需要证明logxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(a＋c,2)))<logx(abc)．由已知0<x<1，只需证明eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)>abc.由公式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)>0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)>0，eq\f(a＋c,2)≥eq\r(ac)>0，又∵a，b，c是不全相等的正数，∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)>eq\r(a2b2c2)＝abc.即eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)>abc成立．∴logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc成立．1．(变条件)删掉本例条件“0<x<1”，求证：lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(c＋a,2)＞lga＋lgb＋lgc.[证明]要证lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(c＋a,2)＞lga＋lgb＋lgc，只需证lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(c＋a,2)))＞lg(a·b·c)，即证eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(c＋a,2)＞abc.因为a，b，c为不全相等的正数，所以eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)＞0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)＞0，eq\f(c＋a,2)≥eq\r(ac)＞0，且上述三式中等号不能同时成立，所以eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(c＋a,2)＞abc成立，所以lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(c＋a,2)＞lga＋lgb＋lgc成立．2．(变条件)把本例条件“0<x<1”换成“abc＝1”，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)>eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c).[证明]法一：由左式推证右式．∵abc＝1，且a，b，c为互不相等的正数，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝bc＋ac＋ab＝eq\f(bc＋ac,2)＋eq\f(ac＋ab,2)＋eq\f(ab＋bc,2)>eq\r(bc·ac)＋eq\r(ac·ab)＋eq\r(ab·bc)＝eq\r(c)＋eq\r(a)＋eq\r(b).∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)>eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c).法二：由右式推证左式．∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，∴eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＝eq\r(\f(1,bc))＋eq\r(\f(1,ac))＋eq\r(\f(1,ab))<eq\f(\f(1,b)＋\f(1,c),2)＋eq\f(\f(1,a)＋\f(1,c),2)＋eq\f(\f(1,a)＋\f(1,b),2)(基本不等式)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).分析综合法的解题思路分析综合法的解题思路是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.1．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．2．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．实际证题时，常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．1．判断正误(1)综合法是执果索因的逆推证法． ()(2)分析法就是从结论推向已知． ()(3)所有证明的题目均可使用分析法证明． ()[答案](1)×(2)×(3)×2．欲证eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)成立，只需证()A．(eq\r(2)－eq\r(3))2<(eq\r(6)－eq\r(7))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2<(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2<(－eq\r(7))2C[∵eq\r(2)－eq\r(3)<0，eq\r(6)－eq\r(7)<0，故eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(3)＋eq\r(6)(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2.]3．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xlnx求导，得f′(x)＝－lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－lnx＞0，故函数f(x)在