数值计算方法 第4版 课件 第6章02牛-柯公式

6.2牛顿-柯特斯求积公式6.2.1公式的导出6.2.2牛顿-柯特斯公式的代数精度6.2.3低阶求积公式的余项6.2.4复化求积法6.2牛顿-柯特斯求积公式

6.2.1公式的导出2柯特斯系数的求取n

11/21/2

21/64/61/6

31/83/83/81/8

47/9016/452/1516/457/90

519/28825/9625/14425/14425/9619/288

641/8409/359/28034/1059/2809/3541/840

7751/172803577/172801323/172802989/172802989/172801323/172803577/17280751/17280

8989/283505888/28350-928/2835010496/28350-4540/2835010496/28350-928/283505888/28350989/28350柯特斯求积系数表：例如：n=1时，有n=2时，有柯特斯系数的性质

(2)系数有对称性。

(3)当n≥8时开始出现负值的柯特斯系数。

(1)取f(x)≡1，则f(n+1)(x)≡0,Rn(f)≡0，于是梯形公式

当n=1时,有

相当于用直线P(x)代替f(x)计算积分。3常用的低阶牛顿-柯特斯公式抛物线(辛卜生)公式牛顿－柯特斯求积公式当n=2时有

相当于用过两个端点和中点的二次

抛物线P(x)代替f(x)计算积分。辛卜生公式的几何意义

柯特斯公式牛顿－柯特斯求积公式当n=4时有

6.2.2牛顿－柯特斯公式的代数精度当f(x)是1,x,x2,…,xm时，准确成立，但当f(x)=xm+1时，不准确成立，则称求积公式的代数精确度（简称代数精度）为m。复习定义求积公式（Ai与f(x)无关）牛顿－柯特斯公式是把积分区间分成n等分，用n+1个节点构造的插值求积公式。因此，牛顿－柯特斯公式至少具有n

次代数精度，但当n为偶数时具有n+1次代数精度。

定理当n是偶数时，牛顿－柯特斯求积公式具有n+1次代数精确度。梯形公式，

n=1(2个节点）,有1次代数精度，应用梯形公式不是因为其代数精度高，而是因为其简单。辛卜生（抛物线）公式，n=2(3个节点）,有3次代数精度，柯氏公式，n=4(5个节点）,有5次代数精度。因为其代数精度高，所以常采用。当n=3(4个节点）,因为n=3不是偶数，只有3次代数精度，所以该公式不采用。

证

由于(x-a)(x-b)在[a,b]

中不变号，在[a,b]

中连续，根据广义积分中值定理，存在一点η∈[a,b]

,使6.2.3牛顿－柯特斯公式的余项梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式的余项（误差估计）定理（梯形公式的余项）设f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数，则梯形公式的余项（误差)

对梯形公式余项的说明负号f(x)的2阶导数，有1次代数精度。3和区间的3次方成正比。例证梯形公式的代数精度为1。证明梯形公式是误差当f(x)=1,x

时，R1

(f)=0,梯形公式成为准确等式.当f(x)=x2

时，根据梯形公式，R1

(f)不为零。因此，梯形公式的代数精度为1。

定理（辛卜生公式的余项）设f(x)在[a,b]上具有连续的四阶导数，则辛卜生公式的余项定理（柯特斯公式的余项）设f(x)在[a,b]上具有连续的六阶导数，则柯特斯公式的余项

对辛卜生公式余项的说明负号f(x)的4阶导数，有3次代数精度。3和区间的5次方成正比。例证明辛卜生公式的代数精度为3。证明辛卜生公式是误差当f(x)=1,x,x2,x3

时，R2

(f)=0,辛卜生公式成为准确等式.当f(x)=x4

时，因此，辛卜生公式的代数精确度为3。≠0，辛卜生公式不能准确成立。

对科特斯公式余项的说明负号f(x)的6阶导数，有5次代数精度。3和区间的7次方成正比。

梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式在区间不大时，用来计算定积分是简单实用的。但当区间比较大时，由余项可以看出精度差（梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式的余项分别和区间长度的3，5，7次方成正比），为减小因区间过大造成的误差过大，将积分区间等分成n

等份，对每等份（每个小区间）分别用低阶的牛顿－柯特斯公式（如梯形公式、辛卜生公式或柯特斯公式）求积，然后将其结果加起来，得到积分的近似值。6.2.4复化求积法

复化求积法的基本思想：为减小因区间过大而造成的误差过大，将积分区间等分成若干等份,每份成为一个子区间，然后对每个子区间用低阶的求积公式（如梯形公式、辛卜生公式或科特斯公式等）求积，再利用积分的区间可加性，把各区间上的积分加起来，得到复化求积公式。将积分区间等分成n个小区间，在每个小区间上分别用梯形求积公式求积，然后再将其结果加起来。设f(x)

在[a,b]上有连续的二阶导数，n是正整数.将[a,b]等分成n个小区间1复化梯形公式及其误差在，上运用梯形公式然后对各子区间的积分值相加在[a,b]上的误差由于f″(x)连续，对连续函数在[a,b]上存在，有（平均值）梯形公式的误差已知为当f(x)在[a,b]有连续的2阶导数时，在子区间例

用n=6的复化梯形公式计算积分的近似值。解

44.24.44.64.855.21.827655用n=6的复化梯形公式计算积分解

2复化辛卜生（抛物线）公式及其误差记子区间的中点为则复化辛卜生（抛物线）求积公式当f(x)

在[a,b]上有连续的4阶导数时，在子区间辛卜生公式的误差为使绝对误差小于10