一讲数学二高等数学模拟题

2017数一高等数学模拟题分析Page1of2017考研数学二模拟题一、选择1ln（1）极限limx1（C）e2（D）e21ln1lnsineln2017数一高等数学模拟题分析Page1of2017考研数学二模拟题一、选择1ln（1）极限limx1（C）e2（D）e21ln1lnsineln解法1：lim.x1 cos 2x 1x12 ln11ln所以lime.正确选项为x2解法2：设f(xsinxlnx,则lnf(x .因1 cos 2x 1， ln1x211ln所 lime.正确选项为x2关于不定型极限的计算方泰勒公12017数一高等数学模拟题分析Page2of2017数一高等数学模拟题分析Page2of22017数一高等数学模拟题分析Page2017数一高等数学模拟题分析Page3of32017数一高等数学模拟题分析Page4of1（2）f(x)的间断点x0与x2017数一高等数学模拟题分析Page4of1（2）f(x)的间断点x0与x1的类型分别1e1第一类间断点，第二类间断点．第二类间断点，第一类间断点．第一类间断点,第一类间断点第二类间断点,第二类间断点解：lime1x1，limf(x不存在x0为函数f(x)的第二类间断点；为xe1，limf(x)0xe1， f(x)0x1为函数f(x)的第一类间断关于一元函数间断点的分类问42017数一高等数学模拟题分析Page2017数一高等数学模拟题分析Page5of52017数一高等数学模拟题分析Page6of（3） dx01sin2（A）2（B）1．（C）1（D）22答案233 2017数一高等数学模拟题分析Page6of（3） dx01sin2（A）2（B）1．（C）1（D）22答案233 01sin2 解dx.令ttanxdxdxdx221sin221sin21sin200 20dx01sin22t2 关于定积分与不定积分问1.几类函数的不定积分：初等函数、分段函定积分的性质：奇偶对称性、周期函数的定积分，保序性等，值定62017数一高等数学模拟题分析Page7of2017数一高等数学模拟题分析Page7of72017数一高等数学模拟题分析Page8of2017数一高等数学模拟题分析Page8of82017数一高等数学模拟题分析Page9oftf )dt（4设连续函数f(x满足条件f(xf(x)30足的微分方程初值问题2017数一高等数学模拟题分析Page9oftf )dt（4设连续函数f(x满足条件f(xf(x)30足的微分方程初值问题f(x)f )3（A） (x)3f(x)2（B）．．f(0)f(x)f(x)f(x)3f(x)2e2（C）3（D）f(0)．．答案f(t)dtxf(x)f(t)dt解：因f(x)连续3300f(x)f(t)dt 可导x两边对x求导可得3f(x)3f(x)关于函数方化成微分方程的初值问化成代数方取x0，f(0)1.92017数一高等数学模拟题分析Page10of（5）设zz(x,y是由方程xyzez所确定的隐函数，z 22017数一高等数学模拟题分析Page10of（5）设zz(x,y是由方程xyzez所确定的隐函数，z 2（D）12（B）111．．．．22答案解：记F(x,yz)xyz，zx z ，，11z所 .1关于隐函数、反函数、参数函数微分的问2017数一高等数学模拟题分析Page2017数一高等数学模拟题分析Page11of2017数一高等数学模拟题分析Page12of ex（6）设a0D{(x,x2y2a2，则Ddxdy2 ex（A）42xydxdy，其中D1{(xy)x2y22017数一高等数学模拟题分析Page12of ex（6）设a0D{(x,x2y2a2，则Ddxdy2 ex（A）42xydxdy，其中D1{(xy)x2y2a2,x0,yD ex（B）22xydxdy，其中D2{(xy)x2y2a2,x0}D ex（C）42xydxdy，其中D3{(xy)x2y2a2,x0,yD答案 ex解：记f(x,y，则f(xyf(xy2记2{(x,y)x2y2a2x0,y0}，3{(x,y)x2y2a2x0,y0} yyyyx则 dxdy dxdy， dxdy 2222D3 ex ex ex ex ex2xydxdy2xydxdy2xydxdy2xydxdy2xydxdyD ex ex ex22xydxdy22xydxdy22xy故正确选项为函数的奇偶性与二重积分2017数一高等数学模拟题分析Page13of例设D是平面上以(1,1),(1,1),(1,1三点为顶点的三角形区则积 (xycosxsiny)dxdy DD2 2017数一高等数学模拟题分析Page13of例设D是平面上以(1,1),(1,1),(1,1三点为顶点的三角形区则积 (xycosxsiny)dxdy DD2 (A) 0x2 2(D 4(xycosxsin解：如图，将D区域分割成D1D1D2D2四个小区域，(xycosxsiny)dxdy(xycosxsinDDD2DD 2而(xy)dxdyDD (xy)dxdyD2D2(cosxsinD2D2(cosxsiny)dxdy(cosxsin2017数一高等数学模拟题分析Page14of(A)正确2017数一高等数学模拟题分析Page14of(A)正确所 (xycosxsin2cosxsinydxdy，答D2017数一高等数学模拟题分析Page15of二、填空1cos2x1xsin（9）222017数一高等数学模拟题分析Page15of二、填空1cos2x1xsin（9）22 x2(ex答案：131cos2x1xsin解：lim limsinx(sinxxcosx)limsinxxcosx2xx 2limxsinx3不定型求极限问2017数一高等数学模拟题分析Page16of（10）方 y23x2y2017数一高等数学模拟题分析Page16of（10）方 y23x2y3xy0的通解 答案：ye2yx则yuxu解：令u,uxu ，3u22ye2C这是分离变量方可求解的常微分变量可分离型方程，可化为变量可分离型方一阶线性方程，可化为一阶线性方程（贝努力方程高阶（二阶）可降阶方高阶线性方程：解的结构，求Euler方程2017数一高等数学模拟题分析Page17of2017数一高等数学模拟题分析Page17of2017数一高等数学模拟题分析Page18of1(y解方程2例。2解：令ppydy2017数一高等数学模拟题分析Page18of1(y解方程2例。2解：令ppydyd2dpdy p dy p 2代入方程得这是变量可分离型2pdp1y两端积分得ln(1p2)lnyln即2017数一高等数学模拟题分析Page19ofdyC1C12017数一高等数学模拟题分析Page19ofdyC1C1y2解此方程化简 Cy1x12C1(Cy1)(x)2121例求方程2yy1y)2满足初始条件y(0)1,y(0)0的特解解：记py ，则原方程2ypdp1可以化为变量可分离方2pdp1 由初始条件p(1)0解ln(1p2)ln1y2还是变量可分离方dydxy1求解，代入初始条y 2017数一高等数学模拟题分析Page20of常微分方程的来本身就是一个常微分方函数方程导出常微分方几何问题导出常微分方2017数一高等数学模拟题分析Page20of常微分方程的来本身就是一个常微分方函数方程导出常微分方几何问题导出常微分方程（与面积、弧长、切线、法线有关第二类曲线积分与路径无设函数f(x)的定义域I上的导数大于零。若对任意的I例曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线xx0及x轴所围成f(0)2，求f(x)的表达式面积恒为4解：切线方程yf(x0)f(x0)(xx0f(x0解得零点x。由条件切线与直线xx及x轴所围成 f(x00面积恒为41(xx)f(x) 02f(xf(x0。f(x)是微分方程初值0即81 y2y8的解。解得通解y 8C2017数一高等数学模拟题分析Page21offx) 8 。1代入初始条件，C ，所2x f4f(x)；f(xxysinx)dx例已知积与路径无关为2017数一高等数学模拟题分析Page21offx) 8 。1代入初始条件，C ，所2x f4f(x)；f(xxysinx)dx例已知积与路径无关为可L f函数,且,（）f(x)2 对(1)中求得f ,求函使uu(x,du(xxysinx)dxf(x)dyx(3)对(1)中求得的f(x),求上述积分,其中积分路径为从A(,1)B(2,0)f(x)(xxysinx xf(x)f(x)f(x)1f(x)x2sinxsinxx这是一阶线性微分方程。通解为f(xx(sinxxcosxC),由初始条件f0,C2 于f(x)x(sinxxcosx(xxysinx)dxf(x)dy(xxysinx)dx(sinxxcosx(2)解法xxxxysinx，u xycosxysinx(2xcosxsinx(y)sinxxcosx(y)1，(y)yCx2u xycosxysinxy2其中C为任意常数。(x,y(xxysinx)dx(sinxxcosx1)dyuxy (sinxxcosx1)dy00x xycosxysinxy22017数一高等数学模拟题分析Page22of(3)解法积分与路径无关,由A到B2017数一高等数学模拟题分析Page22of(3)解法积分与路径无关,由A到B取平行与坐标轴的两条路30I (cos1)dyxdx(1)21Iu(x,y)Bu(B)u(A)(1)3解法A2f(x)cosxsinx2017数一高等数学模拟题分析Page23ofyf（11） 2017数一高等数学模拟题分析Page23ofyf（11） y f(t确定，.10答案f(t)f(t.1解：令tuv，则y f(v)dv，tf(t)f(t.1t参数函数的求2017数一高等数学模拟题分析Page24ofln(cosx1p（12）使得广义积分收敛的实 的取值范0是2017数一高等数学模拟题分析Page24ofln(cosx1p（12）使得广义积分收敛的实 的取值范0是.答案：p22x0是广义积分的瑕点.当x0ln(cosx)ln(1xo(x2))~x22所ln(cos~1，x0p21时广义积1ln(cosdxx0关于广义积分（反常积分反常积分求积分值（见下面的计算题2017数一高等数学模拟题分析Page25of2017数一高等数学模拟题分析Page25of2017数一高等数学模拟题分析Page2017数一高等数学模拟题分析Page26of2017数一高等数学模拟题分析Page27ofx|y|x2y2（13）设f(xyf(t2017数一高等数学模拟题分析Page27ofx|y|x2y2（13）设f(xyf(t,t)，则 x2zx2y2答案 22解：讨论zf(t,t在t0点的导t|tf(t,t)f(0,0)t222 2dt2所以zf(t,t在t0点的可导，其微分t2017数一高等数学模拟题分析Page28of2017数一高等数学模拟题分析Page28of2017数一高等数学模拟题分析Page2017数一高等数学模拟题分析Page29of2017数一高等数学模拟题分析Page30of三、解答exex.（15）计算反常积分 ex2017数一高等数学模拟题分析Page30of三、解答exex.（15）计算反常积分 exe解arctan4e2xe202017数一高等数学模拟题分析Page31off(x)2017数一高等数学模拟题分析Page31off(x)(上有二阶连续导数，且满xf(x)f(x)g(x)f(x)其中g(x为一个固定函数.证明：若f(x在两点等于零时，则f(x此两点间的区间上恒等于证明：设f(a)f(b) ab，若f(x)在(a,b)区间内不恒等于零，cf(c0，不妨设f(c)0，则在[a,b]内f(x有最大值，不妨假设就在点取到，则f(c)0f(cf(c0，c点为最小值点，矛盾。故假设不成立，即f(x)在(a,b)区间内恒等于零.关于极值与最值一元函数的极值判一元函数的最值判多元函数的无条件极值判4.Lagrange2017数一高等数学模拟题分析Page32ofdyd2y dx（17）求解二阶微分方程的定解问题2y(0)1,y(0)d2解2017数一高等数学模拟题分析Page32ofdyd2y dx（17）求解二阶微分方程的定解问题2y(0)1,y(0)d2解：令uy，uy)uy，原方程化yuu2u(u1)若yu0，则yC，不符合初值条件，舍当u0yu2(u1)，方程通解.uCy21由初始条件可知，u(1)3，因此u4y24y21，得到通解为2y1Ce4x，代入初始条件再解方程2y22y11e43，从，所以定解问题之解为y(0)1可得C22y 12y 32017数一高等数学模拟题分析Page33off(x在[0可导，f(01，其反函数g(x（18若xf2017数一高等数学模拟题分析Page33off(x在[0可导，f(01，其反函数g(x（18若xf(g(tx)dt(2x1)f.1（I）；0（II）解（If(x)x0，则由已知条(2x1)f(x)，g(t)dtf(0)xf(1g(tx0（II）令tu g(u)du，所xf(f(g(tx0g(u)du(2x1)f(x)f(0求导可g(f(x))f(x)(2x1)f(x)2f(x)xf(x)(2x1)f(x)2f(x)f(x)2f(x)xf(x) .(x由条件f(0)1，f(x) .(x2017数一高等数学模拟题分析Page34of|xy|dxdyx2y2解：记D(,) 3,02017数一高等数学模拟题分析Page34of|xy|dxdyx2y2解：记D(,) 3,04，D(,)47,0，12444|xy|dxdy(xy)dxdy(xx2y24311 4 )d )d224230044分段定义函数的2017数一高等数学模拟题分析Page35of2017数一高等数学模拟题分析Page35of2017数一高等数学模拟题分析Page36of（20）在曲线yx1)2上的点(2,1)处作该曲线的法线，由法线，x以及该曲线围成的区域记作D求2017数一高等数学模拟题分析Page36of（20）在曲线yx1)2上的点(2,1)处作该曲线的法线，由法线，x以及该曲线围成的区域记作D求区域D的面积求区域D绕x轴旋转一周所生成的体解（I）法线方程为y2x，法线与x轴的交点为(4,0)2积区域Dx4324S (x1)dx )dx2212（II）区域Dx轴旋转一周所生成的体积x24V (x1)dx (2)dx 42212积分的应平面区域的面设D(x,yaxb,0yf(x)，则D¡2的面积yf(x)，则D2的面积更一般地，若D(x,y)axbg(x)在极坐标系下，若D(,),0()，则D¡2的面积例1.1设D¡2由曲线yx2和xy2围成，求其面积解：曲线yx2xy2的交点为(0,0),(1,1)，面积S (xx2)dx130S 2(bSa[f(x)bSaf2017数一高等数学模拟题分析Page37of例1.2求心脏线=a(1cos)(a0)的面积解：因为心脏线关于x13 2017数一高等数学模拟题分析Page37of例1.2求心脏线=a(1cos)(a0)的面积解：因为心脏线关于x13 S a(1222d220曲线的弧设平面曲线的参数方程x，ty则其弧长设平面曲线的极坐标方程()，[,则其参数方程x()cos，[,y()则其弧长设空间曲线的参数方程xyy(t)，t则其弧长b L [x(t)]2[y(t)]2[z(t)]2a L 2()[()]2b L [x(t)]2[y(t)]2a2017数一高等数学模拟题分析Page38of例1.3求旋轮线的一xa(tsint),ya(1t[0,2的弧长解 222017数一高等数学模拟题分析Page38of例1.3求旋轮线的一xa(tsint),ya(1t[0,2的弧长解 22L[x(t)]2[y(t)]2dt 1costdt sindt2000例解求心脏线=a(1(a0)的弧长cos)[)]Ldt222001.3旋转体体设平面区D是由直线xaxb,x轴及续曲线yf(x一个旋转体将Dx轴旋转一周，得设f(x在[0a上连续，由区域Dxy0xa,0yf(x)}绕轴旋转一周所得到旋转体体积例1.5求曲线ysinx,0x,绕x轴旋转所得到的旋转体的体积解aV02xfxbVfx2a2017数一高等数学模拟题分析Page39of2V0sinxdx2例1.6求旋轮xa(tsint),ya(1cost)(0t22017数一高等数学模拟题分析Page39of2V0sinxdx2例1.6求旋轮xa(tsint),ya(1cost)(0t2。x轴旋转所得到的旋转体体V dx y(t)x2200 a(1cost)dt33201.4旋转曲面的面Lxx(t),yy(t),atb是一条光滑的参数曲线,将曲x轴旋转一周得到一个旋转曲面S，则S的面积Lbb |y(t)|dl |y(t) x(t)2y(t)2Saa例1.7求心脏线ra(1cos)(a0,02绕x轴旋转一周所得到旋转面面积解：由心脏线的对称性,只需考虑0yrsina(1cos旋转面面积 ydl4a S220016a sind3224 50二重积分的应2017数一高等数学模拟题分析Page40of空间曲面面设空间曲面的方程 zf(x, (x,y)Dxy,设空间曲面zz(x,y),(x,yDxy由隐函数F(xy,z)0确定，S设空间曲面的 程为x2017数一高等数学模拟题分析Page40of空间曲面面设空间曲面的方程 zf(x, (x,y)Dxy,设空间曲面zz(x,y),(x,yDxy由隐函数F(xy,z)0确定，S设空间曲面的 程为xx(u,v),yy(u,v),zz(u,v)(u,v)Duv则曲面的面积其，C例2.1求球面的面积解：解法 上半球面的方程zx2y ,R2x2y y R2x2yxy dxdyz x2y2S1dxdy22xyRx x2y2 d4 200R解法球面的参数方程xRsinyRsinsin (02,0zRB2C2R2球面的面积 S 00例2.2求曲面z x2y2在柱面(x2y2)2a2(x2y2)内部分的面积SA2B2C2yu yv，Bzuzv F2F2F2 z zS1 2017数一高等数学模拟题分析Page41of解：该曲面在Oxy平面上的投影区域Dxyx,y(x2y2)2a2(x2y2在平面极坐标系下，Dxy变 (,)0acos2,,2017数一高等数学模拟题分析Page41of解：该曲面在Oxy平面上的投影区域Dxyx,y(x2y2)2a2(x2y2在平面极坐标系下，Dxy变 (,)0acos2,, 354 4zz1xyx2 由对称性可知，所求曲面面积2 ddSdxdyx2cos2sin2Dacos2 d4cos2sin204cos2 a d4cos 00cos22 402412sin2d(sin)2a20空间区域的体例2.3求心脏线ra(1cos（其中0）与极轴（z轴）围成图形绕极轴旋转所得的旋转体的体积 0解：这里心脏线方程中的r与也是球坐标系中的两个坐标，且方ra(1cos标系下可表示2017数一高等数学模拟题分析Page42of所以旋转体的体积VV1dxdydzr2sina(1cos2 2r0001 a(1)d3330a3(1cos)48a6 2例2.4设为曲面x2y2ax,x2y2a2017数一高等数学模拟题分析Page42of所以旋转体的体积VV1dxdydzr2sina(1cos2 2r0001 a(1)d3330a3(1cos)48a6 2例2.4设为曲面x2y2ax