2024九年级数学下册提练第8招求二次函数表达式的九种方法习题课件新版冀教版

第8招求二次函数表达式的九种方法冀教版九年级下册典例剖析已知二次函数图像的顶点坐标为(1，－3)，且过点P(2，0)，求这个二次函数的表达式．

例典例剖析解题秘方：用待定系数法，结合已知条件设出顶点式，再将点P的坐标代入求解．典例剖析解：∵二次函数图像的顶点坐标为(1，－3)，∴可设这个二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－3.又∵函数图像过点P(2，0)，∴a(2－1)2－3＝0，解得a＝3.∴这个二次函数的表达式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.方法利用一般式求二次函数表达式1分类训练1.

[2023·苏州工业园区九年级月考]如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的图像经过点A(－1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C.

(1)求a，b的值；(2)若点P为直线BC上一点，点P到A，B两点的距离相等，将该抛物线向左(或向右)平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标．解：由(1)得抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，C(0，3)．∵点P到A，B两点的距离相等，∴点P在抛物线的对称轴上，即在直线x＝1上．分类训练2.已知抛物线C：y1＝－x2＋mx＋n，直线l：y2＝kx＋b，抛物线C的对称轴与直线l交于点A(－1，5)，点A与抛物线C的顶点B的距离是4.方法利用顶点式求二次函数表达式2(1)求抛物线C的表达式；解：根据已知条件可得点B的坐标为(－1，1)或(－1，9)，∴y1＝－(x＋1)2＋1或y1＝－(x＋1)2＋9，即抛物线C的表达式为y1＝－x2－2x或y1＝－x2－2x＋8.(2)若y2随着x的增大而增大，且抛物线C与直线l都经过x轴上的同一点，求直线l的表达式．分类训练3.【新视角▪条件探究题】如图，

二次函数y＝ax2＋bx＋4的图像与x轴交于点A(4，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C.方法利用交点式求二次函数表达式3(1)求函数表达式及顶点坐标；(2)连接AC，点P为线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AC于点H，当PH＝2HQ时，求点P的坐标；解：把x＝0代入y＝－x2＋3x＋4，得y＝4，∴C(0，4)．设直线AC的表达式为y＝kx＋4，把A(4，0)的坐标代入得4k＋4＝0，解得k＝－1.∴直线AC的表达式为y＝－x＋4.设点P(m，－m2＋3m＋4)，则H(m，－m＋4)，∴PH＝－m2＋4m，HQ＝－m＋4.∵PH＝2HQ，∴－m2＋4m＝2(－m＋4)，解得m1＝2，m2＝4(舍去)．∴P(2，6)．(3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得△BMN是以BN为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【点方法】当遇到抛物线与x轴交于某两个点求抛物线表达式的问题时，设交点式可使运算简便．方法利用平移法求二次函数表达式4分类训练4.

[2023·宿迁一模]如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3的图像的顶点是A，该图像与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是(1，0)．(1)求A，C两点的坐标，并根据图像直接写出当y＞0时x的取值范围；解：把点B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3，得0＝a＋4－3，解得a＝－1，∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1.∴A(2，1)，抛物线的对称轴为直线x＝2.易知B，C关于直线x＝2对称，∴C(3，0)．当y＞0时，1＜x＜3.(2)平移该二次函数的图像，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图像所对应的二次函数的表达式．解：易知点D的坐标为(0，－3)，∴要使点D恰好落在点A的位置上，则抛物线就要向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，可得平移后图像所对应的二次函数的表达式为y＝－(x－4)2＋5.分类训练5.

[2023·泰州二中模拟]如图，抛物线y＝ax2＋bx过点B(1，－3)，对称轴是直线

x＝2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A.方法利用对称轴求二次函数表达式5(1)求抛物线的表达式，并根据图像直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；(2)在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．解：如图，过P点作PF⊥x轴于点F，过B点作BE⊥x轴于点E，由点P在抛物线上，可设P点的坐标为(t，t2－4t)，易知PF＝t2－4t，F(t，0)，E(1，0)，A(4，0)，BE＝3，∴AE＝3，AF＝4－t，∴BE＝AE.

∴△ABE为等腰直角三角形.分类训练6.[2022·南充]如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，方法利用图像中的信息求二次函数表达式6水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m，那么喷头高________m时，水柱落点距O点4m.8【点拨】以O为原点，水平线为x轴，建立直角坐标系．当喷头高2.5m时，设y＝ax2＋bx＋2.5，将点(2.5，0)的坐标代入并化简得2.5a＋b＋1＝0，由题意知，当喷头高4m时，可设y＝ax2＋bx＋4，将点(3，0)的坐标代入得9a＋3b＋

4＝0，进而求出a，b的值，设喷头高hm时，水柱落点距O点4m，则此时可设表达式为y＝ax2＋bx＋h，将点(4，0)的坐标代入可求出h.分类训练7.[新考法·图表信息法]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：方法利用表格信息求二次函数表达式7x…－2－1012…y…m0－3n－3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为________；(2)求抛物线的表达式及m，n的值；上直线x＝1解：把x＝－1，y＝0；x＝0，y＝－3；x＝2，y＝－3分别代入y＝ax2＋bx＋c，(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？解：画出抛物线，描出点P′的轨迹，是一条抛物线，如图所示．(4)设直线y＝t(t>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图像直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：__________________．A3A4－A1A2＝1【点拨】设A1，A2，A3，A4的横坐标依次为x1，x2，x3，x4，易得x1＋x4＝2，x2＋x3＝1，∴A3A4－A1A2＝(x4－x3)－

(x2－x1)＝(x4＋x1)－(x3＋x2)＝2－1＝1.分类训练8.[2023·深圳][新情境·农业生产]蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．方法利用几何建模求二次函数表达式8如图①，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图②，抛物线AED的顶点E(0，4)，求抛物线的表达式；

(2)如图③，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝

NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；(3)如图④，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．分类训练9.[新考法·表格信息法]无锡阳山是闻名遐迩的“中国水蜜桃之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的水蜜桃经过两次降价后变为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同．方法利用建立实际问题模型求二次函数表达式9(1)求水蜜桃每次降价的百分率．解：设水蜜桃每次降价的百分率为x%，依题意得20(1－x%)2＝16.2，解得x1＝10，x2＝190(舍去)．∴水蜜桃每次降价的百分率为10%.(2)①从第一次降价的第1天算起，第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：第x天1≤x＜99≤x＜15售价/(元/千克)第一次降价后的价格第二次降价后的价格销量/千克105－3x120－x储存和损耗费用/元40＋3x3x2－68x＋300已知水蜜桃的进价为8.2元/千克，设销售水蜜桃第x天的利润为y元，求y与x(1≤x＜15)之间的函数表达式，并求出第几天销售利润最大．解：结合(1)得第