2023中考数学一轮复习 专题4.3几何初步及三角形

专题4.3几何初步及三角形（培优篇）（真题专练）

一、单选题

1.（2021•江苏南京•中考真题）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是

（）

A.1,1,1B.1,1,8C.1,2,2D.2,2,2

2.（2021•浙江丽水•中考真题）如图，在Rt^ABC纸片中，NACB=90。,AC=4,BC=3,

点O,E分别在A8,AC上，连结OE,将沿OE翻折，使点/的对应点尸落在BC的延

长线上，若ED平分NEFB,则AD的长为（）

3.（2021・湖南娄底•中考真题）如图，ABUCD,点瓦F在AC边上，已知

NCED=70。,ZBFC=130°,则的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

4.（2021•辽宁营口•中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上,

若Nl=19。，则N2的度数为（）

/

2

A.41°B.51°C.42°D.49°

5.（2021•黑龙江绥化•中考真题）己知在R^ACB中，NC=90。,ZABC=75。，A8=5.点E

为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段正+所的最小值是（）

A.近B.-C.6D.73

22

6.（2021•湖北宜昌•中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点尸在AC上，

其中NACB=90。，ZABC=60°,NEFD=90°,ZDEF=45°,ABIIDE,则NAFD的度数

是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

7.(2021•山东东营・中考真题)如图，AB//CD,EF丄CD于点居若/8EP=15()。，则NA8E=

D

A.30。B.40°C.50°D.60°

8.（2021•安徽•中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中N8AC=/££）F=90。，NE=45。,

NC=30。，AB与DF交于点M.若BC“EF,则的大小为（）

FAE

A.60°B.67.5°C.75°D.82.5°

9.（2021•内蒙古赤峰•中考真题）如图，ABJCD,点E在线段BC上，CD=CE,若匚ABC=30。,

则口口为（）

10.（2021•青海西宁•中考真题）如图，AABC的内切圆0与A8,BC,AC分别相切于点。,

E,F,连接OE,OF,ZC=90°,AC=6,5C=8,则阴影部分的面积为（）

11.（2021•四川绵阳•中考真题）如图，在等腰直角会8c中，ZC=90°,M、N分别为8C、

4c上的点，NCNM=50。，P为何N上的点，且PC=；MN,/BPC=117。，则厶BP=（）

B

A.22°B.23°C.25°D.27°

12.（2021•四川巴中•中考真题）如图，矩形NO8C的顶点/、8在坐标轴上，点C的坐标

是（-10,8）,点。在NC上，将ABCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tanQDBE

13.（2021•辽宁盘锦•中考真题）如图，已知直线为8和48上的一点C,过点C作直线

的垂线，步骤如下：

第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线力8于点。和点£；

第二步：分别以点。和点E为圆心，以。为半径作弧，两弧交于点尸；

第三步：作直线直线C尸即为所求.

第一歩第二步第三歩

下列关于。的说法正确的是（)

A.a>—DEB.a<—DEC.a>—DED.a<-DE

2222

14.（2021・西藏•中考真题）如图，在处E145C中，d4=3O。，nC=90°,N8=6,点P是线

段/C上一动点，点"在线段48上，当/加=；28时-，P8+PM的最小值为（）

C

A.3^3B.2"C.273+2D.3爲+3

二、填空题

15.（2021•广东深圳•中考真题）如图，在A"C中，D,£分别为8C,AC上的点，将AC£»E

沿折叠，得到△FDE,连接3/，CF,NBFC=90°,若EF"AB,AB=4^3,EF=IO,

16.（2021•青海•中考真题）如图，ABDCD,FEODB,垂足为E,01=50°,则口2的度数

17.（2021•四川内江•中考真题）如图，矩形力BCD,AB=1,3c=2,点A在％轴正半轴

上，点。在V轴正半轴上.当点A在x轴上运动时，点。也随之在V轴上运动，在这个运动

过程中，点C到原点。的最大距离为.

18.（2021•四川内江•中考真题）己知，在AABC中，厶=45。，AB=40，BC=5,贝UA4BC

的面积为

19.（2021•青海西宁•中考真题）如图，在矩形A8C。中，E为AO的中点，连接CE,过点

E作CE的垂线交A8于点月交CQ的延长线于点G,连接CF.已知A尸=；,CF=5,则

EF=.

20.（2021•青海西宁•中考真题）如图，^ABC是等边三角形，AB=6,N是AB的中点，AD

是8c边上的中线,M是AO上的一个动点，连接,则3M+MN的最小值是

21.（2021•青海西宁•中考真题）如图，在RtZ\A5C中，ABAC=90°,D,E分别是48,BC

915

的中点，连接AE,DE,若=4后=5，则点力到8c的距离是.

K,

22.（2021•辽宁鞍山•中考真题）如图，ZPOQ=90°,定长为a的线段端点48分别在射

线OP,上运动（点48不与点。重合），C为的中点，作AOAC关于直线。。对称

的AOA'C,A'O交AB于点D,当QBD是等腰三角形时，NOBD的度数为.

23.（2021•西藏•中考真题）如图.在放/8C中，4=90。，NC=4.按以下步骤作图：（1）

以点8为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段历J,BC于点M,N；（2）以点C为圆心,

8M长为半径画弧，交线段C8于点。；（3）以点。为圆心，MN长为半径画弧，与第2步

中所面的弧相交于点氏（4）过点E画射线CE,与月8相交于点?当N尸=3时，2c的长

是.

24.（2021•辽宁锦州・中考真题）如图，在口/BC中,2c=4,口4=60。,05=45°,8c边的

垂直平分线DE交于点D,连接C。，则的长为

A

三、解答题

25.（2021•山东青岛•中考真题）己知：N。及其一边上的两点A，B.

求作：R込ABC,使NC=90。，且点C在NO内部，ABAC=ZO.

26.（2021•广西河池•中考真题）如图，ZC40是AABC的外角.

（1）尺规作图：作NC4D的平分线"E（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加

黑）：

（2）若AEHBC,求证：AB=AC.

参考答案

1.D

【分析】

若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成.

【详解】

A、1+1+K5,即这三条线段的和小于5,根据两点间距离最短即知,此选项错误;

B、1+1+5<8,即这三条线段的和小于8,根据两点间距离最短即知,此选项错误;

C、1+2+2=5,即这三条线段的和等于5,根据两点间距离最短即知,此选项错误:

D、2+2+2>5,即这三条线段的和大于5,根据两点间距离最短即知,此选项正确;

故选：D.

【点拨】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于

第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大

于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可.

2.D

【分析】

先根据勾股定理求出48,再根据折叠性质得出DAE=DFE,AD=DF,然后根据角平分线

的定义证得BFD=DFE=DAE,进而证得8。6=90。，证明RtDJSCRt”BD,可求得

的长.

【详解】

解：ZACB=90°,AC=4,BC=3,

AB=JAC2+BC2=742+32=5,

山折叠性质得：DAE=DFE,AD=DF,则8D=5-

FD平分NEFB，

BFD=DFE=DAE,

DAE+\8=90°,

□口8OF+匚2=90°,即口8。尸=90°,

□RtDJSCDRtJFSZ),

BDBC„„5-A£)3

---=----即-------=_,

DFACAD4

解得：AD=—,

故选：D.

【点拨】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角

形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.

3.C

【分析】

取££>,FB的交点为点G,过点G作平行于CD的线MN,利用两直线平行的性质，找到角

之间的关系，通过等量代换即可求解.

【详解】

解：取中，尸B的交点为点G,过点G作平行于的线MN,如下图：

根据题意：NCED=70。,ZfiFC=130°,

■.ZEFG=50°,

二/EGF=180°-50°-70°=60°,

-MN//CD//AB,

:"B=NBGN/D=ZDGN,

:.NB+ND=ZBGN+ADGN=NBGD,

•••亙）,8/相交于点6,

:2EGF=NBGD=3,

.­.ZB+ZD=60°,

故选：C.

【点拨】本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助

线，利用两宜线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解.

4.A

【分析】

先求出正六边形的内角和外角，再根据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可求解.

【详解】

解：二正六边形的每个内角等于120。，每个外角等于60。，

f>lZ>120o-D1=101°,□408=60°,

/8。=101°-60°=41°

口光线是平行的，

N2=4BD=4l°,

故选A

【点拨】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质以及正六边形的性质，掌握三角形的

外角性质以及平行线的性质是解题的关键.

5.B

【分析】

作点尸关于直线力8的对称点尸，如下图所示，此时EF+EB=再由点到直线的距

离垂线段长度最短求解即可.

【详解】

解：作点尸关于直线的对称点尸‘，连接Z尸'，如下图所示：

由对称性可知，EF=EF',

此时EF+EB=EF'+EB,

由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，

当8尸‘口/尸时，EF+EB有最小值BF0,此时E位于上图中的E。位置，

由对称性知，口。4尸尸匚儿IC=90°-75°=l5°,

□□5^£0=30°,

由直角三角形中，30。所对直角边等于斜边的一半可知，

BF=i-AB^-x5=~,

0222

故选：B.

【点拨】本题考查了30。角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的

核心思路是作点F关于AC的对称点，将EF线段转移，再由点到直线的距离最短求解.

6.A

【分析】

设/IBgEF交于点M,根据得到厶MF=NE=45。，再根据三角形的内角和定

理求出结果.

【详解】

解：设与£尸交于点

AB//DE,

ZAMF=ZE=45°,

ZACB=90。,ZABC=60°,

ZA=30°,

ZAFM=180°-30°-45°=105°,

NEFD=90°,

ZAFD=15°,

故选：A.

BE

【点拨】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的

关键.

7.D

【分析】

过点E作E”C7Z由此求出N/ffiF=90。，得到/解"=60。，根据平行线的推论得到力BEH,

利用平行线的性质求出答案.

【详解】

解：过点E作即匚8,如图，

/DFE+/HEF=18。。,

EF1CD,

Z£>FE=90°,

/HEF=9()。，

ZB£F=150°,

ZBEH=60°,

EHCD,ABIICD,

口4BEH,

/ABE=/BEH=6fT,

故选：D.

B

【点拨】此题考查平行线的推论，平行线的性质，正确引出辅助线、熟记定理是解题的关键.

8.C

【分析】

根据〃即，可得ZRM=/F=45。,再根据三角形内角和即可得出答案.

【详解】

由图可得NB=60。，/尸=45°,

BC/IEF,

NFDB=NF=45°,

NBMD=180°-2FDB-=180°-45°-60°=75°,

故选：C.

【点拨】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和

是解题的关键.

9.B

【详解】

分析：先由ABHCD,得C=ABC=30。，CD=CE,得CD=1CED,再根据三角形内角和定

理得，JC+OD+CED=180°,即30°+2D=180°,从而求出UD.

详解：JABOCD,

□□C=OABC=30°,

又CD=CE,

D=!JCED,

'C+D+CED=180°,即30°+2D=I8O°,

□□D=75°.

故选B.

点睛：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质

求出C,再由CD=CE得出ID=CED,由三角形内角和定理求出D.

10.C

【分析】

连接由题意，先利用勾股定理求岀月8的长度，设半径为r,然后求岀内切圆的半径，

再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案.

【详解】

解：连接8,如图：

在AABC中，ZC=90°,AC=6,8c=8,

由勾股定理，则

ABAC2BC2《6?+8?10，

设半径为厂，则=OE=OF=/，

CF=CE=OE=OF=r,

四边形CEO尸是正方形；

由切线长定理，则4)=A尸=6-r,BE=BD=8-r,

AB=AD+BD,

6-r+8-r=10,

解得：r=2,

OD=OE=OF=2；

9X7IX22

阴影部分的面积为：S=2X2-°=4-K;

360

故选：C.

【点拨】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定理

等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题.

11.A

【分析】

作辅助线，构建矩形，得P是A/N的中点，则MP=NP=CP,根据等腰三角形的性质和三

角形外角的性质可解答.

【详解】

解：如图，过点M作MGBCTM,过点N作NGAC于N,连接CG交MN丁乩

GMC=ACB=CNG=90。,

四边形CMGN是矩形，

CH=LCG=LMN,

22

\PC=LMN,

2

存在两种情况：

如图，CP=CP\=LMN,

12

B

二尸是MN中点时，

□MP=NP=CP,

口CNM=IPCN=50。,HPMN=尸CM=90。-50。=40。,

□□CPM=180°-40°-40°=100°,

QQABC是等腰直角三角形，

□□J5C=45°,

□□BPM=117°-100°=17°,

□r\PMC=QPBM+UBPM,

□□PBM=40°-17o=23°,

□□J5P=45°-23O=22°.

□CP、=LMN,

12

□CP=CP),

□□CPPi="P]P=80。,

□□5P]C=U7。，

□□3。附=117。-80。=37。，

口□〃8々=40。-37。=3。，

而图中二A四肩》MBP,所以此种情况不符合题意.

故选：A.

【点拨】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质等

知识，作出辅助线构建矩形CNGM证明P是MN的中点是解本题的关键.

12.D

【分析】

先根据四边形/88是矩形，C(-10,8),得出8c=40=10,AC=OB=8,4=口。=C=90°,

再山折叠的性质得到CD=DE,BC=BE=IO,DEB=C=90°,利用勾股定理先求出OE的长，

即可得到再利用勾股定理求出利用tanNO8E=笔DF求解即可.

BE

【详解】

解：□四边形是矩形，C(-10,8),

UBC=AO=\0,AC=OB=8,EIQElOIZCMgO。，

由折叠的性质可知：CD=DE,BC=BE=10,DEB=C=90。，

在直角三角形8EO中：OE=NBEZ-OB2=6,

AE=OA-OE=4,

设CD=DE=x,则AD=AC-C0=8-x

在直角三角形ZQE屮：AD2+AE2=DE2,

(8-J+42=X2,

解得x=5,

DE=5,

DEB=90°,

【点拨】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键在于

能够熟练掌握相关知识进行求解.

13.C

【分析】

根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，结合三角形三边关系判断即可.

【详解】

解：由作图可知，分别以点。和点E为圆心，以。为半径作弧，两弧交于点尸，此时,

故选：C.

【点拨】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

14.B

【分析】

作8点关于4C的对称点9，连接8'A/交4C于点P,则尸8+PM的最小值为的长，过

点8作8，4B交H点、,在用BB'H中,B'H=3。,HB=3,可求M，=l,在RfMHB'

中，B，M=2帀,所以P5+PM的最小值为2".

【详解】

解：作8点关于4c的对称点夕，连接夕M交/C于点P,

BP=B'P,BC=B'C,

PB+PM=B'P-\-PM>B'M,

PB+PM的最小值为B'M的长，

过点£作交H点,

Br

JC=90°,

<JJCBA=60°,

AB=6,

BC=3,

「BB-BC+BC=6,

在即BBH中,□B，BH=60。,

BB'H=30°,

BH=3,

由勾股定理可得：B'H=\IB、B-BH2=462-32=3。，

□AH=AB—BH=3,

AM=-AB,

3

UAM=2,

MH=AH-AM=\,

在RfMHB冲,B'M=QB、H2-MH2=2"，

P8+PM的最小值为2万,

故选：B.

【点拨】本题考查轴对称一最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线,

找岀尸8+PM的最小值为夕M的长.

15.10-45/3

【分析】

延长ED,交CF于点G,由折叠，可知OG丄CF,可得ED//BF,延长E4,FB,交于点

M,结合AB//EF,可得NM=NBFE=a,ZM=ZABM=a,进而即可求解.

【详解】

解：如图，延长即，交CF于点G,

设NBFE=a

由折叠，可知OG丄C尸，

BFLCF,

EDHBF,

NFED=NBFE=a,

延长E4,FB,交于点、M,

AB//EF,

NBAC=NFEC=2a,ZABM=NBFE=a,

ZM=ZBAC-ZABM=a,

ZM=NBFE=a,NM=ZABM=a,

EM=EF=\0,AM=AB=4褥，

AE=EM-AM=10-45/3.

【点拨】本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形

的判定和性质，添加合适的辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键.

16.40°

【分析】

由EFIJBD,1=50°,结合三角形内角和为180。，即可求出D的度数，再由“两直线平行，

同位角相等''即可得出结论.

【详解】

解：在DEF中，口1=50。，DEF=90°,

D=180°-DEF-1=40°.

ABCD,

□□2=DD=40°.

故答案为40。.

【点拨】本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180。，解题关键是求出D=40。.解决

该题型题目时.，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是解题技巧.

17.72+1##

【分析】

取亜的中点H,连接CH，OH,由勾股定理可求CH的长，山直角三角形的性质可

求O”的长，由三角形的三边可求解.

【详解】

如图，取4。的中点H，连接CH，OH,

\,矩形ABC3,AB=l,BC=2,

CD=AB=1,AD=BC-2,

\•点//是AO的中点，

CH=4DH7+CD2=yjl+l=>/2，

ZAOD=90°，点”是4。的中点，

:.OH=-AD=l,

2

在AOCH中，CO<OH+CH,

当点，在OC上时，CO=OH+CH，

C。的最大值为QH+CH=41+\<

故答案为：y/2+\■

【点拨】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边形关系，勾股定理等知

识，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键.

18.2或14#14或2

【分析】

过点8作/C边的高80,Rt中，4=45。，4B=4a,得BD=4D=4,在Rt8OC中，

BC=4,得C4=J*+32=5,/8C是钝角三角形时，/8C是锐角三角形时，分别求出

/C的长，即可求解.

【详解】

解：过点8作4。边的高30,

B

RfAABD中,NA=45°,AB=45/I，

.・.BD=AD=4,

在RMBDC中，BC=5,

CD=V42+32=5，

AA3C是钝角三角形时，

AC=AD-CD=\,

S=-AC-BD=-x1x4=2;

&ABC22

AABC是锐角三角形时，

AC=AD+CD=y,

:.S=-ACBD=-x7x4=14,

MBC22

故答案为：2或14.

【点拨】本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想.

19.叵

2

【分析】

由题意，先证明AEFDEG,则EF=£G,DG=AF=L,利用等腰三角形的性质，求出

9

CG=CF=5,然后得至N8=CD=2，则8/=4,利用勾股定理求出8C,然后得到4E的长

度，即可求出尸E的长度.

【详解】

解：根据题意，在矩形A8C。中，则

AB=CD,BC=AD,3A=ZEDG=90°,

E为4。的中点，

AE=DE,

3UAEF=DDEG,

U^AEFV\UDEGf

EF=EG,DG=AF=-i

2

CEFG,

CG=CF=5,

19

JB=C£>=5—=-,

22

91

BF=--=4,

22

在直角ZL6C尸中，由勾股定理则

BC=J52-42=3，

口4D=3,

3

AE=-

2f

在直角4E尸中,由勾股定理则

故答案为：叵.

2

【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理

等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到CG=CF=5.

20.3y/3

【分析】

根据题意可知要求而W+MV的最小值，需考虑通过作辅助线转化8M,MN的值，从而找出

其最小值，进而根据勾股定理求出CN,即可求出答案.

【详解】

解：连接CM与力。交于点连接（根据两点之间线段最短；点到宜线垂直距离最

短），4）是BC边上的屮线即C和8关于AD对称，则BM+MN=CN,则CN就是BM+MN

的最小值.

A

AC=AB=64N=LAB=3,CN±AB,

2

CN=JAC?-AN?=,62-32=取=3G.

即BM+MN的最小值为34.

故答案为：373.

【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对

称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用.

21.—

5

【分析】

根据题意可求得/C、AB、BC的长度，设点”到8c的距离是厶，由的面积相等

可列式1・48・AC=L・8C・/?,从而点/到8c的距离即可求解.

22

【详解】

9

解：在RtZSABC中，ZBAC=90°,D,E分别是45,3。的中点，DE=-f

AC=9,DE//AC,

□□5。£>口54。=90。，

QJADE=90°f

.3街問厠存6，

AB=2AD=12,

BC=JAB2+AC2=，⑵+92=15>

设点A到BC的距离是h,

则丄・4B・AC=1・8C・〃，

22

即;xl2x9=gxl5/?,

解得：/2=y，

I点4到8C的距离是史.

5

故答案为：.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用、三角形中位线的性质，三角形的面积公式，解题的关

键是用勾股定理和中位线的性质求出各线段的长度.

22.67.5°或72°

【分析】

结合折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得=NCQ4=/班。，设

ZCOA=ZCOA'=ZBAO=x0,然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出

ZBCO=2x0,ZA'O3=90°-2x°,NOBD=90。—x°,ZBDO=ZAOD+ZBAO=3x°,从而

利用分类讨论思想解题.

【详解】

解：♦.•/尸。。=90。，C为的中点，

0C=AC=BC,

:.ACOA=ABAO./OBC=/BOC,

又由折叠性质可得NCO4=NC04,

:"COA=Z.COA'=NBAO,

设NC0A=NC0A'=/8A0=