2022-2023学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合/={x∖x>0},B={x∖-1<X<2},若/∩F=（）

A.{x∣x<2}B.{x∣0<%<2}

C.{x∣l<%<2}D.{x∣—1<X<2}

2.下列函数中，是奇函数且在区间（0,+8）上单调递增的是（）

ʌ./（x）=χ2B./（x）=X2C./（x）=ɪD./（x）=%3

3.某学校想了解高一学生社会实践项目的选择意向，采用分层抽样的方式抽取100人进行问

卷调查.已知高一年级有270名男生，从男生中抽取了60名，则该校高一年级共有学生（）

A.445人B.450人C.520人D.540人

4.下列结论正确的是（）

A.若Q>b,则Ge?>bc2B.若小>ft2,则Q>b

C.若Q>b,CV0,则Q+c<h+cD.若√∏<√b,则Q<b

5.某班分成了A、B、C、。四个学习小组学习二十大报告，现从中随机抽取两个小组在班会

课上进行学习成果展示，则4组和8组恰有一个组被抽到的概率为（）

A.ɪB.ɪC.∖D.I

ɔZɔ6

tu06

6.已知α=4,b=2∙,c=Iog40.6,则α,b,C的大小关系为（）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c

7.甲、乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示：

①甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大；

②甲同学的平均分比乙同学高；

③甲同学的成绩比乙同学稳定；

④甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差.

上面说法正确的是（）

甲茎乙_______

16

277

98257

530923

A.①③B.①④C.②④D.②③

8.已知If(X)=的卢则不等式/(X)≥T(x—1)的解集为()

A.(—8,力u[l,+∞)B.(-æ,ɪ]U[∣,+∞)

C.(O,⅛U[i,+∞)D.(0,i]U[l,+∞)

9.函数f(x)在区间[1,2]上的图像是连续不断的，则''/(l)∕(2)≥0”是"函数在区间

(1,2)上没有零点”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.已知/(无)=/一2%,若对于VX1，X2∈∖m,m+l]9均有f(与+1)≥f(外)成立，则实数

Hl的取值范围是()

A.(-∞,0]B.(-∞,∣]C.停,+8)D.[l,+∞)

二、填空题(本大题共5小题，共20.0分)

11.函数/(x)=ln(l-x)的定义域是.

22

12.30+83=___>⅛6-lg(ξ)+Ine2=•

1-1

13.已知工」不是关于X的方程t?-τnx+血2-6=O的两个实根，且高"+五=-1,贝IJ

14.已知]当α=2时，f(x)的单调减区间为__.；若f(x)存在最小

值，则实数ɑ的取值范围是.

15.请阅读以下材料，并回答后面的问题：

材料1：人体成分主要由骨骼、肌肉、脂肪等组织及内脏组成，肌肉是最大的组织，且肌肉

的密度相比脂肪而言要大很多.肌肉和脂肪在体重中占比个体差异较大，脂肪占体重的百分

比（称为体脂率，记为F%）经常作为反映肥胖程度的一个重要指标，但是不易于测量.

材料2：体重指数BM/（BOdyMaSS∕ndeX的缩写）计算公式为：体重指数BM/=,（G为体重，

单位：千克；八为身高，单位：米），是衡量人体整体胖瘦程度的一个简单易得的重要指标.1997

年，世界卫生组织经过大范围的调查研究后公布：BM/值在18.5〜24.9为正常；BMl≥25为

超重；BMI≥30为肥胖.由于亚洲人与欧美人的体质有较大差异，国际肥胖特别工作组经调

查研究后，于2000年提出了亚洲成年人BM/值在18.5〜22.9为正常.中国肥胖问题工作组基

于中国人体质特征，于2003年提出中国成年人BM/值在18.5〜23.9为正常；BMl≥24为超重；

BMl≥28为肥胖.

30岁的小智在今年的体检报告中，发现体质指数BM/值为24.8,依照标准属于超重，因为小

智平时还是很注意体育锻炼的，正常作息，且每周去健身房有大约2小时的健身运动，周末还

经常会和朋友去打篮球，所以小智对自己超重感觉很困惑.

请你结合上述材料，从数学模型的视角，帮小智做一下分析（包括：是否需要担心？为什么？

）：_____

三、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题9.0分）

已知集合4={x∣∣x-1|<2）,B={x∣m<x<2τn+3}.

（I）求集合A中的所有整数；

（∏）若（CRA）DB=0,求实数Tn的取值范围.

17.（本小题9.0分）

高考英语考试分为两部分，一部分为听说考试，满分50分，一部分为英语笔试，满分100分.英

语听说考试共进行两次,若两次都参加，则取两次考试的最高成绩作为听说考试的最终得分，

如果第一次考试取得满分，就不再参加第二次考试.为备考英语听说考试，李明每周都进行

英语听说模拟考试训练，如表是他在第一次听说考试前的20次英语听说模拟考试成绩.

假设：①模拟考试和高考难度相当；②高考的两次听说考试难度相当；③若李明在第一次考

试未取得满分后能持续保持听说训练，到第二次考试时，听说考试取得满分的概率可以达到去

46504748495050474847

48495049505048504950

(I)设事件A为“李明第一次英语听说考试取得满分”，用频率估计事件4的概率；

(∏)基于题干中假设，估计李明英语高考听说成绩为满分的概率的最大值.

18.(本小题12.0分)

已知α>0且α≠l,函数八为=言1+6在/?上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两

个.①函数f(x)为奇函数;②/■⑴=一|;③f(T)=Y∙

(I)从中选择的两个条件的序号为,依所选择的条件求得b=,α=；

(Il)利用单调性定义证明函数g(t)=(-t在(0,+8)上单调递减；

(Iil)在(I)的情况下，若方程/O)=m+4》在［0,1］上有且只有一个实根，求实数nι的取值范

围.

19.(本小题10.0分)

设函数y=/(无)的定义域为M,且区间/1M,对任意％i，X2∈/月.％ι<X?,记4%=X2一

Ay=/(七)-『。1)・若4y+4x>0,则称f(%)在/上具有性质4若Ay-4%>0,则称/(%)在

/上具有性质B；若Ay∙∕x>O,则称f(x)在/上具有性质C；若祟>0,则称/Q)在/上具有性

质。.

(I)记：①充分而不必要条件；②必要而不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要

条件，则/(x)在/上具有性质4是f(x)在/上单调递增的(填正确选项的序号)；/(X)在/上

具有性质8是f(X)在/上单调递增的(填正确选项的序号)；f(x)在/上具有性质C是/Q)

在/上单调递增的(填正确选项的序号)；

(∏)若〃X)=αx2+1在口,+8)满足性质B,求实数α的取值范围；

(HI)若函数g(x)=亩在区间［m,叫上恰满足性质4、性质8、性质C、性质。中的一个，直接写

出实数m的最小值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

根据交集的定义直接写出4∩B即可.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

【解答】

解：A={x∣x>0],B={x∖-1<X<2],

■■AC∖B={x∣0<X<2},

故选：B.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数奇偶性的定义，结合幕函数的图象与性质，逐项分析即得.

本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.

【解答】

解：对于4函数/(©=[,定义域为[0,+8)不关于原点对称，所以函数/Q)为非奇非偶函数,

不符合题意；

对于8,函数/(x)=%2,定义域为R,又/(-%)=(一%)2==/(%),所以函数f(%)为偶函数，

不符合题意；

对于C,函数/(x)=：在(0,+8)为单调递减函数，不符合题意；

对于。,函数/(x)=X3,由/(一无)=(-χ)3=-X3=-/(X),所以函数/(X)为奇函数，

根据幕函数的性质，可得函数/(乃=/在区间(0,+8)上为单调递增函数，符合题意.

故选：D.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意求出抽样比例，再求该校高一年级共有学生.

本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题.

【解答】

解：设该校高一年级共有学生Ti人，

由题可知理=ɪ,

n270

解得n=450（人）.

故选:B.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

对于4,B举反例即可，对于C,。根据不等式的性质可判断

此题考查了不等式的性质，属于基础题.

【解答】

解：对于A：当C=O时，不成立，

对于B：当α=-2,b=l时，则不成立，

对于C：根据不等式的基本性质可得若α>b,c<0,则α+c>b+c,故C不成立，

对于。：若√Ξ<√^,则α<b,成立，

故选：D.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

利用列举法结合古典概型概率公式即得.

本题考查古典概型，属于基础题.

【解答】

解：从A、B、C、。四个学习小组中随机抽取两个小组有4B,AC,AD,BC,BD,CD共6种结果,

其中4组和B组恰有一个组被抽到的结果有AC,AD,BC,BO共4种结果，

所以a组和IB组恰有一个组被抽到的概率为9=|.

Oɔ

故选：C.

6【答案】A

【解析】

【分析】

利用对数函数和指数函数的性质求解.

本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质

的合理运用.

【解答】

解：∙.∙a-401=2O∙2,b=20∙6,

■-1<a<b,

又TC=log40∙6<0,

c<a<b,

故选：A.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

计算中位数，平均数，极差，估计方差，进而即得.

本题考查中位数，平均数，极差，估计方差，属于基础题.

【解答】

解：根据茎叶图数据知，甲同学成绩的中位数是2X(89+90)=89.5,极差为34,

乙同学成绩的中位数是：X(85+87)=86,极差为16,

所以甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大，故①正确；

甲同学的平均分是2X(61+72+89+90+93+95)=φ≈83.3,

乙同学的平均分是六X(77+82+85+87+92+93)=半=86,

OO

所以乙同学的平均分高，故②错误;

由茎叶图可知乙同学成绩数据比较集中，方差小，甲同学成绩数据比较分散，方差大，故③错误,

④正确.

所以说法正确的是①④.

故选：B.

8.【答案】。

【解析】

【分析】

化简不等式/(x)≥-g(x-l),结合解方程组以及函数的图象确定正确答案.

本题考查了对数函数的图象及性质的应用，应用了数形结合的思想方法，属于中档题.

【解答】

解：/(无)的定义域是(0,+8),AB选项错误.

44

/(x)=IogiX=-IogX≥--(x-l),IogX≤-(x-1)φ,

44ɔ4

χ

y=iog4解得卜1=；=1

由

.y=如T)M=-1=0'

【分析】

根据充分条件、必要条件的定义可解.

本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题.

【解答】

解：因为函数/(x)在区间［1,2］上的图像是连续不断的，当f(l)∕(2)≥O时，不能推出函数f(x)在

区间(1,2)上没有零点，如/(x)=(x-∣)2,/(1)/(2)≥0,函数/(%)在区间(1,2)上有零点|,故充

分性不成立；

当函数/(x)在区间(1,2)上没有零点时，能推出/(l)f(2)≥0,故必要性成立，

则”∕Q)∕(2)≥(Γ是“函数/(x)在区间(1,2)上没有零点”的必要不充分条件，

故选:B.

10.【答案】C

【解析】

【分析】

将有/(Xl+1)>/(%2)成立转化成/(X+l)min≥f(x)mɑx恒成立的问题，构造函数八(X)=f(x+

1),然后分类讨论，即可求出m的取值范围.

本题考查恒成立问题，二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性，

属于难题.

【解答】

解：由题意在/(%)=久2一2万中，对称轴X=I,函数在(—8,1)上单调减，在(1,+8)上单调增，

f(x+1)=(%+I)2—2(x+1)=X2—1,

•••对于VX1,X2∈［m,τn+1］,均有/'Qi+1)≥∕Q⅛)成立，

22

即对于VX1，X2∈［m,m+l］,均有f(x+I)Znin=(.X-I)JnE≥/O)TnaX=(.X-2x)mɑx恒成立，

在/1(%)=/(%+1)=%2-1中，对称轴X=0,函数在(—8,0)上单调减，在(0,+8)上单调增，

当m+1≤O即m≤-1时，函数∕ι(x)在［m,m+1］上单调减，函数f(x)在［m,m+1上单调减，

22

h(x)min=(τn+I)-1=m+2m,

/(x)mκ=加2_2τn,

22

(m+2m≥m-2mt解得rne。，

(m≤-1

当即一l<rn<0时，

函数∕ι(x)在Im,0)上单调减，在(0,m+1］上单调增，

函数/(%)在［m,nι+1］上单调减，

-∙-h(x)min=-l,/(x)mɑx=m2一2m,...仁;北二2。解得me。,

当｛［：；<］,即Tn=O时，［τn,m+1］=［0,1］,

函数∕ι(x)在［0,1］上单调增，函数/(%)在［0,1］上单调减，

ʌh(x')min=-1»fMmax=0-λftWmin=_1<f(^)max=θ∙故不符题意，舍去•

当I-—<1,即0<m<2时，

Lm>OZ

2

函数∕ι(x)在［m,τn+1］上单调增，h(x)min=m-1,

2

函数f(x)在pn,1)上单调减,在(l,τn+1］上单调增,f(x)max=f(m)=m-2m,

Cm2—1≥m2—2m

∙,∙L,1,解得m∈0,

IoVTn<2

当m=；时，［m,m+1］=g∣］,

函数/I(X)在E项上单调增，/I(X)min=-1，

函数/(x)在咳,1)上单调减，在(1,∣］上单调增，/(x)mαχ=∕(∣)=-

此时，九(X)TnE=-∣=/(x)maχ,［M=g符合题意，

(m+m+l

当二—>1,即)<m<l时，

Im<1

2

函数九(%)在［m,τn+1］上单调增,九(X)Tnin=m-I1

n2

函数/'(》)在［zn,l)上单调减,在(LZn+1］上单调增，f(x)max=f(J+1)=m-1,

此时，∕l(x)mi∏=m2-1=fMmaxʌɪ<m<1符合题意，

当m≥l时，函数九(%)在［m,m+l］上单调增，函数f(%)在［τn,m+l］上单调增，

22

••・九(%)min=m-lff(x)max=/O+l)=m-l,

2yλ

此时九(X)miτι=m-1=f(χ)max沆≥1符合题意.

综上，实数Tn的取值范围是己,+8).

故选：C.

IL【答案】｛ΛT∣X<1｝

【解析】

【分析】

根据对数函数的性质求出X的范围即可.

本题考查了求函数的定义域问题，考察对数函数的性质，是一道基础题.

【解答】

解：由题意得：I-X>0,解得：%<1,

故答案为：{x∣x<1}.

12.【答案】5

3

【解析】

【分析】

利用幕运算，对数的性质和运算法则求解.

本题考查了幕运算及对数运算的应用，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运

用，属于基础题.

【解答】

解：30+83=1+22=5-

3,5

lg6Tg(E)+Ine2=lg(6×ɜ)+2

=IglO+2=3,

故答案为：5,3.

13.【答案】2

【解析】

【分析】

由题意，利用韦达定理、二次函数的性质，求得m的值.

本题主要考查韦达定理的应用，二次函数的性质，属于基础题.

【解答】

解：乃是关于的方程/-的两个实根，

∙.∙χl,Xmx+m?-6=0

222

：.x1+X2=m,x1∙X2=m—6,且4=m—4(m—6)≥0,

,x1+x2

∙∙ɪ+ɪ=—1=χχ=z3Q可得病+j∏-6=O,

x1×2r2m-6

则TH=-3(不满足A≥O,舍去)或τn=2,

故答案为：2.

14.【答案】((U)

[2,+∞)

【解析】

【分析】

根据函数解析式，将a=2代入，分工<O和X≥O两种情况，判断单调性，即可求出第一空；

x2

X<0√(x)=2-1为增函数,/(%)∈(一1,0),无最小值,x≥0"(X)=χ2-aχ=(x-≡)-⅛

要想函数/(x)有最小值则满足≤-1且税>0,即可求得第二空.

4l

本题考查分段函数的应用，属于综合题.

【解答】

解：当a=2时,/(%)=『；,

Uz-2x,x≥0

X<0,f(x)=2x-1为增函数，

X≥0,/(x)=X2-2X=(X-I)2-1,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

故/0)的单调减区间为(0,1)；

x<0,f(x)=2*-1为增函数，/(x)∈(-1,0),无最小值，

2

%≥0，/(%)=X2—QX=(X—)2-S-,

要想函数f(x)有最小值则满足一。≤-1且3>0,解得α≥2,

则实数ɑ的取值范围是[2,+∞).

故答案为:(0,1)；[2,+∞).

15.【答案】如果小智体型基本正常(或者说身高远高于中国人平均值)，他的BM/值就会偏高，就

不必担心，因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况

下，BM/值与密度成正比(或者说，体重更大).

【解析】

【分析】

根据材料结合条件分析即得.

本题考查利用给定函数模型解决实际问题，属于综合题.

【解答】

解：因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BM/

值与密度成正比（或者说，体重更大），所以他的BM/值就会偏高，如果小智体型基本正常（或者说

身高远高于中国人平均值），就不必担心.

故答案为：如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），他的BM/值就会偏高，就

不必担心，因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况

下，BM/值与密度成正比（或者说，体重更大）.

16.【答案】解:（I）••-71={x∖∖x-1|<2]={x∣-1<X<3},

集合A中的所有整数为0,1,2；

（H）,・•（CRA）CB=0,

BQA9

①当m≥2m+3,即m≤一3时，

B=0,BqA成立;

②当m<2m+3,即m>—3时，

C-I≤m

l2m+3≤3,

解得一l≤m≤0,

综上所述，

实数机的取值范围为{m∣τn≤一3或一1≤m≤0）.

【解析】（I）由题意化简集合4从而写出集合A中的所有整数；

（Il）由题意得8£4,再分类讨论求实数加的取值范围.

本题考查了集合间包含关系的应用及分类讨论的思想方法的应用，属于中档题.

17.【答案】解：（I）依题意，李明在20次英语听说模拟考试中有8次取得满分，

取得满分的频率为4=|,所以用频率估计事件4的概率为PQ4）=|；

（口）设事件B为“李明第二次英语听说考试取得满分”，事件C为“李明高考英语听说考试取得满

分”，依题意，P(B)=5

一一7,?17

所以P(C)≤P(A)+P(AB)=P(A)+P(A)P(B)=f+ξ×∣=⅛

所以如果李明在第一次未取得满分时，坚持训练参加第二次考试，

那么他英语高考听说考试最终成绩为满分的概率的最大值可以达到5∙

【解析】(I)根据古典概型公式计算，即可求解；

(Il)计算出李明第二次英语听说考试取得满分的概率，然后根据题意，由独立事件的乘法公式计

算李明英语高考听说成绩为满分的概率的最大值.

本题考查古典概型公式，独立事件的乘法公式，属于中档题.

18.【答案】解：(I)因为/(X)=W^+b在R上是单调减函数，

故②/⑴=一,，③/(T)=一部会同时成立，

故函数一定满足①函数/(x)为奇函数，

由于函数定义域为R,所以有f(0)=0,贝∣J∕(l)<0,/(-1)>0,故一定满足②,

选择①②，f(f)+f(x)=+b+W⅛+b=0,

/⑴=荷+仁三，

解得b=0,α=ɪ.

(H)证明：任取0,t2∈(0,+∞),且口<匕，

272

则M)—g(tj=⅛-t2)-⅛-tι)=(tι-12)⅛+1)，

2

由于0<t1<t2,所以tll-t2<0,R+I>O，

所以g(t2)-g(tι)<0，即g(⅛)<g(O),

所以函数g(t)=:—t在(0,+8)上单调递减.

(In)由(I)可得/)=吕,

所以方程为累X=m+4Λ,即巾=|^%-铲=黄不一(4*+1)，X∈[0,1],

令r=45t+l,由于X∈[0,1],所以re[2,5],

则问题转化为Tn=在[2,5]上有唯一解，

由(U)知，函数g(t)=7-t在［2,5］上单调递减，

ɔɔɔɔ

所以g(t)min=g(5)=5-5=-y>9(t)JnaX=。⑵=12=-1，

所以实数Hl的取值范围是

【解析】(I)通过分析可知一定满足①②，从而列出方程组，求出b=0.a=∣;

(H)定义法判断函数的单调性步骤：取值，作差，变形，判号-；

(IlI)参变分离得到m=岛一(4、+1),X∈［O,1］,换元后转化为m=£-r在［2,5］上有唯一解，

结合(2)中函数单调性，求出g(t)=^-t的值域，从而得到Tn的取值范围.

本题主要考查函数的奇偶性的性质与单调性的证明，考查已知方程根的个数求解参数范围问题,

考查转化思想与运算求解能力，属于综合题.

19.【答案】解：(I)由于XlVX2，所以Ax=%2->0，

对于性质4当4y+∕%>0时，无法判断/y的符号，故无法判断单调性；

当/(%)在/上单调递增时，Δy>O=^Δy+Δx>Of

所以/(%)在/上具有性质4是/(乃在/上单调递增的必要而不充分条件；故答案为②

对于性质8,当dy-∕%>O时，∆y>∆x>Of所以/(%)在/上单调递增；

当/(x)在/上单调递增时，Zly>0,∕y-4%的符合无法判断，

所以70)在/上具