图形与几何教材分析及策略

图形与几何教材分析及策略

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。实际物体几何图形特征描述空间知觉（表象的基础）↓空间观念（表象的形成）↓空间想象（表象的改造）三种水平既递进发展，又交错共存实物指认图形指认剖面指认例如：指认圆柱高我们认为其中的“空间与图形”涉及到的内容可以分为这样几类：视图；图形的位置；图形的认识；图形的变换；测量；展开与折叠。

PISA通过各种各样的问题或是分开或是综合地对它们进行了考察。例如，PISA中有这样一个问题是对视图、变换及测量的综合考察：螺旋形的建筑（PISA2000）现代建筑通常有着不寻常的形状。下图给的是一个螺旋形的建筑的模型及它的地层的平面图。图形下方是方向轴。建筑的底楼有一个主要入口和一些商店，在此上面的20层都是公寓。每层的平面图都和底层相同，但每层都相对于下一层旋转了一定角度。建筑的电梯和平台位于图中的圆柱形内。问题1：试以米为单位估计这栋建筑的高度，并解释你的答案。现有两张不同方向看到的图，问题2：图1是从哪个方向看到的？（A.北B.南C.东D.西）问题3：图2是从哪个方向看到的？（A.西北B.东北C.东南D.西南）问题4：每层的公寓相对于底层都有一定角度的“旋转”。最顶层（21层）相对于底层来说旋转了。下面的图表示的是底层。请在它上面画出第11层的平面图，并标明它与底层的相对旋转度数。这是一道综合性问题，问题1涉及的是对建筑高度的估测，问题2、3则是一个与视图有关的题目，而问题4就从“旋转”变换的角度来要求学生。它不是用抽象的几何图形来考察学生对相关知识的理解，而是将其融入到这样一个现实的情景中，考察学生是否能在现实中把握现代建筑这个“几何体”，PISA认为这将反映出一个人的几何素养。我们可以进一步地把PISA中考察的内容总体分为两大类——静态与动态。所谓静态，即指我们传统的几何课程中所关注的一些部分，如度量衡方面的知识、图形的认识等；而动态，则包含了变换、视图、立体的展开与折叠等内容。PISA在不摈弃传统的几何的同时，更侧重于希望学生用“动态”的眼光去“了解、探索和征服我们所居住、呼吸和运动的空间，以使我们对它有更多的了解”（Freudenthal,1973）。PISA考察的是15岁年龄段的处于基础教育结束阶段的学生，对我国来说，这个年龄段的学生正是初中毕业，那么，值得我们思考的是对初中阶段的学生来说，PISA中所关注的几何素养是否也应成为我国义务教育阶段的学生几何学习目标的重要组成部分呢？从PISA试题中我们可以看出，它处处渗透着推理的思想和要求，处处体现着几何中的直观、经验和归纳。

从《圆的认识》三种教材的变化

看该领域教学的变化

1.“圆的认识”的编写顺序1980：（1）说明生活中有许多圆形的物体（2）圆规画圆（3）圆心、半径、直径概念（4）半径与直径的属性（相等、无数条）（5）圆是轴对称图形（6）练习1990：（1）从平面直线图形引出曲线图形圆。（2）生活中有许多圆（3）用圆形物体画圆（4）纸质的圆对折给出圆心（5）用尺子量圆心与与圆上任意一点的距离，发现规律，给出半径。（6）半径的属性（7）直径的概念与属性（8）直径与半径的关系（9）圆规画圆（10）练习2006：（1）用圆形物体画圆（2）用纸质的圆对折（3）给出圆心、半径直径概念。（4）直径与半径属性与关系（5）圆规画圆（6）练习（7）圆是轴对称图形，画轴对称图（8）练习2.三种教材如何开头，引导教师与学生对圆的认识进行研究的?有什么共同点与不同点？3.三种教材如何给出圆心、半径、直径三个概念，如何引导师生研究半径、直径的属性以及它们的关系？4.三种教材如何引导学生画圆？5.三种教材出现了哪些练习题的类型？图形与几何“图形的认识”“测量”“图形的运动”“图形与位置”新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化？有哪些新的要求呢？小学阶段对于“图形的认识”这一内容，教材是遵循怎样一个编排体系？怎样通过图形的认识教学，促进学生空间观念的发展？(请你举例）话题一:图形的认识实验稿2011年版

第一学段（1）通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等立体图形。

（2）辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。［参见例1］

（3）辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。

（4）通过观察、操作，能用自己的语言描述长方形、正方形的特征。

（5）会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。

（6）结合生活情境认识角，会辨认直角、锐角和钝角。

（7）能对简单几何体和图形进行分类。1.能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体。2.能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体（参见例11）。3.能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。4.通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征。5.会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。6.结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角。7.能对简单几何体和图形进行分类（参见例20）。1.新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化？有哪些新的要求呢？实验稿2011年版

第二学段（1）了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点。

（2）能区分直线、线段和射线。

（3）体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。

（4）知道周角、平角的概念及周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。

（5）结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。

（6）通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，会用圆规画圆。

（7）认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°。

（8）认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。

（9）通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图。

（10）能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置。［参见例1］1．结合实例了解线段、射线和直线。2．体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。3．知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。4．结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。5．通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆。6．认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°。7．认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。8．能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图（参见例32）。9．通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图。

对图形认识的要求主要包括两个方面：一是对图形自身特征的认识。二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。有哪些新的要求呢？学生的图形认知水平主要分为五级：水平1：直观化；水平2：描述/分析；

小学水平3：抽象/关联；水平4：演绎/形式化推理；水平5：严密/元数学。中学图形认识的教学要明确两点：一是这部分内容属于图形认识的哪个水平，前面的知识基础和后续知识各是什么；二是多数学生现在的形象思维处于一个什么阶段，要通过教学达到什么阶段。“体－面－体”的混合螺旋编排结构原因是：

第一、分散难点

第二、符合儿童生活经验和认知规律。2.小学阶段，对于图形的认识，教材是遵循了怎么样的一个编排体系？第一：通过对实物的观察与操作认识图形发展空间观念

案例：画图的技能3.怎样通过图形的认识教学，促进学生空间观念的发展？画图技能思考：画图技能背后有哪些认知目标？教师如何通过设计教学任务来完成这些认知目标？有关图形知识的学习从认知目标出发分为：识图和画图。识图是头脑中的操作，画图是行为中的操作。画图的技能对该概念的形成很有意义。“以图识性”第一学段侧重直观感知图形特征第二学段侧重理论提升，画图时需要理解画图的原理。第二：基于图形的想象和图形之间的转换，

发展空间观念案例《正方体展开图》正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。十四条边布周围，十一类图记分明：四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。一、四方成线两相卫，六种图形巧组合

以上六种展开图可归结为四方连线，即，另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。二、跃马失蹄四分开以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。三、两两错开一阶梯这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。四、对面相隔不相连这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。如果出现三个相连，则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2号面，并且是对面的一定不相连。五、识图巧排“7”、“凹”、“田”

这里介绍的是一种排除法。如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点处不可能出现四个面的。如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。话题二：测量一维图形的大小二维图形的大小面积长度三维图形的大小体积重点问题问题1：如何以“测量”为载体，体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，渗透度量意识。问题2：如何帮助学生在图形测量过程中感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法，积累数学活动经验，培养学生的空间观念。问题3：如何在图形测量的过程中，培养学生的估测意识和能力，体验解决问题方法的多样性。问题1：如何以“测量”为载体，体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，渗透度量意识。

《角的度量》案例3：关注没有问题的“轻松”课堂

——角的度量

创设情境认识量角器

使用量角器总结提高课后留给老师们的思考：１.课堂学生似乎轻松地学会了角的度量，难道他们真的没有遇到问题吗？3.如何让学生在探究知识的过程中学会发现问题、提出问题并尝试着解决问题呢？2.在数学学习过程中是否还有比掌握量角的技能更重要的东西呢？4.这样的课堂似乎缺了点什么，缺了点什么呢？……“问题丛生”的课堂问题一：“怎么才能量出这两个角谁大谁小呢？”

——小角量大角，渗透度量意识(1)⑵问题二：“小角量大角太麻烦了，有更简便的测量方法吗？”——认识量角器，感受量角器的价值问题三：“这样量怎么读不出度数”？——亲自尝试，探究量角的方法学生一上来就犯了从直尺一端开始测量的“经验主义”错误。不会正确摆放量角器。用量角器非中心点的一端顶住了角的顶点。因此，找不到角的度数。学生用量角器的圆弧直接卡住了两条边的任意一点直接去量点。问题四：“究竟是30°还是150°呢？”

——亲自尝试，突破难点

30°

150°这是一节问题丛生的“活力课堂”，巧妙的教学设计魅力就在于此——让学生自己发现问题、提出问题、解决问题，积极主动地自主建构。学生的错误是有价值的教学资源。从引发冲突，激起探究需要，到最后自主解决问题，这样才能真正让学生从知识产生过程的体验中，享受到探究的乐趣，获得自信和活力，让学生获得高质量的课堂生活。问题2：如何帮助学生在图形测量过程中感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法，积累数学活动经验，培养学生的空间观念。

《计量单位》问题3：如何在图形测量的过程中，培养学生的估测意识和能力，体验解决问题方法的多样性。

《课标的三个案例》感悟数学思想，积累数学活动经验

----从《课标》的三个案例说起

案例（一）

图中每个小方格为1个面积单位，试估计曲线所围成的面积。如图一:解决这个问题通常的做法是数方格。先数一数有多少个整格，再数一数有几个半格，把不满整格的进行整合,最后累加起来,用此方法估计不规则图形的面积。这是我们常用的方法。没能体现估算的价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻的内涵。教学时教师可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形的面积。例如，教学中教师可以启发学生首先观察图形，边进行思考“你认为曲线所围成的面积结果可能会在那个范围之间呢？你能用已有的经验来解决这个问题吗？”教师可以引导学生试一试。首先选择好用来估计的“单位”即：以图形中的一个小方格为一个单位。再找出曲线围成图形面积的上界和下界。学生可以这样操作，先数出曲线围成图形内包含的完整小方格数，用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的下界（有75个这样的单位）；然后再数出曲线围成图形边缘接触到的所有的小方格数，也用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的上界（有113个这样的单位）。第一种方法估计的比实际面积小，第二种方法估计的比实际面积大，实际的面积是在这两个数之间。由此确定曲线围成图形面积可能的取值范围。教师继续追问“那么还有什么方法能使估算的结果更接近实际面积的吗？试一试！”对学有余力的学生无疑是提出了更富有挑战性的问题。引导学生将所有的方格等分成更小的方格，继续利用上面的经验，探索出更接近实际面积的估计值。渗透极限思想。如图三:同样的数学学习素材，截然不同的教学设计，给我们的启示是什么？“数方格”的设计没能充分体现估算的学习价值，只是把估算当成一个操作技能——数方格（知识点）去教了，为了教估算而估算。“寻找区间”的设计则注重学生估算意识和方法的培养。选择合适的估计“单位”是引导学生进行有效估算的关键，引导学生体验逐渐逼近的极限思想。教学过程中教师要注重帮助学生养成事先做好规划的习惯，启发学生运用不同的方法估计图形的面积。通过对上界、下界的确定，帮助学生寻求取值范围，找到合适的区间。这个上界、下界的确定，对学生体验估算是很有意义的。这是真正意义上估算价值的体现。特别是通过教师引导学生将方格等分成更小的方格，使估计值更逼近准确值，从中渗透“极限”的数学思想。这对学生的数学学习是很有意义的。估算教学要通过在具体情境背景下的问题解决，培养学生用近似的思想解决问题，培养学生估算意识和方法，让学生多拥有一种解决问题的方法。并在其中帮助学生感悟数学思想和方法，积累数学数活动的经验。“图形的测量”中的几个核心理念：1.使学生体会建立统一度量单位的重要性；2.使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感悟；3.在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量；4.重视估测及其简单应用；5.帮助学生在图形测量活动中感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法，积累数学活动经验，培养空间观念。话题三:图形的运动1.图形的运动有哪些主要方式？2.2011版课标中关于“图形的运动”这部分内容与2001版实验稿课标相比有哪些变化？有什么新的要求？3.“图形的运动”常用的教学策略有哪些？图形的运动合同运动相似运动形状和大小不变，仅仅位置发生变化形状不变而大小变化问题一：图形的运动有哪些主要方式？

第一学段：学生借助日常生活中对图形运动现象的观察与直观感受，了解平移、旋转和轴对称；并认识两个图形具有平移或轴对称的关系。提供大量的丰富的图形运动现象，引导学生充分地观察、想象，运用日常生活中已经积累的有关经验，归纳、发现各种运动的特点，是达成这个课程目标的有效途径。新修订的课标提倡我们组织学生分组收集日常生活中常见的图形。（如课标案例21——生活中的轴对称图形。）

引导学生观察它们是否有对称轴，若有对称轴，数出或说出有几条对称轴。尝试画出它们的对称轴。在课堂中展示交流大家的发现，并尝试设计出一些轴对称图形。这个活动可以鼓励学生主动观察，设法收集（如可以使用数码相机或现场素描等）。学生可以结合自己的生活环境发现、找到他们熟悉的图形对象中隐藏的对称轴，并在交流过程中丰富自己的经验。在交流大家收集到的图形的基础上，教师进一步鼓励学生自己设计轴对称图形，并交流自己图形所表达的意思。第二学段：（1）按要求在方格纸上画出一个图形经过平移或旋转后所得的图形，会补全一个轴对称图形。图形的运动对小学生的认识来说，是比较抽象的，有一定难度。如果把抽象的空间意识转化为具体的、容易操作的教与学的过程，方格纸起到很好的作用。《标准》只要求图形沿水平或竖直方向平移、图形绕着一点旋转90°。不要求图形沿其他方向平移或绕着一点旋转任意角度。方格纸能帮助学生更准确地认识和理解图形基本特征，能更好地使学生认识和描述空间图形的变换过程，可以有效地促进学生对空间概念的建立。这也就回答了在“图形与几何”学习中方格纸的作用。（2）研究图形的相似运动，即将图形放大或缩小。第二学段要求“能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小”，这里的“放大与缩小”不是严格的相似，主要是直观感知，即放大或缩小后的图形与原来的图形形状相同而大小不同。这将为第三学段研究图形的相似运动和位似运动奠定基础。（3）综合运用图形的运动进行图案的欣赏与设计。学生对图形运动特点的了解、能够在方格纸上按要求画出运动后的图形，这些知识技能和经验是图案的欣赏和设计的基础。图案的欣赏与设计，为学生用数学的眼光看世界、看生活提供了机会，也可以进一步感受数学的美、数学的价值。

欣赏或设计一个图案时，不同的学生会有不同的感受、不同的解释、不同的想象，只要是合理的都应予以肯定，并进行交流与分享；但应要求学生用自己的语言表达图案中的图形运动关系，从而更好地体会图形的运动在图案欣赏和设计中的作用。关于对称的教学5观察物体

五下第一单元：图形的变化

1.学生进一步认识图形的轴对称，探索成轴对称的特征和性质，并能在方格纸上画一个图形的轴对称图形。

2。进一步认识图形的旋转，探索图形旋转的特征和性质，能在方格纸上画简单图形旋转90度。

3.初步学会用对称、平移和旋转的方法在方格纸上设计图案，进一步增强空间观念。1.为什么由“图形与变换”改为“图形的运动”？

一是为了突出小学阶段的特点，“运动”更加直观易懂；二是更加突出了从运动的角度刻画图形。

运动是世间万物的基本特征，是物质存在的基本形式。问题二：2011版课标的新变化？新要求？

2.学习这部分内容的价值是什么？（1）从学生角度来看

现实生活中存在着大量的图形的变换的现象，学生有丰富的生活经验，为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。我们希望提供给学生一种数学的眼光，去认识和把握这些现象。问题二：2011版课标的新变化？新要求？（2）从数学发展的角度来看

1872年，德国大数学家克莱茵发表“爱尔兰根纲领”的演说，这个里程碑式的论断，改变了近两千年来人们用静止的观点研究几何的传统方法。2.学习这部分内容的价值是什么？问题二：2011版课标的新变化？新要求？课标实验稿2011版课标第一学段1.结合实例，感受平移、旋转、对称现象。2.能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。3．通过观察、操作，初步认识轴对称图形。并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。结合实例，感受平移、旋转、轴对称现象。能辨认简单图形平移后的图形。通过观察、操作，初步认识轴对称图形。问题二：2011版课标的新变化？新要求？3.与实验稿的课标相比有哪些变化？有什么新要求？课标实验稿2011版课标第二学段1.用折纸等方法确定轴对称图形的对称轴，能在方格纸上画出一个简单的轴对称图形。2.能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。3.通过观察实例，认识图形的平移与旋转，能在方格纸上将简单图形平移或旋转旋转90°。4.欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。1．通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。2．通过观察、操作等，在方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，会在方格纸上将简单图形旋转90°。3．能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小。4．能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们在方格纸上设计简单的图案。问题二：2011版课标的新变化？新要求？3.与实验稿的课标相比有哪些变化？有什么新要求？1.结合生活实例，在观察与比较中认识图形的运动问题三：常用的教学策略有哪些？2.借助操作活动，加深对图形运动的认识，帮助学生体会图形运动的特征3.注重从运动的角度，引导学生欣赏图形、设计图案4.在解决问题中注重“图形的运动”和相关知识的联系，发展空间想象力和解决问题的能力修订课标中有这样的案例——例35图画还原：打乱由几块积木或者几幅图画构成的平面画面，请学生还原并利用平移和旋转记录还原步骤。2.从运动变换的角度理解度量小学阶段，在平面几何和立体几何的面积和体积公式的推导过程中，时刻都能感受到变换的重要作用。三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式的推导过程中，会用到拼凑、割补等多种推导的方法，这些方法的实质是图形的变换。（单位：dm）10862利用图形的旋转、平移变换求面积2.从运动变换的角度理解度量公园草坪上有一把休闲椅（如下图）。园林工人发现，椅子的侧面出现了破损。如果重新更换侧面的装饰膜，一共需要多少装饰膜？总之，小学阶段有关图形的运动目标的达成是一个循序渐进的过程，教师在课堂教学中应该注重多种策略的运用，以这个内容为载体，帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。1.新的课程标准在确定图形位置方面有哪些变化？变化的意义是什么？2.来自老师们的问题有哪些？3.这部分内容教学中发展空间观念的教学建议有哪些？话题四:图形与位置实验稿课标2011年版课标第一学段（1）会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置。

（2）在东、南、西、北和东北、西北、东南、西南中，给定一个方向（东、南、西或北）辨认其余七个方向，并能用这些词语描绘物体所在的方向；会看简单的路线图。1.会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置。2.给定东、南、西、北四个方向中的一个方向，能辨认其余三个方向，知道东北、西北、东南、西南四个方向，会用这些词语描绘物体所在的方向（参见例16）。问题一：新的课程标准在确定图形位置方面

有哪些变化？变化的意义是什么？实验稿课标2011年版课标第二学段（1）了解比例尺；在具体情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。

（2）能根据方向和距离确定物体的位置。［参见例5］

（3）能描述简单的路线图。［参见例6］

（4）在具体情境中，能用数对来表示位置，并能在方格纸上用数对确定位置。［参见例7］1．了解比例尺；在具体情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。2．能根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置。3．会描述简单的路线图（参见例36）。4．在具体情境中，能在方格纸上用数对（限于正整数）表示位置，知道数对与方格纸上点的对应（参见例37）。问题一：新的课程标准在确定图形位置方面

有哪些变化？变化的意义是什么？第一、二学段“图形与位置”的内容是按两条线索展开的：一是确定物体的相对位置；二是辨认方向和使用路线图。图形与位置内容分析与教学建议“图形与位置”的教学内容及教学目标

人教版教材在第一、二学段五次编排了“图形与位置”的内容。

第一次：（一年级上册）用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置。

第一次呈现“图形与位置”的内容，教材编排了四个方面的内容。

上、下上、下在的上面，在的下面。在的

面，在的

面。的下面有什么?李林在王英的前面，王英在李林的后面。张宁在李林的___面，王英在张宁的___面。李林王英张宁前、后等一下，我后面还有3个人。左、右1这是右手。另一只手是······看看你的两只手。左右左右手是好朋友。两只小手可以做什么？右手写字,左手压本子。我举手发言用右手。我的左边有什么?我的左边有······2伸出右手，握一握。我是第1组第2个。我是第5组第5个。第()组第()个。第()组第()个。3344位置你的座位是第(

)组第(

)个。你前面的同学是第(

)组第(

)个。你后面的同学是第(

)组第(

)个。你左边的同学是第(

)组第(

)个。你右边的同学是第(

)组第(

)个。教学目标借助学生的生活经验认识“上、下”，学习用上、下描述物体的相对位置。

排队上车、游泳比赛中的运动员、教室中的座位等都有前、后顺序，利用这些学生的生活经验认识前、后，学会用前、后描述物体的相对位置。借助“左手、右手平时做什么”这些早已养成的生活习惯，认识左、右，学会用左、右描述物体的相对位置。

借助学生的生活经验（教室的座位、电影院中的座位等），初步学习用“第几组第几个”、“第几行第几个”、“第几排第几个”等语言描述的方式确定物体的位置。

第二次：（三年级下册）在东、南、西、北、东北、西北、东南、西南八个方向中，给定一个方向，辨析其余七个方向；用方位词和距离描述路线；会看简单的路线图。

第二次呈现“图形与位置”的内容，教材编排了五个方面的内容：

早晨，太阳在东方。图书馆在校园的东面，体育馆在校园的___

面。我面向东，背对着的方向是西。教学楼体育馆图书馆小明小明左手指向北方，右手指向南方。1我们来完成校园的示意图。

操场北教学楼我把上方定为西。我把上方定为南。2北请问去少年宫怎么走?先向东再向北。如果要去体育场，可以怎么走?3(1)小红从家向东走了120米，又向____

走了

____

米到游泳馆。·······书店小兰家小明家剧场学校游泳馆小红家120米200米280米150米80米210米170米90米北····邮局50米100米多功能厅在校园的东北角。多功能厅食堂可以用指南针帮助我们辨别方向。4动物园导游图北去熊猫馆，可以先到狮山，再向西北走。也可以······熊猫馆在西北角。飞禽馆在动物园的什么位置？从大门出发可以怎样走？5教学目标借助学生熟悉的校园认识东、南、西、北。

画校园示意图，把生活中的东、南、西、北与图上的东、南、西、北联系起来，提高学生辨别方向的能力。

学会用东、南、西、北和距离描述简单的路线。

借助指南针辨别东、南、西、北、西北、东北、西南、东南八个方向，给定一个方向，能辨析其余七个方向。

会看简单的路线图，能用东、南、西、北、西北、东北、西南、东南八个方向描述简单的路线。

第三次：（四年级下册）用方向与距离确定物体的位置。

第三次呈现“图形与位置”的内容，教材编排了四个方面的内容：

东西南北起点30°1千米111号检查点在东偏北30º的方向上。大约要走1千米。在平面图上标出校园内各建筑物的位置。(1)教学楼在校门的正北方向150米处。(2)图书馆在校门的北偏东35º方向150米处。(3)体育馆在校门的西偏北40º方向200米处。2怎样表示出150米?可以用

1

厘米代表50米。先确定方向。北京和上海两地相距大约1067千米。3上海在北京的南偏东约30º的方向上。北京在上海的___偏___约_____的方向上。公园定向运动路线图(1)根据上面的路线图，说一说每一赛段所走的方向和路程。终点起点100米12东偏北30°西偏北20°1000米1000米西偏南45°800米4教学目标

学习用方向和距离确定物体位置的方法。

通过在校园平面图上确定物体的位置，掌握用方向和距离确定物体位置的方法。

在地图上描述北京、上海两地之间的位置关系，体会用方向和距离确定物体位置的相对性。

借助校园定向运动路线图，利用确定位置的方法描述比赛路线。

第四次：（六年级上册）用“数对”确定位置。

第四次呈现“图形与位置”的内容，教材编排了两个方面的内容：

是第二列，第三行的同学。(1)你能指出哪个是张亮同学吗?赵强李刚1熊猫馆在(

，)。6543210

1

2

3

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5

6动物园示意图大象馆大门猴山熊猫馆海洋馆我用(3，0)表示大门的位置。2教学目标以教室内学生的位置情况为背景学习用“数对”确定位置的方法。

在动物园示意图上，利用“数对”确定位置的方法表示各场馆的位置。

第五次（六年级下册）了解比例尺；在具体情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。

学习比例尺，提高学生识图、画图的能力，是确定位置方法的具体应用。第五次呈现“图形与位置”的内容，教材编排了三个方面的内容：

比例尺

在绘制地图和其他平面图的时候，需要把实际距离按一定的比缩小(或扩大)，再画在图纸上。这时，就要确定图上距离和相对应的实际距离的比。一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。1:100000000是数值比例尺，有时写成1100000000这是线段比例尺，表示地图上

1

cm

的距离相当于地面上50km的实际距离。比例尺1:100000000比例尺050100km

在生产中，有时由于机器零件比较小，需要把实际距离扩大一定的倍数以后，再画在图纸上。你知道图中的2:1表示什么吗?把下图的线段比例尺改成数值比例尺。比例尺050100km1下面是北京市地铁规划图。地铁1号线在图中的长度大约是10cm，它的实际长度大约是多少?2比例尺1:500000学校要建一个长80m、宽60m的长方形操场，画出操场的平面图。我想用线段比例尺。可以先确定比例尺。我觉得1:1000的比例尺比较合适。再根据比例尺确定图上操场的长和宽。3教学目标

根据实际地图、平面图理解比例尺的意义；根据图上距离、实际距离会计算一幅图的比例尺；认识数值比例尺、线段比例尺，能进行二者之间的转换。根据给出的比例尺会进行图上距离与实际距离之间的转换。能根据实际情况灵活选择比例尺，绘制简单的平面图。“图形与位置”内容之间的关系第一、二学段“图形与位置”的内容是按两条线索展开的：一是确定物体的相对位置；二是辨认方向和使用路线图。图形与位置确定物体的相对位置辨认方向和使用路线图用上、下、前、后、左、右描述物体的相对位置用“第几行第几个”、“第几排第几个”描述物体的位置用“数对”描述、确定物体的位置认识八个方向，会用方向词描述物体所在的方向和简单路线用方向、距离描述、确定物体的位置，描述路线，画路线图比例尺及其应用学习平面直角坐标系，用坐标确定点，用坐标表示几何图形学习极坐标把“图形与位置”的教学内容分成“确定物体的相对位置”、“辨认方向与使用路线图”两部分，可以让我们看出两方面内容是有区别的。但是它们并非截然分开，而是有联系的，无论是上下、前后、左右，还是东、南、西、北，都既可以用来描述物体的相对位置，又可以用来说明方向。

例如，“把数学书放在作业本的上面”、“电梯上行”，前者表示相对位置，后者表示方向。在“图形与位置”内容的教学设计中应该注意哪些问题？

“图形与位置”的内容是“空间观念”在教材中的具体呈现，因此，发展学生的空间观念是“图形与位置”教学的核心目标。

在“图形与位置”的教学中，如何更好地发展学生的空间观念呢？提出三点总体建议：

建议一：充分利用学生的生活经验学生的空间知识来自于丰富的现实原型，与现实生活关系非常紧密，这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源。让学生在“教室里”、“校园内”、“电影院中”、“上学路上”等熟悉的情境中学习“图形与位置”的内容，不仅可以激发学习的兴趣，而且有利于更好地认识空间，发展空间观念。建议二：让学生经历生活经验回忆、观察、操作、

想象、描述、思考、交流、分析、推理、表示等活动过程

发展空间观念的途径是多样化的，在教学中我们只有让学生经历了多样化的数学活动过程，才能逐步发展空间观念。

建议三：倡导自主探索与合作交流的教学方式

以被动的听讲和练习为主的方式，很难形成空间观念。培养空间观念需要大量的实践活动，学生需要有充分的时间和空间去经历多样化的数学活动过程，这不仅需要自主探索、亲身体验，更需要合作交流。

辨别方向

变式练习

游戏巩固

填写记录卡

制作校园平面图

案例：《认识东、南、西、北》教学片段（在操场上辨别方向）

案例解读

操场是学生熟悉的校园环境，太阳从东方升起从西方落下是学生已有的生活经验，前、后、左、右是学生已有的知识，在学生熟悉的情境中，利用学生已有的知识经验认识东、南、西、北，符合学生的认知规律。

案例解读

变式练习让学生在比较中感知到了东、南、西、北各占一方的固定性和前、后、左、右的相对性。有趣的游戏要利用刚刚学到的方位的知识，实现了“兴趣”与“数学思考”的有机结合。

填写记录卡、制作校园平面图这两个活动，对于低年级学生来说还是有一定难度的，但是非常有意义，不仅让学生刚知道了实际方位与图上方向之间的联系，而且让学生经历了“观察——初步形成表象——再现——形成校园平面图的表象”的过程，有利于发展学生的空间观念。

学生在生活中获得了很多对“图形与位置”的认识，可能这些认识是零散、模糊的，与教学的要求并不相符，教学中如何充分利用学生的已有经验？

案例一：

六年级《数对》教学前测

测试问题：请你在纸上描述出