2023年中考数学几何模型-动点最值之隐圆模型（讲+练）（解析版）

专题13动点最值之隐圆模型

模型一、动点定长模型

若P为动点，但AB=AC=AP,则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径

例.如图，在边长为2的菱形ABCO中，ZA=60°,M是边的中点，N是A8边上的一动

点，将“MN沿所在直线翻折得到△A'MN,连接A'C,则A'C长度的最小值是.

【答案】V7-1.

【解析】考虑△AA/N沿所在直线翻折得到“"MM可得MA'=MA=1,所以4轨迹是以

M点为圆心，MA为半径的圆弧.连接CM,与圆的交点即为所求的A，，此时A'C的值最小.

构造直角△MHC,勾股定理求CM,再减去4M即可，答案为近一］.

【变式训练1】如图，在RtZiABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上，并且CF=2,

点E为边8C上的动点，将ACE尸沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边48距离

的最小值是.

【解析】考虑到将AFCE沿EF翻折得到AFPE,可得。点轨迹是以尸点为圆心，FC为半径

的圆弧.过产点作与圆的交点即为所求P点，此时点P到A8的距离最小.由相

似先求再减去FP,即可得到答案为1.2.

【变式训练2】如图，矩形ABC。中，AB=4,BC=8,P、。分别是直线BC、AB上的两个

动点，4E=2,^AEQ沿EQ翻折形成△FEQ,连接PF、PD,则PF+PD的最小值是.

【答案】8

【解析】尸点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点。关于8c对称点。，连接P。，

PF+PD化为PF+PD，.连接EZT,与圆的交点为所求F点，与8c交点为所求尸点，勾股定

理先求m',再减去E尸即可.

模型二、直角圆周角模型

固定线段AB所对动角NC恒为90°,则A、B、C三点共圆，AB为直径

IB

例.如图，RtAABC中，AB1BC,AB=8,BC=4,P是AABC内部的一个动点，且满足

ZPBC,则线段CP长的最小值是.

【答案】472-4

【解析】V^PBC+ZPBA=90°,NPBC=NHB,；.N租B+/P8A=90°,AZAPB=90°,

.•・P点轨迹是以AB为直径的圆弧.

当。、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求0C,再减去OP即可.

【变式训练1】如图，已知正方形ABCD的边长为4,点M和N分别从B、C同时出发，以

相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN,交于点P,连接PC,则PC长的最

小值为（）

2石一2C.375-1D.2石

【答案】A

【详解】由题意得：BM=CN,

团四边形ABCD是正方形，00ABM=®BCN=9O°,AB=BC=4,

在13ABM和mBCN中，AB=BC,0ABM=0BCN,MB=CN,00ABM励BCN(SAS),EGBAM=0CBN,

03ABP+回CBN=90",00ABP+BBAM=9O°,国APB=90",

田点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为0,运动路径一条弧BG,是这个圆的!，

4

连接0C交圆。于P,此时PC最小，I3AB=4,I3OP=OB=2,由勾股定理得：0C="彳=

2出,

团PC=0C-0P=2石-2；

故选：A.

【变式训练2】如图，E、尸是正方形ABC。的边AD上的两个动点，满足连接b

交BD于点G,连接BE交AG于点”，若正方形边长为2,则线段。，长度的最小值是.

【解析】根据条件可知：ZDAG=ZDCG=ZABE,易证AGLBE,即/AH8=90。，所以H

点轨迹是以为直径的圆弧当H、。共线时，。，取到最小值，勾股定理可求.答案

【变式训练3】如图，点M是矩形ABCD的边BC、CD上的点，过点B作BN0AM于点P,交

矩形ABCD的边于点N,连接DP,若AB=6,AD=4,则DP的长的最小值为()

A.2B.I2屈c.4D.5

13

【答案】A

【详解】解：0BN0AM,EBAPB=90",

0AB=6为定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为0,

连接0D,0D与半圆的交点，就是DP长的最小值时的位置，如图所示：

0AB=6,AD=4,E)0P'=0A=；AB=3,0D=^AD2+OA2=>/42+32=5,

E)DP,=OD-OP,=5-3=2,®DP的长的最小值为2,故选：A.

模型三、四点共圆模型

固定线段AB所对同侧动角NP=NC,则A、B、C、P四点共圆

例.如图，MSC0AADE,ZBAC=ZDAE=90：AB=4,4c=3,尸是OE的中点，若点

E是直线BC上的动点，连接8P,则3尸的最小值是()

BEC

56

A.-B.2C.一D.4

25

【答案】B

【,详解】解：EBABC团团ADE,ADE=E)ABE,回点A,D.B,E四点共圆，

H3DAE=90°,E0DBE=9O°,(3F是DE的中点，0BF=yDE,团当DE最小时，BF的值最小，

回若点E是直线BC上的动点，13当AEI3BC时，AE最小，此时，DE最小，

A8xAC12

团团BAC=90°,AB=4,AC=3,团BC=5,0AE=-------------=>

BC5

35

ACBC—=——

团团ABC雷ADE,团=,012DE，

AEDE—

团DE=4,因BF=2,故选B.

B飞C

【变式训练1】如图，在四边形ABC。中，ZBCD=90°,AC为对角线，过点。作OF_LAB,

垂足为E，交C2延长线于点F,若AC=CF,4CAD=ZCFD,DF-AD=2,AB=6,

则ED的长为丝.

一5一

一

1一

FBCFBC

【解答】解：ZCAD=ZCFD,2点4,F,C。四点共圆，

/.ZMD+ZDCF=180o,ZMC=ZFDC,

9

VZDCF=90°,.,.ZMD=90°,：AC=FC,：.ZFAC=ZAFCf

VDF1AB,:.NABF+NBFE=NCDF+/BFE=90。，

AZABF=ZCDFf：.ZAFB=ZABF,：.AF=AB=6,

"：DF-AD=2,：.DF=AD+2,'：DF2=AF2+AD1,：.(2+AD)2=62+AD2,解得：AO=8,

：.DF=IO,

'：ZFAD=90°,AE±DF,：./XADE^^DAF,二地=理，，。£=^1=$=鲤，

DFADDF105

故答案为：32.

5

【变式训练2】如图，P为菱形ABCD内一动点，连接P4,PB,PD,ZAPD=ZBAD=60°,

AB=2,则P8+PD的最大值为（）

C.>/3+-D.—1

22+

【答案】B

【详解】如图，连接80.在菱形A8CO中,

AB=4).又，，ZBAZ)=60°.EIZXABO是等边三角形，=ZAfi£>=60°.

X0ZAP£>=ZZ?A£>=6O°.自动点P一定在△AB£>的外接圆］0的劣弧8。上，

0ABPD=ZAPD+ZAPB=ZAPD+ZADB=120°.在AP上取A£=BP,连接OE.

⑦AE=BP，ZDAE=ZDBP,DA=DB,HAA£D^ABP£>，；.DE=DP，

ZAED=ZBPD=120°,

..ZD£P=60。，回△POE为等边三角形，:.PE=PD,:.AP=AE+EP=BP+PD.

当”为。的直径时，8P+PD的值最大，此时NABP=90。，ZPAB=30°.

24I-

又-AB=2,.1PB+P。的最大值为——=~^-故选：B.

cos3003

【变式训练3】如图，在幽8c中，BC=9,AC=12,AB=15,。为直线A8上方一点，连接

AD,BD,且EMD8=90。,过D作直线BC的垂线，垂足为E,则线段BE的长度的最大值为.

D

E

【答案】12.

【详解】解：在a48c中,81=9,AC=12,AB=15,BC2=81,AC2=144,AB2=225,

BC2+AC2=AB2.，NC=90。，

回&4。8=90。，；.A、C、D、8共圆

取A8的中点0连接。。，过点。作。尸JLEB于点尸

如图，当OD//5C时，BE最大，此时ODLAC,ODLDE,

110

OF//AC,OF_LO。,BF=—BC=—x9=—，.■.四边形ODEF是矩形，

222

.•.EF=OD=1AB=-X15=—,

222

915

BE=BF+EF=-+—=\2,

22

故答案为：12.

课后训练

1.如图，在RS48C中，NACB=90。，BC=4,AC=10,点。是4c上的一个动点，以CD为

直径作圆O,连接30交圆。于点E,则AE的最小值为.

【解析】连接CE,由于CD为直径，故/CE£>=90°,考虑到CD是动线段，故可以将此题

看成定线段CB对直角NCEB.取CB中点所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的

圆弧.连接AM,与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，

AE=AM-EM=yllO2+22-2=2726-2.

2.如图，A8是半回。的直径，点C在半回。上，AB=5cm,4C=4cm.。是8c上的一个动点，

连接AD,过点C作CE0AD于E,连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为（）

【答案】B

【详解】解：如图，连接8。、BC.

2-fC

D

0CEI2MD,024EC=9O°,

回在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，

B48是直径，0MCB=9C)。，

在RtMBC中，EWC=4,48=5,BC=ylAB2-AC2=>/52-42=3-O'E=2,

在RtE)8C。'中，BO=JBC'CQ2=>/22+32=713，

IZlOT+BfsrO'B,田当。\E、B共线时，BE的值最小,最小值为。8-。任=布-2,

故选：B.

3.如图，在平行四边形4BCD中，AB=8,AD=6,以AB为边向右作等边ABE,F为边CD

上一点，DF=2,连接EF,则EF的最小值为_.

【答案】29-6

【详解】解：如图，在AB上取点。，使得A0=2,则AO=DF,

BAOElDf,团四边形AOFD是平行四边形，

SOF=AD=6,即：点尸在以。为圆心，6为半径的圆上，

连接。E,当点F恰好在。£上时，EF最小，过点E作EHM8,

在等边aA8E中，AB=AE=8,AH=4,0H£=782-42=45/3>

团在RtOHE中，OH=4-2=2,团。£=,2?+（4后J=2屈，

EEF=2jB-6,即EF的最小值为2万-6.

4.如图，正方形A3CZ）的边长为5,点。是中心，点M在边AB上，连接08,OM,过。

作ON_LOM,交边8c于点N.若8"=2,则助V的长是.

【答案】3

【详解】连接MMOC,00MOA/=90°,团M8N=90°,团M、。、N、8四点共圆，

SBBOM+SBNO=180°,

EBBNO+回。NC=180°,回团8MO=I2ONC,

回点。是正方形A8CD的中心，I3O8=OC,06OC=90°,

00/WO/V=0/WOB+0BOW=90°,回BOC=®8ON+EINOC=90°,

EE/WOB=RINOC,EHMOBEBNOC,0NC=/WB=2,

回正方形ABCD的边长为5,0BC=5,0BN=BC-M?=5-2=3.故答案为：3.

5.在RtAABC中，ZC=90°,AC=10,BC=12,点。为线段BC上一动点.以CO为。。

直径，作AO交。。于点E,连8E,则8E的最小值为一8.

屋」总

3

【解答】解：如图，连接CE,...NCED=NCEA=90。，点E在以AC为直径的。Q上,

：AC=10,.,.QC=QE=5,

当点Q、E、B共线时8E最小，

：8C=12,.•.QB={BC2_HQC2=3二比：=。8-QE=8,.•.8E的最小值为8,

故答案为8.

6.如图，在AABC中，/C=90。，点。是3c边上一动点，过点8作交AD的延

An

长线于E.若AC=2,BC=4,则黑的最小值为（）

V5+1

D.

2

【答案】D

【详解】如图1,过点E作麻，8c于F,

AnAC

0ZC=9O°,^ACHEF,团.ACD^EDF,S一二一，

DEEF

AF)Ar

加c是定值，睢座取最大值时5r而有最小值,又回曲5E,射，8,E，C四点共圆,

设AB的中点为。，连接。E,当0EL8C时，EF有最大值,

如图2,当点E是8c中点时，EF的值最大,

此时，E,F,。共线.回AC=2,BC=4,^AB=y]AC2+BC2=722+42=2y/5^OE=OB=45,

22

I3O£_L8C,0BF=；BC=2,^OF=y]OB-BF=>/5^4=l-@EF=OE-OF=君-I,

AC_22(百+1)后+1嗯的最小值为守故选。

DE-EF-75-l-(V5-l)(>/5+l)-2

7.如图，正方形ABC。的边长为4,动点、E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分

别沿48、CD向终点B、。移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线

BG,垂足为点G,连接AG,则AG长的最小值为.

【解析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF,BGLEF,但ZBGE所对的8E边是

不确定的.

重点放在AE=C