备考2024年中考数学专题突破（全国通用）专题3-5 二次函数压轴：焦点与准线动点面积含参二次函数（解析版）

专题3-5二次函数压轴：焦点与准线，动点面积，含参二次函数TOC\o"1-4"\n\h\z\u【题型1】焦点与准线例题12－1例题12—2湘潭市·中考真题广东深圳·中考真题四川自贡·中考真题宜宾·中考真题山东滨州·中考真题2023·湖北鄂州中考真题2022·湖北鄂州中考真题【题型2】焦半径倒数和为定值广西南宁·中考真题【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切2023·湖南怀化中考真题湖南张家界·中考真题【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题2023·辽宁鞍山中考真题2023·黑龙江绥化中考真题2023·江苏南通中考真题2023·辽宁锦州中考真题2023·辽宁盘锦中考真题【题型5】求运动时间与面积之间的函数表达式2023·广东广州中考真题2022·吉林中考真题广东深圳·中考真题2023·辽宁大连中考真题2022·四川绵阳中考真题【题型6】解答题压轴题纯含参二次函数问题2023年浙江省绍兴市中考真题2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题2023年浙江省丽水市中考真题2023年江苏省南通市中考真题2023年江苏省淮安市中考真题2022•北京中考真题2022•安顺中考真题2022•长沙中考真题2022•广州中考真题2022•贵阳中考真题2022•天津中考真题2022•嘉兴中考真题2022•杭州中考真题2022•连云港中考真题二次函数的焦点与准线我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等．这个点称为抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线，本文将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题．焦点和准线属于高中内容，高中内容下放也是中考中所常见的．我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x，y)到定点的距离与它到定直线的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线 结论1：对于抛物线焦点坐标为，准线为直线焦点一般用字母F表示．而且实际题目中二次项系数很多时候是只是为了焦点坐标便于计算．至于形如的抛物线可化为顶点式然后通过由平移来确定焦点和准线．结论2：如下图，FM⊥FN．证明：设，，则，∴，∴FM⊥FN．结论3：取PQ中点E，作EH⊥x轴交x轴于H点，则PH⊥QH．证明：倍长中线证两次全等．结论4：记MN与y轴交于点，．【题型1】焦点与准线例题12－1已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等．如图，点的坐标为，是抛物线上的一个动点，求周长的最小值．

【答案】【分析】过点作轴于点，交抛物线于点，由点在抛物线上可得出，结合点到直线之间垂线段最短以及为定值，即可求得周长的最小值．【详解】解：如图，过点作轴于点，交抛物线于点，此时的周长最小．

∵点的坐标为，点的坐标为，∴，；由题意，得，所以周长的最小值．例题12—2我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x，y)到定点的距离与它到定直线的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线 (1)已知动点M(x，y)到定点A(0，4)的距离与到定直线y＝－4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．(2)若点D的坐标是(1，8)，在(1)中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA＋PD最短?若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】(1)由题意得：，过点M作MB⊥直线y＝4，垂足记为B点，则MB＝|y－(－4)|＝|y＋4|，两边平方，化简得：故M点形成的抛物线的解析式为（2）过P点做⊥直线故求PA+PD最短，即求PQ+PD最短．过点D作直线的垂线，与抛物线交点即为P点，垂足为Q，此时PQ+PD最短，为最小值，此时P点坐标为． 湘潭市·中考真题如图，点P为抛物线上一动点(1)若抛物线是由抛物线通过图像平移得到的，请写出平移的过程；(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作于M．①问题探究：如图一，在对称轴．上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立?若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为(1，5)，求QP+PF的最小值．【答案】（1）向上平移1个单位，再向右2个单位；（2）①（0，1），②6【详解】分析：（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．（2）①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题．详解：（1）∵抛物线的顶点为（﹣2，﹣1）∴抛物线的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线的图象．（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．法一：先考虑特殊位置找出F点，再证明一般情况成立考虑特殊位置，当P点在顶点B时，可得F点坐标为(0，1)或(0，-1)(舍掉)，以下证明P在抛物线任意位置，均满足PF=PM：没P点坐标为，则，，，∴当F点坐标为(0，1)时，恒成立.法二：如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为,∴,∵∴中∴OF=1∴点F坐标为（0，1）②由①，PM=PF，的最小值为的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+QM有最小值为点Q纵坐标与M纵坐标绝对值的和6．∴QP+PF的最小值为6．广东深圳·中考真题如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求解抛物线解析式；（2）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，．【分析】（1）运用待定系数法解答即可；（2）设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n），则有、进而求得ME，然后分别通过线段的和差和勾股定理求得MF的长，然后得到等式、化简、对比即可求得t即可．【详解】解：（1）将A（-3，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中，可得：，解得：∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3；（2）假设存在，设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n）∴∴∴而∴∴∴=-∴，即∴．四川自贡·中考真题如图，已知直线AB与抛物线相交于点A(－1，0)和点B(2，3)两点(1)求抛物线C函数表达式；(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线的距离?若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】⑴；⑵存在.当时，无论取任何实数，均有.

理由见解析.【分析】（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，，解得a=-1，c=3，∴此抛物线C函数表达式为：；（2）问题已经很明显了，是抛物线准线，我们要求的F是焦点．易求抛物线对称轴为直线x=1，不妨取特殊位置得到结果，再证明．当点P在抛物线顶点时，P点坐标为(1，4)，此时点P到直线的距离为故此时点P到点F的距离也为满足条件的F点坐标有考虑到在直线上，故需舍去，F点可能的坐标只有【常规法】：∴对称轴为直线x=1，当y=0时，x1=-1，x2=3，∴抛物线与x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF=BN=-3=，CF=CH=，由题意可列：，解得，a=，∴F（1，）．宜宾·中考真题在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝－1．(1)求抛物线的解析式；(2)知为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【分析】(1)抛物线：(2)不难猜测直线1是抛物线的准线，所求F点为抛物线焦点．当M点在顶点位置时，M点到直线l的距离为1，故此时F点应为(2，1)．下证明M在抛物线任意位置，均有点M到直线l的距离与点M到点F的距离相等．山东滨州·中考真题如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．【答案】（1）；（2）见解析；（3），【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，－1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x－2）2－1，把点B坐标代入求出a即可．（2）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．【详解】解：（1）设抛物线的函数解析式为由题意，抛物线的顶点为又抛物线与轴交于点抛物线的函数解析式为（2）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝，∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，∵QF＝QH，∴DQ+DF＝DQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ+QH的最小值为6，∴△DFQ的周长的最小值为，此时Q（4，－）．2023·湖北鄂州中考真题某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．

【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；【技能训练】(2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；【能力提升】(3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．请阅读上面的材料，探究下题：(4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．【答案】(1)，；(2)；(3)(4)【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解；（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；待定系数法求直线的解析式，求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求得；（4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积．【详解】（1）解：∵抛物线中，∴，，∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，故答案为：，；（2）解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，∴，整理得：，又∵，∴解得：或（舍去），∴，∴点P的坐标为；（3）解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为，将代入解得：，∴直线的解析式为，∵点是直线和抛物线的交点，令，解得：，（舍去），故点的坐标为，∴，∵点是直线和直线m的交点，令，解得：，故点的坐标为，∴，．即的最小值为．（4）解：∵抛物线中，∴，，∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：

∵点的坐标为，准线，∴点的横坐标为，代入解得，即，，则的面积为．2022·湖北鄂州中考真题某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．

(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：，．(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．【答案】(1)（0，），，(2)，4）或（，4）(3)(4)或【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，证明△FDB∽△FHC，推出，则，点B的纵坐标为，从而求出，证明△AEF∽△BDF，即可求出点A的坐标为（，），再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可；（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN＝MF，先证明△MNH是等腰直角三角形，得到NH＝MN，设点M的坐标为（m，），则，求出，然后根据黄金分割点的定义求出，则；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时△HME的面积．【详解】（1）解：由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，），，故答案为：（0，），，（2）解：由题意得抛物线y＝x2的准线方程为，∵点P到准线l的距离为6，∴点P的纵坐标为4，∴当时，，解得，∴点P的坐标为（，4）或（，4）；（3）解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣，∴，，∴△FDB∽△FHC，∴，∵BC＝2BF，∴CF＝3BF，∴，∴，∴，∴点B的纵坐标为，∴，解得（负值舍去），∴，∵，∴△AEF∽△BDF，∴，∴，∵，∴，∴EF＝2，∴，∴点A的坐标为（，），∴，∴，∴，解得（负值舍去）；（4）解：如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN＝MF，∵在Rt△MNH中，，∴∠MHN＝45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴NH＝MN，设点M的坐标为（m，），∴，∴，∴HN＝2，∵点E是靠近点F的黄金分割点，∴，∴；同理当E时靠近H的黄金分割点点，，∴，∴，综上所述，或【题型2】焦半径倒数和为定值广西南宁·中考真题如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y＝kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO＝AM；（3）探究：①当k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．【答案】解：（1）y＝x2﹣1（2）详见解析（3）详见解析【分析】（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解．（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证．（3）①k＝0时，求出AM、BN的长，然后代入计算即可得解；②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣1．（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则．∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2．∴AM＝m2﹣1﹣（﹣2）＝m2+1．∴AO＝AM．（3）①k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，点A、B在x轴上，∴AM＝BN＝0﹣（﹣2）＝2，∴．②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则．联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4＝0，由根与系数的关系得，x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16k2+8，x12•x22＝16．∴．∴无论k取何值，的值都等于同一个常数1．【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切2023·湖南怀化中考真题如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）设、，的中点坐标为，联立，消去，整理得：，得出，则，设点到的距离为，则，依题意，，，得出，则，，点总在上，为直径，且与相切，即可得证．【详解】（1）解：将代入，得，解得：，∴抛物线解析式为：；（2）解：设、，的中点坐标为，联立，消去，整理得：，∴，∴，∴，∴，设点到的距离为，则，∵、，∴，∴∴，∴

∴，∴点总在上，为直径，且与相切，∴为直角．∴无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．湖南张家界·中考真题如图，已知二次函数a为实数)的图像过点A(－2，2)，一次函数y＝kx＋b(k≠0，k、b为实数)的图像1经过点B(0，2)．(1)求a值并写出二次函数表达式；(2)求b值；(3)设直线1与二次函数图像交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB＝MC；(4)在(3)的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由． 【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论．【详解】解：，，，，故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6，故选：A．2023·辽宁鞍山中考真题如图，在矩形中，对角线交于点O，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】求出在点左侧时的两段图象，即可得出结论．【详解】解：当在点左侧，即：时：①当正方形的边在的外部时，重叠部分为矩形，如图：

设分别交于点，∵垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，∴，∵在矩形中，，，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴，图象为开口向下的一段抛物线；②当正方形的边在的内部时，与重叠部分即为正方形，如图：

由①可知：，∴，图象是一段开口向上的抛物线；当过点时，即时，重合，此时，；综上：满足题意的只有B选项2023·黑龙江绥化中考真题如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】连接，过点作于点，根据已知条件得出是等边三角形，进而证明得出，当时，在上，当时，在上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，当时，在上，

菱形中，，，∴，则是等边三角形，∴，∵，∴，又∴∴∴，∴当时，在上，

∴，综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分，故选：A．2023·江苏南通中考真题如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（

）

A．54 B．52 C．50 D．48【答案】B【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．【详解】解：当时，由题意可知，，在中，由勾股定理得，设，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，即，解得，，，当时，由题意可知，，设，，在中，由勾股定理得，在中由勾股定理得，中，由勾股定理得，即，

解得，，，．

故选：B．2023·辽宁锦州中考真题如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分，，三种情况，分别求出函数解析即可判断．【详解】解：过点D作于H，，∵，，∴，∴当时，如图，重叠部分为，此时，，，∴，∴，即，∴∴；当时，如图，重叠部分为四边形，此时，，

∴，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴；当时如图，重叠部分为四边形，此时，，

∴，∵，∴，∴，即∴，综上，，∴符合题意的函数图象是选项A．2023·辽宁盘锦中考真题如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在，，之间三个阶段，用含x的代数式表示出的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．【详解】解：菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，，，，，，，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得，直线的解析式为．轴，N的横坐标为x，（1）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，，，，该段图象为开口向上的抛物线；（2）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中，上的高为，，该段图象为直线；（3）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，由，可得直线的解析式为，，，，，该段图象为开口向下的抛物线；观察四个选项可知，只有选项A满足条件【题型5】求运动时间与面积之间的函数表达式2023·广东广州中考真题如图，在中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，当时，的长是．若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，当时，四边形面积S的取值范围是．

【答案】【分析】根据三角形中位线定理可得，设，从而，由此得到四边形是平行四边形，结合边上的高为，即可得到函数解析式，进而得到答案．【详解】解：∵点D，E分别是，的中点，∴是的中位线，∴；如图，设，

由题意得，，且，∴，又F、G分别是的中点，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形，由题意得，与的距离是，∴，∴边上的高为，∴四边形面积，∵，∴，故答案为：，．2022·吉林中考真题如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为．(1)当点在边上时，的长为；（用含的代数式表示）(2)当点落在边上时，求的值；(3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．【答案】(1)2x(2)1(3)【分析】（1）先证明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根据题意有AP=2x，即PQ=2x；（2）当M点在BC上，Q点在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再证明△MNB是等边三角形，即有BN=MN，根据AB=6x=6cm，即有x=1（s）；（3）分类讨论：当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，过Q点作QG⊥AB于G点，求出菱形的面积即可；当x＞1，且Q点在线段AC上时，过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，先证明△ENB是等边三角形、△MEF是等边三角形，重叠部分是菱形PQMN的面积减去等边△MEF的面积，求出菱形PQMN的面积和等边△MEF的面积即可，此时需要求出当Q点在C点时的临界条件；当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，重叠部分的面积就是△PBQ的面积，求出等边△PBQ的面积即可．【详解】（1）当Q点在AC上时，∵∠A=30°，∠APQ=120°，∴∠AQP=30°，∴∠A=∠AQP，∴AP=PQ，∵运动速度为每秒2cm，运动时间为x秒，∴AP=2x，∴PQ=2x；（2）当M点在BC上，Q点在AC上，如图，在（1）中已求得AP=PQ=2x，∵四边形QPMN是菱形，∴PQ=PN=MN=2x，，∵∠APQ=120°，∴∠QPB=60°，∵，∴∠MNB=∠QPB=60°，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∴△MNB是等边三角形，∴BN=MN，∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm，∴x=1（s）；（3）当P点运动到B点时，用时6÷2=3（s），即x的取值范围为：，当M点刚好在BC上时，在（2）中已求得此时x=1，分情况讨论，即当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，∴此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，过Q点作QG⊥AB于G点，如图，∵∠APQ=120°，∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的内角∠QPN=∠QMN=60°，∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，∴重叠的面积等于菱形PQMN的面积为，即为：；当x＞1，且Q点在线段AC上时，过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，如图，∵，∴∠MNB=∠QPN=60，∵∠B=60°，∴△ENB是等边三角形，同理可证明△MEF是等边三角形∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF，∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6，∴BN=6-AN=6-4x，∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6，∵MH⊥EF，∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=，∴△MEF的面积为：，QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，∵菱形PQMN的面积为，∴重叠部分的面积为，当Q点与C点重合时，可知此时N点与B点重合，如图，∵∠CPB=∠CBA=60°，∴△PBC是等边三角形，∴PC=PB，∵AP=PQ=2x，∴AP=PB=2x，∴AB=AP+PB=4x=6，则x=，即此时重合部分的面积为：，；当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，如图，∵AP=2x，∴PB=AB-AP=6-2x，∵∠QPB=∠ABC=60°，∴△PQB是等边三角形，∴PQ=PB，同时印证菱形PQMN的顶点N始终与B点重合，∴QG=PQ×sin∠QPN=(6-2x)×sin60°=，∴，∴此时重叠部分的面积，综上所述：．广东深圳·中考真题如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求解抛物线解析式；（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）【分析】（1）运用待定系数法解答即可；（2）分0<t<1、、三种情况解答即可；【详解】解：（1）将A（-3，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中，可得：，解得：∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3；（2）∵y=-x2-2x+3=∴抛物细的顶点坐标为（-1,4）∵A(-3,0)在直线AD上设抛物线解析式为y=kx+b则有，解得：∴直线AD的解析式为y=2x+6,当在AD上时，令y=3，即3=2x+6，解得x=-①如图所示，当0<t<1时，∴OC=O＇C＇=3,O＇B＇=OB=1,OB＇=1-t∵O＇C//OC∴△∽△OM∴,即，解得：OM=3(1-t)S=S△O＇B＇C＇-S△OMB＇=②当时，完全在四边形AOCD内，③当时，如图所示，过G点作GH⊥，设HG=x，∵GH//AB∴,∠HGK=∠KAO∵∴∴，∵直线AD的解析式为y=2x+6,∴∴,∴,KO＇=2AO＇∴∵∴∵O＇C＇=C＇K+AO＇∴∴S=S△O＇B＇C＇-S△C＇GK=∴综上：；2023·辽宁大连中考真题如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，为线段上一动点（不与点重合），过点作轴交直线于点．与的重叠面积为．关于的函数图象如图2所示．

(1)的长为_______________；的面积为_______________．(2)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据函数图象即可求解．（2）根据（1）的结论，分，，根据与的重叠面积为，分别求解即可．【详解】（1）解：当时，点与重合，此时，当时，，即点与点重合，∴，则，故答案为：，．（2）∵在上，则设，∴∴,则当时，如图所示，设交于点，∵，，则∴

当时，如图所示，

∵，设直线的解析式为，∴解得：，∴直线的解析式为，当时，，则，∴，∵，∵，则，∴，综上所述：．2022·四川绵阳中考真题如图，平行四边形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？【答案】(1)(2)y关于x的函数解析式为；当时，y的最大值为；(3)当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由见解析【分析】（1）延长DF交CB的延长线于点G，先证得，可得，根据题意可得AF=，AE=，可得到CG=3，再证明△PDE∽△PGC，即可求解；（2）分三种情况讨论：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上；当时，E点在BD上，F点在AB上；当时，点E、F均在BD上，即可求解；（3）当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由：连接DH，根据直角三角形的性质，即可求解．【详解】（1）解：如图，延长DF交CB的延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∴，∵点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，运动时间为秒，∴AF=，AE=，∵AB=4，AD=2，∴BF=，ED=，∴，∴BG=1，∴CG=3，∵，∴△PDE∽△PGC，∴，∴；（2）解：根据题意得：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，此时AE=x，，∵，AB=4，AD=2，∴，∴△ABD是直角三角形，∵，∴∠ABD=30°，∴∠A=60°，如图，过点E作交于H，∴，∴；∴当x＞0时，y随x的增大而增大，此时当x=2时，y有最大值3；当时，E点在BD上，F点在AB上，如图，过点E作交于N，过点D作交于M，则EN∥DM，根据题意得：DE=x-2，∴，在Rt△ABD中，，AM=1，∵EN∥DM，∴△BEN∽△BDM，∴，∴∴，∴，此时该函数图象的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，此时当时，y有最大值；当时，点E、F均在BD上，过点E作交于Q，过点F作交于P，过点D作DM⊥AB于点M，∴，DA+DE=x，∵AB=4，AD=2，∴，，∵PF∥DM，∴△BFP∽△BDM，∴，即，∴，∵，∴△BEQ∽△BDM，∴，即，∴，∴，此时y随x的增大而减小，此时当时，y有最大值；综上所述：y关于x的函数解析式为当时，y最大值为【题型6】解答题压轴题纯含参二次函数问题2023年浙江省绍兴市中考真题已知二次函数．(1)当时，①求该函数图象的顶点坐标．②当时，求的取值范围．(2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．【答案】(1)①；②当时，(2)【分析】（1）①将代入解析式，化为顶点式，即可求解；②已知顶点，根据二次函数的增减性，得出当时，有最大值7，当时取得最小值，即可求解；（2）根据题意时，的最大值为2；时，的最大值为3，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即，由抛物线开口向下，时，的最大值为2，可知，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出，即可得解．【详解】（1）解：①当时，，∴顶点坐标为．②∵顶点坐标为．抛物线开口向下，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，∴当时，有最大值7．又∴当时取得最小值，最小值；∴当时，．（2）∵时，的最大值为2；时，的最大值为3，∴抛物线的对称轴在轴的右侧，∴，∵抛物线开口向下，时，的最大值为2，∴，又∵，∴，∵，∴，∴二次函数的表达式为．2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题在二次函数中，(1)若它的图象过点，则t的值为多少？(2)当时，y的最小值为，求出t的值：(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的t值即可得；（3）由关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．【详解】（1）将代入中，得，解得，；（2）抛物线对称轴为．若，当时，函数值最小，，解得．，若，当时，函数值最小，，解得（不合题意，舍去）综上所述．（3）关于对称轴对称，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，此交点关于对称轴的对称点为且，解得．当A，B都在对称轴左边时，，解得，当A，B分别在对称轴两侧时到对称轴的距离大于A到对称轴的距离，解得综上所述或．2023年浙江省丽水市中考真题已知点和在二次函数是常数，的图像上．(1)当时，求和的值；(2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；(3)求证：．【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】（1）由可得图像过点和，然后代入解析式解方程组即可解答；（2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合即可解答；（3）根据图像的对称性得，即，顶点坐标为；将点和分别代入表达式并进行运算可得；则，进而得到，然后化简变形即可证明结论．【详解】（1）解：当时，图像过点和，∴，解得，∴，∴．（2）解：∵函数图像过点和，∴函数图像的对称轴为直线．∵图像过点，∴根据图像的对称性得．∵，∴．（3）解：∵图像过点和，∴根据图像的对称性得．∴，顶点坐标为．将点和分别代人表达式可得①②得，∴．∴．∴．∴．∴．2023年江苏省南通市中考真题定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．(1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(2)点与其“级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：；(3)关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围．【答案】(1)存在，(2)见解析(3)n的取值范围为且【分析】（1）根据“级变换点”定义求解即可；（2）求出点的坐标为，得到直线，的解析式分别为和，根据进行证明．（3）由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上，得到函数的图象与直线必有公共点．分当时和当，时分类讨论即可．【详解】（1）解：函数的图象上存在点的“级变换点”根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为，把点代入中，得，解得．（2）证明：点为点的“级变换点”，点的坐标为．直线，的解析式分别为和．当时，．，．，．．（3）解：由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上．由，整理得．，函数的图象与直线必有公共点．由得该公共点为．①当时，由得．又得，且．②当，时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．综上，n的取值范围为且．2023年江苏省淮安市中考真题已知二次函数（为常数）．(1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，①则的值是_________，点的坐标是_________；②当时，借助图像，求自变量的取值范围；(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；(3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．【答案】(1)①②或(2)(3)【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可；（2）求出二次函数的最小值，即可得解；（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．【详解】（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为，∴，∴，∴，∴当时，，∴，∴点的坐标是；故答案为：；②，列表如下：1345005画出函数图像如下：

由图可知：当时，或；（2）∵，∴当时，有最小值为；∵对于一切实数，若函数值总成立，∴；（3）∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为，又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，∴关于对称轴对称，∴，∴，∴，∴，当时，有最小值，∴．

2022•北京中考真题在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．思路引领：（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对称轴即可；（2）再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围．解：（1）法一、将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，∴m=a+b+cn=9a+3b+c∵m＝n，∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，∴抛物线的对称轴为直线x=−b∴t＝2，∵c＝2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．法二、当m＝n时，点A（1，m），B（3，n）的纵坐标相等，由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为x=1+3∴t＝2，∵c＝2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．（2）∵m＜n＜c，∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，解得﹣4a＜b＜﹣3a，∴3a＜﹣b＜4a，∴3a2a＜−b2a由题意可知，点（x0，m）与点（1，m）关于x＝t对称；∴t=x当t=32时，x当t＝2时，x0＝3．∴x0的取值范围2＜x0＜3．综上，t的取值范围为：32＜t＜2；x0的取值范围2＜x2022•安顺中考真题在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−2（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，5①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数思路引领：（1）设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；（2）将点（52，52）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac＝0，两个方程联立即可求a、②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．解：（1）存在和谐点，理由如下，设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），∴2x+1＝x，解得x＝﹣1，∴和谐点为（﹣1，﹣1）；（2）①∵点（52，52）是二次函数y＝ax2+6x+c（∴52=254∴c=−254a∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，∴Δ＝25﹣4ac＝0，∴a＝﹣1，c=−25②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．2022•长沙中考真题若关于x的函数y，当t−12≤x≤t+12时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h=（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y=2x（x≥1），求函数y的“共同体函数”（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）①由题意求出M＝6066，N＝2022，再由定义可求h的值；②分两种情况讨论：②当k＞0时，M＝kt+12k+b，N＝kt−12k+b，h=12k；当k＜0时，M＝kt−12k+b，有N＝kt+（2）由题意t−12≥1，M=2t−12，N=2（3）分四种情况讨论：①当2≤t−12时，M＝﹣（t−12−2）2+4+k，N＝﹣（t+12−2）2+4+k，h＝t﹣2；②当t+12≤2时，N＝﹣（t−12−2）2+4+k，M＝﹣（t+12−2）2+4+k，h＝2﹣t，；③当t−12≤2≤t，即2≤t≤52，N＝﹣（t+12−2）2+4+k，M＝4+k，h=12（t−32）2；④当t＜2≤t+12解：（1）①∵t＝1，∴12≤x∵函数y＝4044x，∴函数的最大值M＝6066，函数的最小值N＝2022，∴h＝2022；②当k＞0时，函数y＝kx+b在t−12≤x≤t+12有最大值M＝kt+12k+b，有最小值N∴h=12当k＜0时，函数y＝kx+b在t−12≤x≤t+12有最大值M＝kt−12k+b，有最小值N∴h=−12综上所述：h＝|12k（2）t−12≥1，即函数y=2x（x≥1）最大值M=2t−∴h=4当t=32时，h有最大值（3）存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值，理由如下：∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k，∴函数的对称轴为直线x＝2，y的最大值为4+k，①当2≤t−12时，即t此时M＝﹣（t−12−2）2+4+k，N＝﹣（t+12∴h＝t﹣2，此时h的最小值为12②当t+12≤2时，即此时N＝﹣（t−12−2）2+4+k，M＝﹣（t+12∴h＝2﹣t，此时h的最小值为12③当t−12≤2≤t，即2≤此时N＝﹣（t+12−2）2+4+k，M∴h=12（t−3∴h的最小值为18④当t＜2≤t+12，即3此时N＝﹣（t−12−2）2+4+k，M∴h=12（t−5∴h的最小值为18h的函数图象如图所示：h的最小值为18由题意可得18=4+解得k=−31综上所述：k的值为−312022•广州中考真题已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．（1）求直线l的解析式；（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．①求m的取值范围；②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在4m5≤x思路引领：（1）用待定系数法求解析式即可；（2）①设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，将点（0，﹣3）代入可得am2+7﹣m＝﹣3，再由a=m−10m2②由题意求出Q点的横坐标为m+12，联立方程组y=−x+7y=a(x−m)2+7−m，整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，根据根与系数的关系可得m+m+12=2m解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入y＝kx+b，∴b=7k+b=6解得k=−1b=7∴y＝﹣x+7；（2）①∵点P（m，n）在直线l上，∴n＝﹣m+7，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，∵抛物线经过点（0，﹣3），∴am2+7﹣m＝﹣3，∴a=m−10∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴a=m−10∴m＜10且m≠0；②∵抛物线的对称轴为直线x＝m，∴Q点与Q'关于x＝m对称，∴Q点的横坐标为m+1联立方程组y=−x+7y=a(x−m整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，∴m+m+12=2∴a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，解得m＝2或m=−5当m＝2时，y＝﹣2（x﹣2）2+5，此时抛物线的对称轴为直线x＝2，图象在85≤x当m=−52时，y＝﹣2（x+52此时抛物线的对称轴为直线x=−5图象在﹣2≤x≤﹣1上的最高点坐标为（﹣2，9）；综上所述：G在4m5≤x2022•贵阳中考真题已知二次函数y＝ax2+4ax+b．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，求二次函数的表达式．思路引领：（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．（2）分类讨论a＞0，a＜0，根据抛物线对称轴及抛物线开口方向求解．（3）分类讨论a＞0，a＜0，由抛物线开口向上可得m＝﹣2时，n＝﹣1，m＝1时，n＝1，由抛物线开口向下可得m＝﹣2时，n＝1，m＝1时，n＝﹣1，进而求解．解：（1）∵y＝ax2+4ax+b＝a（x+2）2﹣4a+b，∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣4a+b）．（2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝﹣2，当a＞0时，抛物线开口向上，∵3﹣（﹣2）＞1﹣（﹣2）＞（﹣1）﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣（﹣3），∴d＞c＞e＝f．当a＜0时，抛物线开口向下，∵3﹣（﹣2）＞1﹣（﹣2）＞（﹣1）﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣（﹣3），∴d＜c＜e＝f．（3）当a＞0时，抛物线开口向上，x＞﹣2时，y随x增大而增大，∴m＝﹣2时，n＝﹣1，m＝1时，n＝1，∴−1=4a−8a+b1=a+4a+b解得a=2∴y=29x2+8当a＜0时，抛物线开口向下，x＞﹣2时，y随x增大而减小，∴m＝﹣2时，n＝1，m＝1时，n＝﹣1，∴b−4a=1a+4a+b=−1，解得a=−29b=19．∴y=−综上所述，y=29x2+89x−19或y=−2022•天津中考真题已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．思路引领：（Ⅰ）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；②求出直线BP的解析式，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），表示出MG的长，可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；（Ⅱ）由3b＝2c得b＝﹣2a，c＝﹣3a，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．可得顶点P的坐标为（1，﹣4a），点N的坐标为（2，﹣3a），作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．由勾股定理可得P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．解得a1=47，a2=−47（舍）．可得点P'的坐标为（﹣1，−167），点N′的坐标为（2，127）．利用待定系数法得直线P'N′的解析式为y=解：（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3，则抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3，∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），∴a+2﹣3＝0，解得a＝1，∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；②当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），设直线BP的解析式为y＝kx+n，∴3k+n=0k+n=−4，解得k=2∴直线BP的解析式为y＝2x﹣6，∵直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，∴当m＝2时，MG取得最大值1，此时，点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；（Ⅱ）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，又3b＝2c，b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0），∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a．∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点P的坐标为（1，﹣4a），∵直线x＝2与抛物线相交于点N，∴点N的坐标为（2，﹣3a），作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5．延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3