数值计算方法 第4版 课件 第4章4-08,9分段插值_第1页
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4.8分段插值法给定

(x∈［-5,5］)。取等距节点xi=-5+i(i=0,1,…,10),试建立插值多项式L10(x),并作图形,观察L10(x)对f(x)的逼近效果。分段三次埃尔米特插值为了避免Runge现象的发生,很自然地会想到把区间［-5,5］等分为10个小区间,在每一个小区间内应用低次插值。但由于每个小区间只有两个端点（插值节点）,按照已知的方法,得到的将是一个分段线性插值函数。

已知xi,f(xi),f'(xi)(i=0,1,…,n),求分段三次插值函数H(x)满足

H(xi)=f(xi),H'(xi)=f'(xi) i=0,1,…,n

为了得到插值函数,考虑任意子区间xi,xi+1］,i∈(0,1,…,n-1),采用Lagrange插值函数结构,在第i个子区间上H(x)=f(xi)h1(x)+f(xi+1)h2(x)+f'(xi)h3(x)+f'(xi+1)h4(x)

这样，就把H(x)的构造问题转化为四个插值基函数hk(x)(k=1,2,3,4)的构造问题。

4.9三次样条插值

“样条”一词本来是指在飞机或轮船设计过程中为了描绘出光滑的外形曲线所用的一种工具，即一个具有弹性的细长木条。事实上，在作了某些近似简化后，样条的数学模型并不复杂，它只是分段的三次多项式曲线：在相邻两块压铁之间是三次多项式曲线；在压铁处，左右两段曲线的切线和曲率是连续的。定义

给定［a,b］的分划：a=x0<x1<…<xn=b,如果函数s(x)在区间［a,b］上满足以下条件：

（1）在每一个子区间（xi,xi+1）(i=0,1,…,n-1)上s(x)是三次多项式；（2）

s(x)在区间［a,b］上具有二阶连续导数；

（3）s(xi)=yi(i=0,1,…,n),s'(

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