备考2024年中考数学专题突破（全国通用）专题2-1 将军饮马等8类常见最值问题（解析版）

专题2-1将军饮马等8类常见最值问题TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型一两定一动型（线段和差最值问题）题型二双动点最值问题（两次对称）题型三动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）题型四垂线段最短题型五相对运动平移型将军饮马题型六通过瓜豆得出轨迹后将军饮马题型七化斜为直，斜大于直题型八构造二次函数模型求最值

一、单动点问题【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB 【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小问题解决：作B关于l的对称点B'⇒PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB' 【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB' 【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大问题解决：作B关于直线l的对称点B'⇒PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB' 二、双动点问题（作两次对称）【问题5】在直线，上分别求点M，N，使△PMN周长最小问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，原理：两点之间线段最短，P'，P''，与两直线交点即为M，N，则AM＋MN＋PN的最小值为线段P'P''的长 【问题6】P，Q为定点，在直线，上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小问题解决：分别作点P，Q关于直线，的对称点P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N原理：两点之间线段最短，连接P'Q'，与两直线交点即为M，N，则PM＋MN＋QN的最小值为线段P'Q'的长，周长最小值为P'Q'＋PQ 【问题7】A，B分别为，上的定点，M，N分别为，上的动点，求最小值问题解决：分别作，关于，的对称点，，则，，即所求原理：两点之间距离最短，A'，N，M，B'共线时取最小，则AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B' 三、动线段问题（造桥选址）【问题8】直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值问题解决：将点B向上平移MN的长度单位得B'，连接B'M，当AB'M共线时有最小值原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN 【问题9】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求的最小值问题解决：将B点向左移动a个单位长度，再作B'关于直线l的对称点B''，当共线有最小值原理：通过平移构造平行四边， 四、垂线段最短【问题10】在直线，上分别求点A，B，使PB＋AB最小问题解决：作关于的对称点，作于A，交于B，即所求原理：点到直线，垂线段最短，五、相对运动，平移型将军饮马【问题11】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值 问题解决：相对运动或构造平行四边形策略一：相对运动思想过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹【问题12】如图，点P在直线BC上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°，得到点Q，求Q点轨迹？ 问题解决：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．原理：由手拉手可知，故,故Q点轨迹为直线七、化斜为直，斜大于直【问题13】已知：是斜边上的高（1）求的最大值；（2）若，求的最大值 问题解决：取BC中点M，（1）则；（2）八、构造二次函数求最值这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需要配方．【问题14】正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为.问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到，进而根据相似比得到，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案【详解】易知，，，，∴，，∴，，在时有最大值，最大值为题型一两定一动型（线段和差最值问题）（2023·西安·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点M在边上，，P为正方形内（含边上）一点，且，G为边上一动点，连接，则的最小值为．

【答案】3【分析】先确定组成点P的所有点为过的中点E，F的线段，作点M关于的对称点，连接，证明的长为的最小值，因此求出的长即可．【详解】解：过点P作，分别交于点E，F，∵四边形是正方形，∴四边形和四边形都是矩形，∵，正方形的边长为4，∴，解得，∴，

作点M关于的对称点，连接，则，∴，∴的最小值为的长，∵，∴的最小值为3透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？【答案】13【详解】∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3＋AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝13（cm）．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，根据轴对称确定最短路线得AC′与OB的交点即为所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，过点C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出AD，再根据勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，则AC′与OB的交点即所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，过点C′作C′D⊥OA于D，∵点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°，∴∠OCC′=90°-30°=60°，OC=1，CC′=2×1×=1，∴CD=，C′D=，∵顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），∠OAB=90°，∴AC=3-1=2，∴AD=2+=，在Rt△AC′D中，由勾股定理得，AC′===如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（

）A．160 B．150 C．140 D．130【答案】A【分析】作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得．【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，∵，，，∴，，，在中，根据勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；如图所示，延长AB交MN于点，∵，，∴当点P运动到点时，最大，过点B作，则，∴，在中，根据勾股定理得，，∴，即，∴如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．动点P满足S△PBC＝S矩形ABCD．则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为。【答案】【解答】解：设△PBC中BC边上的高是h．∵S△PBC＝S矩形ABCD．∴BC•h＝AB•BC，∴h＝AB＝2，∴动点P在与BC平行且与BC的距离是2的直线l上，如图，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．在Rt△BCE中，∵BC＝5，BE＝2+2＝4，∴CE＝＝＝，即PB+PC的最小值为（2023·泰州·三模）如图，在矩形中，，，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，相交于点，则的最小值为．

【答案】10【分析】过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，易知四边形、、为矩形，证明，由相似三角形的性质可得；设两点运动时间为，则，，易得，；作点关于直线的对称点，由轴对称的性质可得，故当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，由勾股定理求得的值，即可获得答案．【详解】解：如下图，过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，

易知四边形、、为矩形，，∵四边形为矩形，∴，∴，，∴，∴，设两点运动时间为，则，，则有，即，∵，∴，，∵四边形为矩形，∴，作点关于直线的对称点，如图，则，，由轴对称的性质可得，当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，，∴的最小值为已知满足，则S的最小值为．【答案】5【分析】根据表示平面内点与之间的距离，表示平面内点与之间的距离，得出当点在与之间的线段上时，这两个距离之和最小，求出这个最小距离即可．【详解】解：∵表示平面内点与之间的距离，表示平面内点与之间的距离，∴表示这两个距离之和，∵两点之间线段最短，∴当点在与之间的线段上时，这两个距离之和最小，∴的最小值为．探究式子的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取，作于．于，且，，点在上，设，则，于是，，，因此，可求得的最小值为，已知，则的最大值是．

【答案】【分析】作关于的对称点，连接交于，连接，利用勾股定理求的最小值即可；构造图形如图，过点作交于，求的最大值结合三角形的三边关系，根据矩形的性质，利用勾股定理进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，作关于的对称点，连接交于，连接，

，则，，此时的值最小为：，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，，，如图，，

，则，，的最大值为的长度，过点作交于，则四边形为矩形，，，，的最大值为如图，A、B两点在直线外的同侧，A到的距离，B到的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于．【答案】10【分析】延长交于点，过点B作，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长．最后根据勾股定理求出的长即可．【详解】解：如图，延长交于点，过点B作，∵，∴当点P运动到点时，最大，即为的长．∵，∴，∴，∴的最大值等于10已知：如图，在矩形中，．动点为矩形内一点，且满足，则周长的最小值为．【答案】【分析】过点作，交于点，交于点，由，可得，过点作，交于点，交于点，作点关于的对称点，连接与交点即为所求点，在△中，，，即可求．【详解】解：过点作，交于点，交于点，，，，，，过点作，交于点，交于点，作点关于的对称点，连接与交点即为所求点，，，，，在△中，，，，周长的最小值，故答案为．2022·绥化·中考真题在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．【答案】(1)；【详解】（1）解：∵一次函数与坐标轴分别交于，两点，∴把，代入得，，解得，，∴一次函数解析式为过点P作轴于点H，∵∴又∴∴∴，∴∴∵在双曲线上，∴∴（2）解：作点K关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则（1，-2），OM=1，连接交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，设直线的解析式为把代入得，解得，∴直线的解析式为当时，，解得，，∴∴∴，，∴题型二双动点最值问题（两次对称）如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为。【答案】6【解答】解：延长AD至A′，使AD＝DA′，延长AB至E′，使BE＝BE′，连接A′E′，交BC于M，交DC于N，此时AN＝A′N，EM＝E′M，四边形AEMN周长＝AN+MN+ME+AE＝A′E′+AE，根据两点之间线段最短，A′E′+AE就是四边形AEMN周长的最小值；∵AD＝2，AE＝BE＝1，∴A′D＝AD＝2，BE＝BE′＝1，∴AE′＝3，AA′＝4，∴A′E′＝＝5，∴四边形AEMN周长的最小值为5+1＝6．（2023·淄博·一模）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，°．【答案】100【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小．【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，由对称性知：，，，∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小；∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，即，故答案为：．四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为。【答案】70【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝125°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝55°，∴∠AMN+∠ANM＝2×55°＝110°．∴∠MAN＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°（2023·西安·二模）如图，在四边形中，，，，，、分别是边、上的动点，连接，，，则周长的最小值为．

【答案】【分析】如图，由，作关于对称的点，作关于对称的点，连接，与交点为，与交点为，连接，，由对称的性质可得，，，，则，可知当四点共线时，的周长最小为，如图，过作的延长线于，由，可得，则，，，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，由，作关于对称的点，作关于对称的点，连接，与交点为，与交点为，连接，，

由对称的性质可得，，，，∴，∴当四点共线时，的周长最小为，如图，过作的延长线于，∵，∴，∴，，∴，由勾股定理得如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别是边上的点，连接，若，，，则周长的最小值是．

【答案】【分析】作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接，则的周长，故当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长，证明是等边三角形，得到；过D作交直线于P，由平行四边形的性质得到，，由含30度角的直角三角形的性质得到，则，，即可得到点P与点B重合，则，由此即可得到答案．【详解】解：作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接，由作图得：，，∴的周长，∴当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长，∵，∴，∴是等边三角形，∴；过D作交直线于P，∵四边形是平行四边形，∴，，在中，，∴，∴，，∴，∴点P与点B重合，∴，∴∴的周长最小值为，

题型三动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）鞍山·中考真题如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为．【答案】（-1，0）【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．聊城·中考真题如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为．【答案】【详解】解：如图所示，∵D（0，4），∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），∴ED=EH，将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4），∴EF=HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴EH=FG，∴FG=ED，∵B（-4，6），∴BD=，又∵EF＝3，∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF,要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小，而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，设直线BG的解析式为：∵B（-4，6），G（-3，-4），∴，∴，∴，当y=0时，，∴，∴故答案为：．如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为．【答案】【分析】先证四边形是平行四边形，可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，即可求解．【详解】解：如图，将点沿轴向下平移个单位得到，以为斜边，作等腰直角三角形，则点，连接，是等腰直角三角形，，，将直线：向上平移个单位长度得到直线，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，点，点，，折线的长的最小值为广西来宾中考真题如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为．【答案】．【详解】解：∵，，，，∴，，由平移的性质可知：,∴四边形的周长为；要使其周长最小，则应使的值最小；设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；∴，，将向左平移2个单位得到，则由平移的性质可知：，将关于x轴的对称点记为点E，则，由轴对称性质可知，,∴，当B、E、三点共线时，的值最小，设直线的解析式为：，∴，当时，∴∴，将E点坐标代入解析式可得：，解得：，此时，此时四边形的周长为；当时，，，，，此时四边形的周长为：；∵，∴当时，其周长最小，所以抛物线向右平移了个单位，所以其解析式为：题型四垂线段最短（2023下·湛江·二模）如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为．

【答案】【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，作，

平分，，，∴，，，∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，，，即的最小值为如图，∠MON＝45°，OP平分∠MON，点A为射线OM上一点，OA＝4，点E，F分别为射线OP，OM上的动点，连接AE，EF，则AE＋EF的最小值为_________．MMFOAENP【答案】【解析】在ON上截取OG＝OF，连接EG，过点A作AH⊥ON于点H．MMFOAEGNPH∵OG＝OF，∠EOG＝∠EOF，OE＝OE，∴△OEG≌△OEF，∴EG＝EF，∴AE＋EF＝AE＋EG≥AH．∵∠MON＝45°，OA＝4，∴AH＝＝．2022·贵州毕节·中考真题如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为．【答案】

【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度．【详解】解：∵，∴，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线，∵,∴,∴，∴，∴，∴则PQ的最小值为2022铜仁如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内，点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN＋NP的最小值为_________．MMDCBAPNE【答案】【解析】分别过点M，N作CD的垂线，垂足为M，N．MMDCBAPNGHE由题意，∠EMC＝∠D＝90°，MC＝DC＝2．∵NP∥EM，∴∠NPC＝∠EMC＝90°．∵∠ECM＝∠ECD，∴NP＝NH，∴MN＋NP＝MN＋NH≥MG．∵点E为AD的中点，∴tan∠ECD＝，∴由12345模型可知tan∠DCM＝，∴sin∠DCM＝，∴MG＝＝，∴MN＋NP的最小值为．（2023·鸡西·三模）如图，在矩形中，于点，，，、分别是、上的动点，则的最小值为．

【答案】【分析】根据矩形的性质和解直角三角形可得，利用勾股定理得到，可得，如图，延长至点，使，过点作于点，交于点，连接，可得点和点关于对称，根据垂线段最短可得的最小值为，然后在中，利用，即可得出答案．【详解】解：∵在矩形中，，，，∴，，，∵，，，∴，∴，∴，∴，解得：或（负值不符合题意，舍去），∴，∴，如图，延长至点，使，过点作于点，交于点，连接，∵，∴点和点关于对称，∴，，∴，∴，当点，，共线时，的最小值为，∵，，∴，∴，在中，，∴，故答案为：．

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE，将△DEC绕点C旋转，在旋转过程中，直线AD与BE相交于点H，如图2，则AH的最大值为_________．AABCEDABCDEH图2图1【答案】【解析】如图1，过点C作直线BH的垂线，垂足为G．则CG≤CE，sin∠CBH＝≤＝，AABCDEHG图1图2ABCEHD∴∠CBH≤30°，∴当∠CBH为30°时，∠ABH最大．∵＝＝，∠ACD＝∠BCE＝90°－∠BCD，∴△ACD∽△BCE，∴∠CAH＝∠CBH，∴∠AHB＝∠ACB＝90°，∴AH＝AB·sin∠ABH，∴此时AH最大．如图2，此时CE⊥BE，∠DCE＝∠CEH＝∠DHE＝90°，∴四边形CDHE是矩形，∴∠CDH＝90°，DH＝CE＝＝2，∴∠ADC＝90°，AD＝＝，∴AH的最大值为．题型五相对运动平移型将军饮马如图，在矩形中，，把边沿对角线平移，点分别对应点，的最小值为．

【答案】【分析】先证明四边形是平行四边形法一：过C作BD的平行线l，可以理解为点C相对线段AB是在直线l上运动，把B关于l对称得到点E，AE即所求法二：作点关于的对称点，连接交于，过点作交的延长线于，连接交于，此时的值最小，最小值为，通过证明，可得，通过证明，可得，最后由勾股定理即可得到答案．法一简析【详解】法二：解：根据题意可得：，，四边形是平行四边形，，，如图所示，作点关于的对称点，连接交于，过点作交的延长线于，连接交于，此时的值最小，最小值为，

，则，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为如图，已知点P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是。【答案】【解答】如图所示，过P作x轴的平行线l，作点A关于l的对称点A'，连接A'P，则AP＝A'P，∴当A'，P，B在同一直线上时，AP+BP的最小值等于线段BA'的长，过A作AD⊥BC于D，∴AD∥y轴，∵A′A∥y轴，∴A′、A、D三点共线，∵等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，∴AD＝BD＝1，P（0，3），∴A'D＝AA'+AD＝2×（3﹣1）+1＝5，∴Rt△BA'D中，BA'＝＝＝，∴PA+PB的最小值是．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且ED＝OF，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是。【答案】【解答】解：∵菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，∴AC＝6，AC⊥BD，BO＝DO，∴AO＝AC＝3，∴BD＝＝18，∵ED＝OF，∴EF＝OD＝9，如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝9，连接CH交BD于E，当CHE三点贡共线时，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小．∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形FEHA是平行四边形，∴FA＝EH，∵EA＝EC，∴AF+AE＝EH+CE＝CH，∵菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，在Rt△CAH中，CH＝＝3，∴AE+AF的最小值3，∴△AEF的周长的最小值＝3+9广东省深圳市宝安区一模如图，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN＝CD，连接CM、AM、BN，连接AN，则AM＋AN的最小值是________．

【答案】3【详解】法一：相对于MN，A点在平行于BD的直线上运动法二：MN=AB=,那么根据题意当AM⊥MN时，AM+AN最短.∵∠CDB=（已求），DC∥AB∴∠MBA=∠CDB=∵AM⊥MN,MN∥AB∴∠MAB=∵AB=∴AM=1∴在Rt△AMN中，利用勾股定理得则AM+AN=1+2=3∴当BN⊥CD时，AM+AN有最小值3如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线AC翻折，得到△AB′C，再将△AB′C在直线AC上平移，得到△A′B″C′，则△BB″C′的周长的最小值为。【答案】【解答】解：连接AB″．∵AB＝B″C′，AB∥B″C′，∴四边形ABC′B″是平行四边形，∴AB″＝BC′，∴△BC′B″的周长＝BB″+BC′+B″C′＝AB″+BB″+2，∵AB″+BB″最小时，△BC′B″的周长最小，作点A关于直线B′B″的对称点T，连接BT交B′B″于B′″，连接AB″′，此时AB′″+BB′″的值最小，设AT交B′B″于E．则AE＝AB′•sin60°＝，∴AT＝2AE＝2，过点T作TP⊥AB交BA的延长线于P．则AP＝AT•coS30°＝3，PT＝AT＝，∴．∴BB″+BC′+B″C′的最小值为2023·齐齐哈尔·中考真题如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且．

将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，的最小值为______．【答案】，【分析】设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点，由平移的性质可知，，的值最小就是最小值，作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．【详解】，，补充求解过程如下：设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下：

由平移的性质可知，，∴的值最小就是最小值，显然点在直线上运用，作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，

∵点C关于直线对称的对称的点是点，∴，∴，设直线的解析式是：将点，代入得：，解得：直线的解析式是：令，解得：，∴，∴平移的距离是又∵，∴平移前的抛物线的坐标是∴新抛物线的顶点坐标为即故答案是：，．题型六通过瓜豆得出轨迹后将军饮马（2023·徐州·模拟预测）等边边长为6，是中点，在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为．【答案】【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小．【详解】解：如图，连接，、都是等边三角形，，，，，，，，如图，作点关于的对称点，连接，，则，，当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小，，．周长：．故答案为：．如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接、，则的最小值是（

）

A．4 B． C．8 D．【答案】B【分析】在y轴的正半轴上截取，使得，连接、，首先证明，点B在直线上运动，作点O关于直线的对称点E，连接交于点T，当点B与T重合时，的值最小，再利用勾股定理进行求值即可．【详解】解：如图，在y轴的正半轴上截取，使得，连接、，且的延长线与x轴交于点M，∴、是等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为，∴，∴,∴点B在直线上运动，作点O关于直线的对称点E，与交于点F，连接、连接交于点T，当点B与T重合时，的值最小，∵,，∴，根据对称得：，，，∴，∴、∵，∴，∴的最小值为：，故选：B．

在中，斜边，，点D是AC边上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE，则BE＋CE的最小值为．【答案】【分析】如图，取AB的中点T，连接DT，CT，证明△DBT≌△EBC（SAS），推出DT=CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作点B关于AC的对称点L，连接DL．AL，TL，则DB=DL，由DT+DB=DT+DL≥LT=，可得结论．【详解】解：如图，取AB的中点T，连接DT，CT，∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∵AT=TB，∴CT=AT=TB，∴△BCT是等边三角形，∴∠TBC=∠DBE=60°，∴∠DBT=∠EBC，在△DBT和△EBC中，∴△DBT≌△EBC（SAS），∴DT=CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作点B关于AC的对称点L，连接DL．AL，TL，则DB=DL，∵AC⊥BL，CL=CB，∴AL=AB，∵∠ABL=60°，∴△ABL是等边三角形，∵AT=TB=1，∴LT⊥AB，∴LT=BT=，∵DT+DB=DT+DL≥LT=，∴DT+DB的最小值为，∴BE+EC的最小值为．陕西榆林·二模如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M为BC上一点，连接MA，将线段MA绕点M顺时针90°得到线段MN，连接CN、DN，则CN+DN的最小值为．【答案】【分析】在BC上取一点H，使得BH＝BA，连接AH，HN．证明∠HTC＝45°，推出点N的运动轨迹是射线HN，设射线HN交CD的延长线于T，作点D关于NH的对称点J，连接CJ交HT于O，连接OD．当点N与O重合时，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此时CN+DN的值最小．【详解】在BC上取一点H，使得BH＝BA，连接AH，HN．∵△ABH，△AMN都是等腰直角三角形，∴AH＝AB，AN＝AM，∠BAH＝∠MAN＝45°，∴＝，∠BAM＝∠HAN，∴△BAM∽△HAN，∴∠AHN＝∠B＝90°，∵∠AHB＝45°，∴∠NHC＝45°，∴点N的运动轨迹是射线HN，设射线HN交CD的延长线于T，作点D关于NH的对称点J，连接CJ交HT于O，连接OD．当点N与O重合时，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此时CN+DN的值最小，∵AB＝CD＝4，BH＝4，BC＝9，∴CH＝CT＝5，DT＝TJ＝1，∵∠CTH＝∠HTJ＝45°，∴∠CTJ＝90°，∴CJ＝＝＝2022·淮安·中考真题二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长．【答案】【分析】由题意可知Q点在平行于的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由，求出点，作A点关于的对称点，连接与交于点Q，则，利用对称性和，求出，求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程组，可求点，再求．【详解】解：∵，点与点关于轴对称，∴，令，则，解得或，∴，∴，∵，∴点在平行于的线段上，设此线段与轴的交点为，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，作点关于的对称点，连接与交于点，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴，同理可求直线的解析式为，联立方程组，解得，∴，∵，∴.题型七化斜为直，斜大于直台州·中考真题如图，直线，分别为直线上的动点，连接，线段交直线于点．设直线与之间的距离为m，直线与之间的距离为n，若，，且，则m＋n的最大值为_____．【答案】延长AB，CG＝BD＝10，取CG中点M，BF≤BM＝5⇒m＋n≤如图，等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则CE的最大值为_________．AAFBDEC【答案】16－【解析】过点E作EH⊥BC于点H．AAFBHDEC∵等边△ABC的边长为4，∴∠B＝60°，AC＝4．由题意，EF＝AE．设CE＝2x，则EF＝AE＝4－2x，则EH＝．∵EF≥EH，∴4－2x≥，解得x≤8－，∴CE≤16－，∴CE的最大值为16－．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段PQ长度的最小值为。【解答】显然AB//QC,所以PQ≥CD=如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是边AB上一动点，Q是边BC上一动点，且始终有∠CPQ＝90°，则线段CQ长的取值范围为.【答案】【解答】由解析提示可知：，解得：,所以如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为．【答案】6【解答】解：如图所示：∵四边形PAQC是平行四边形，∴AO＝CO，OP＝OQ，∵PQ最短也就是PO最短，过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求，∵∠BAC＝30°，∴OE＝OA，∵AB＝AC＝12，∵AO＝AC＝×12＝6，∴OE＝3，∴PQ的最小值＝2OE＝6连云港·中考真题如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是．【答案】3【解析】简析1如图2，分别过点A、P作BD的垂线，垂足依次为E、G，则△AET∽△PGT，故＝，从而＝＝1＋＝1＋，又AE＝，要使最大，只要使PG最大，即点P到BD的距离最大；过点C作C⊥BD于点，交⊙C于另一点，易知即为PG的最大值，此时＝2C＝2AE，因此的最大值为3； 图2 图3简析2如图3，过点P作AD的平行线，交直线BD于点Q，则△ADT∽△PQT，故＝＝1＋＝1＋＝1＋．再作PG⊥BD于点G，易得PQ＝PG，从而＝1＋PG，要使最大，只要使PG最大，即点P到BD的距离最大，下略；简析3如图4，过点P作BD的平行线，交AD的延长线于点Q，则＝＝，要使最大，只要使AQ最大；向上平移BD，使其再次与⊙C相切，切点为，且交AD的延长线于点Q'，此时AQ'即为AQ的最大值；连接P'C并延长，交BD于点G'，再作DH⊥P'Q'于点H，可证DH＝P'G'＝2CG'＝，则DQ'＝DH＝6，故AQ'＝9，即AQ的最大值为9，的最大值为3； 图4 图5简析4如图5，连接PB、PD，同上可证＝1＋，要使最大，只需使最大；易证＝，且＝，故＝＝＝，即＝，要使最大，只需使S△PBD最大，即点P到BD的距离最大，下略．反思：这里提供的四种解法，都是借助相似或面积法转化目标线段比(即)．方法一最为直接，轻松转化为所谓“圆线距离”；方法二通过作“横平坚直辅助线”，构造相似，将“斜接段之比”(即)转化为“直线段之比”(即)，再借助“定角定比”，将“直距离”(即PQ)转化为“斜距离”(即PG)；方法三依然通过作平行线构造相似，将“斜线段之比”(即)转化为“直载段之比”(即)．再借助平移变换，找到相切位置即为所求最大位置；方法四则是将线段比转化为面积比，通过面积法解决问题．四种解法，各有千秋，殊途同归，并且有许多共通之处．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC边上一动点，过点D作DE⊥BD交AB于点E．当点D从点A运动到点C时，AE的最大值为_________，点E运动的路径长为_________．CCDBEA【答案】，【解析】取BE的中点F，连接DF，过点F作FG⊥AC于点G．CCGDBEAF则DF≥FG，BE＝2DF．当DF⊥AC时DF最小，BE最小，AE最大．∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4．设DF＝x，则BF＝x，AF＝2x，AE＝x，AB＝3x＝4，∴x＝，∴AE＝，＝，∴AE的最大值为，点E运动的路径长为．题型八构造二次函数模型求最值2023·辽宁大连一模如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转90°得到，连接．则的最小值是【答案】【分析】过点C作轴交x轴于D，设，利用一线三垂直模型证明推出，根据勾股定理表示出，然后根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：如图1所示，过点C作轴交x轴于D，设，由旋转的性质可得，∴，∴，又∵，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴的最小值为18，∴的最小值是．如图，△ABC和△ABD是两个全等的直角三角形，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD＝eq\r(,3)，BC＝BD＝1．若P、Q分别是边AC、AD上的动点，且始终保持PC＝QA，连接PQ交AB于点M，则AM长度的最大值为_____________．AABDCQPM【答案】EQ\F(3,4)提示：分别过P、Q作AB的垂线，垂足分别为E、FAABDCQPMFE由已知条件得，∠CAB＝∠DAB＝30°，∠CAD＝60°设AP＝x，则AQ＝PC＝eq\r(,3)－x则S△PAQ＝EQ\F(1,2)AM·PE＋EQ\F(1,2)AM·QF＝EQ\F(1,4)AM·AP＋EQ\F(1,4)AM·AQ＝EQ\F(1,4)AM(AP＋AQ)＝EQ\F(1,4)AM(x＋eq\r(,3)－x)＝EQ\F(eq\r(,3),4)AM又S△PAQ＝EQ\F(1,2)AP·AQ·sin60°＝EQ\F(1,2)x(eq\r(,3)－x)·EQ\F(eq\r(,3),2)＝－EQ\F(eq\r(,3),4)(x2－eq\r(,3)x)∴EQ\F(eq\r(,3),4)AM＝－EQ\F(eq\r(,3),4)(x2－eq\r(,3)x)，∴AM＝－(x2－eq\r(,3)x)＝－(x－EQ\F(eq\r(,3),2))2＋EQ\F(3,4)∴当x＝EQ\F(eq\r(,3),2)时，AM的长取得最大值EQ\F(3,4)（2023·江苏淮安·一模）如图，中，，，为中点．、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止．当为时，的面积最大．【答案】4【详解】解：根据题意得：，设，∵，∴，∵，∴，∵，∴当时，的面积最大无锡中考真题如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，点D是AB边上的一个动点，连接CD，以CD为边向上作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值为___________．EEFBCDA【答案】EQ\F(3,2)提示：作CG⊥BA交BA的延长线于点G，作EH⊥BA交BA的延长线于点HEEFHBCDAGM则△CDG≌△DEH，∴DG＝EH∵∠BAC＝120°，∴∠CAG＝60°作AM⊥BC于M∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，BM＝EQ\F(1,2)BC＝2∴AM＝EQ\F(2eq\r(,3),3)，AB＝AC＝EQ\F(4eq\r(,3),3)，AG＝EQ\F(1,2)AC＝EQ\F(2eq\r(,3),3)，BG＝2eq\r(,3)∴S△BDE＝EQ\F(1,2)BD·EH＝EQ\F(1,2)(2eq\r(,3)－DG)·DG＝－EQ\F(1,2)DG2＋eq\r(,3)DG＝－EQ\F(1,2)(DG－eq\r(,3))2＋EQ\F(3,2)∴当DG＝eq\r(,3)时，△BDE的面积有最大值为EQ\F(3,2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是，△BDE面积的最大值为．【答案】10【分析】如图，过点作于，过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出，继而根据勾股定理求出，从而求得的长，然后证明，根据全等三角形的性质可得，设，则，继而根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的性质即可求得答案．【详解】如图，过点作于，过点作于，过点作于，，，，，，，即，，在中，，，，四边形是正方形，，，，，又，，，设，则，，，的最大值为，故答案为，．（2022·江苏泰州·二模）如图①，等边△ABC中，点P为AB边上的任意一点，且∠CPD=60°，PD交AC于点D，设AP=x，AD=y，如图②是y关于x的函数图象，则图象顶点的坐标为．【答案】（2，1）【分析】根据题意得：AB=4，根据等边三角形的性质和∠CPD=60°，可得PB=4-x，∠BCP=∠B，可证得△DAP∽PBC，从而得到y关于x的函数为，即可求解．【详解】解：根据题意得：AB=4，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，BC=AB=4，∵AP=x，AD=y，∴PB=4-x，∵∠CPD=60°，∴∠CPD=∠B，∵∠APC=∠APD+∠CPD，∠APC=∠B+∠BCP，∴∠BCP=∠B，∴△DAP∽PBC，∴，即，∴y关于x的函数为，∴图象顶点的坐标为（2，1）（2023·辽宁营口·二模）如图①，在钝角三角形中，，D为边上一动点（C点除外），以点D为直角顶点，以为一条直角边作等腰直角三角形，连接．设，，若y关于x的函数图象如图②所示，则的面积为．

【答案】【分析】由②知，最大为5，此时点D与点A重合，，过点E作，交延长线于G，根据等腰三角形的性质及三角形等面积法得出，过点B作，交延长线于H，则，再由全等三角形的判定和性质得出，即可求解三角形面积．【详解】解：由②知，最大为5，此时点D与点A重合，，∵是等腰直角三角形，∴，过点E作，交延长线于G，

∴，解得，∴过点B作，交延长线于H，则，∵∴，∵，∴，∴，∴已知△ABC的面积为2，∠A＝30°，点M、N分别是边AB、AC上的点，且MN将△ABC分成面积相等的两部分，则线段MN长的最小值为___________．AAMNBC【答案】eq\r(,6)－eq\r(,2)提示：过M作MH⊥AC于H，设MH＝x，则AH＝eq\r(,3)xAAMHNBC∵S△AMN＝EQ\F(1,2)AN·MH＝EQ\F(1,2)S△ABC＝1，∴AN＝EQ\F(2,x)，HN＝EQ\F(2,x)－eq\r(,3)x∴MN2＝MH2＋HN2＝x2＋(EQ\F(2,x)－eq\r(,3)x)2＝(2x－EQ\F(2,x))2＋8－4eq\r(,3)≥8－4eq\r(,3)∴当2x＝EQ\F(2,x)，即x＝1，AM＝AN＝2时，MN2有最小值为8－4eq\r(,3)∴MN长的最小值为eq\r(,6)－eq\r(,2)如图，在锐角△ABC中，点D是AC边上的一个动点，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，连接BD、EF，当△DEF的面积最大时，下列说法正确的是（）A．BD是AC边上的高 B．BD是AC边上的中线C．BD是∠ABC的角平分线 D．EF∥ACAADEFBC【答案】B提示：作EH⊥DF交FD的延长线于点HAADEFBCH则S△DEF＝EQ\F(1,2)DF·EH＝EQ\F(1,2)DF·DE·sin∠EDH＝EQ\F(1,2)DE·DF·sin∠ABC∵sin∠ABC为定值，∴当DE·DF的值最大时，△DEF的面积最大∵S△ABD＝EQ\F(1,2)AB·DE，S△CBD＝EQ\F(1,2)BC·DF，∴S△ABD·S△CBD＝EQ\F(1,4)AB·BC·DE·DF∵AB·BC为定值，∴此时S△ABD·S△CBD的值最大设S△ABC＝S，S△ABD＝x，则S△CBD＝S－x∴S△ABD·S△CBD＝x(S－x)＝－x2＋Sx＝－(x－EQ\F(S,2))2＋EQ\F(S2,4)∴当x＝EQ\F(S,2)，即BD是AC边上的中线时，S△ABD·S△CBD的值最大，△DEF的面积最大如图，△ABC中，BC＝4，BC边上的高为3，矩形DEFG内接于△ABC，点D、G分别在边AB、AC上，边EF在边BC上，则EG长的最小值为___________．AABCEFDG【答案】EQ\F(12,5)提示：作AN⊥BC于点N，交DG于点MABCEFDGABCEFDGMNABCEFDGHNM设DG＝x，由△ADG∽△ABC得：EQ\F(AM,AN)＝EQ\F(DG,BC)∴EQ\F(AM,3)＝EQ\F(x,4)，∴AM＝EQ\F(3,4)x，∴DE＝MN＝3－EQ\F(3,4)x∴EG2＝DG2＋DE2＝x2＋(3－EQ\F(3,4)x)2＝EQ\F(25,16)x2－EQ\F(9,2)x＋9＝EQ\F(25,16)(x－EQ\F(36,25))2＋EQ\F(144,25)∴当x＝EQ\F(36,25)时，EG2有最小值EQ\F(144,25)，∴EG的长的最小值为EQ\F(12,5)注：本题也可用几何构造法解决，但不易想到．过B作BH⊥BC，过A作AH⊥BH于H延长GD交BH于M，连接HC交DG于N则BE＝DM，EQ\F(DM,AH)＝EQ\F(BD,BA)＝EQ\F(NG,AH)∴NG＝DM＝BE，∴四边形BENG是平行四边形∴BN＝EG，当BN⊥HC时BN最小由面积法可得，当BN⊥HC时BN＝EQ\F(12,5)，∴EG长的最小值为EQ\F(12,5)如图，在□ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝BC＝2，点E、F分别是对角线AC和边BC延长线上的动点，且AE∶CF＝2∶3，连接EF交CD于点G，则线段CG长的最大值为___________．AADBCFEG【答案】30－12eq\r(,6)提示：作EH⊥BC于H，EM⊥CD于M，FN⊥CD于NAADBCHFEMNG∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2∴∠ACD＝∠DCF＝60°由AE∶CF＝2∶3，设AE＝2x，则CF＝3x，EC＝2－2xEH＝EM＝EQ\F(eq\r(,3),2)(2－2x)，FN＝EQ\F(3eq\r(,3),2)x∵S△CEF＝S△CEG＋S△CFG，∴EQ\F(1,2)CF·EH＝EQ\F(1,2)CG·EM＋EQ\F(1,2)CG·FN∴CF·EH＝CG·(EM＋FN)，∴3x·EQ\F(eq\r(,3),2)(2－2x)＝EQ\F(eq\r(,3),2)(x＋2)·CG∴CG＝EQ\F(－6x2＋6x,x＋2)＝EQ\F(－6(x＋2)2＋30x＋60－36,x＋2)＝－6(x＋2)－EQ\F(36,x＋2)＋30＝－[eq\r(,6(x＋2))－EQ\F(6,eq\r(,x＋2))]2＋30－12eq\r(,6)∴线段CG长的最大值为30－12eq\r(,6)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是对角线AC上一点，AP＝EQ\F(1,4)AC，过点P的直线分别交边AB、AD于点E、F，连接CE、CF，则四边形AECF的面积的最小值为___________．AADFCBEP【答案】6提示：作PG⊥AB于G，PH⊥AD于HADFCBEPGH由AP＝EQ\F(1,4)AC可得AG＝PH＝EQ\F(1,4)AB＝EQ\F(3,4)，AH＝PG＝EQ\F(1,4)AD＝1ADFCBEPGH设GE＝x，则AE＝x＋EQ\F(3,4)由△EGP∽△PHF，可得HF＝EQ\F(3,4x)，AF＝1＋EQ\F(3,4x)S△AEF＝EQ\F(1,2)AE·AF＝EQ\F(1,2)(x＋EQ\F(3,4))(1＋EQ\F(3,4x))＝EQ\F(1,2)(x＋EQ\F(9,16x)＋EQ\F(3,2))＝EQ\F(1,2)(eq\r(,x)－EQ\F(3,4eq\r(,x)))2＋EQ\F(3,2)∴△AEF的面积的最小值为EQ\F(3,2)∵AP＝EQ\F(1,4)AC，∴S四边形AECF＝4S△AEF∴四边形AECF的面积的最小值为6如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在BC边上，点F在DC边上，∠EAF＝30°，过点F作FG∥BC，交AE于点G，则线段GF长的最小值为___________．AADBCEFG【答案】EQ\F(8,3)提示：延长AD到点H，连接FH，使∠H＝30°AADBCEFGH∵∠EAF＝30°，∴∠EAF＝∠H∵FG∥BC∥AD，∴∠AFG＝∠HAF∴△AFG∽△HAF，∴EQ\F(AF,GF)＝EQ\F(AH,AF)，∴GF＝EQ\F(AF2,AH)设DF＝x，则AF2＝x2＋42＝x2＋16，AH＝eq\r(,3)x＋4∴GF＝EQ\F(x2＋16,eq\r(,3)x＋4)＝EQ\F((x＋EQ\F(4,eq\r(,3)))2－EQ\F(8,eq\r(,3))(x＋EQ\F(4,eq\r(,3)))＋EQ\F(64,3),eq\r(,3)(x＋EQ\F(4,eq\r(,3))))＝EQ\F(1,eq\r(,3))[x＋EQ\F(4,eq\r(,3))＋EQ\F(64,3(x＋EQ\F(4,eq\r(,3))))]－EQ\F(8