中考数学模块复习-二次函数计算与证明

中考数学模块复习二次函数计算与证明

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-xz+bx+c与x轴交于点A,B,与

y轴交于点C.且直线y=x-6过点B,与y轴交于点D,点C与点D关于x轴

对称，点P是线段0B上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线

BD于点N.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；

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2.如图，抛物线y=----x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,直线y

2

x+2过B、C两点，连接AC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：△AOCS/\ACB；

(3)点M(3,2)是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D

作DE丄x轴交直线BC于点E,点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，

求PD+PM的最小值.

3.如果抛物线C的顶点在抛物线C上，抛物线C的顶点也在抛物线C上时，那

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么我们称抛物线C与C“互为关联”的抛物线.如图1,已知抛物线C：y=l

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X2+X与C：y=ax+x+c是“互为关联”的抛物线，点A,B分别是抛物线C,C

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的顶点，抛物线c经过点D(6,-1).

2

(1)直接写出A,B的坐标和抛物线C的解析式；

2

(2)抛物线C上是否存在点E,使得4ABE是直角三角形？如果存在，请求出

2

点E的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)如图2,点F(-6,3)在抛物线C上，点M,N分别是抛物线C,C上的

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动点，且点M,N的横坐标相同，记AAFM面积为S(当点M与点A,F重合时

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S=0)，ZXABN的面积为S(当点N与点A,B重合时，S=0),令S=S+S,观

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轴交于点C.直线1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E,点D的坐标为

(4,3).

(1)求抛物线的解析式与直线1的解析式；

(2)若点P是抛物线上的点且在直线1上方，连接PA、PD,求当APAD面积最

大时点P的坐标及该面积的最大值；

(3)若点Q是y轴上的点，且NADQ=45。，求点Q的坐标.

5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数产ax2-2x+c的图象与x轴交于A、B

两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3,0)，与y轴交于点C(0,-

3),点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)当点P运动到抛物线顶点时，求四边形ABPC的面积；

(3)点Q是x轴上的一个动点，当点P与点C关于对称轴对称且以点B、C、

P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标.

6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x?+bx+c的图象与坐标轴交于A,

B,C三点，其中点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,4)；点口的坐

标为(0,2),点P为二次函数图象上的动点.

(1)求二次函数的表达式;

(2)当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD,AP,以AD,AP为

邻边作平行四边形APED,设平行四边形APED的面积为S,求S的最大值;

(3)在y轴上是否存在点F,使NPDF与NADO互余？若存在，直接写出点P

的横坐标；若不存在，请说明理由.

7.如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(-5,0),B(-4,-3)两点，与x轴的

另一个交点为C,顶点为D,连结CD.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t.

①当点P在直线BC的下方运动时，求APBC的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点P,使得NPBC=/BCD?若存在，求出所有点P的坐

标；若不存在，请说明理由.

8.如图1,已知抛物线y=X2+mx与抛物线y=ax2+bx+c的形状相同，开口方向相

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反，且相交于点A(-3,-6)和点B(1,6).抛物线y与x轴正半轴交于

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点c,P为抛物线y上A、B两点间一动点，过点P作PQ〃y轴，与y交于点

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Q.

(1)求抛物线y与抛物线y的解析式；

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(2)四边形APBO的面积为S,求S的最大值，并写出此时点P的坐标；

(3)如图2,y的对称轴为直线1,PC与1交于点E,在(2)的条件下，直线

2

1上是否存在一点T,使得以T、E、C为顶点的三角形与4APQ相似？如果存

在，求出点T的坐标；如果不存在，说明理由.

9.如图，已知A(2,4),以A为顶点的抛物线经过原点交x轴于B.

(1)求抛物线解析式；

(2)取0A上一点D,以0D为直径作。C交x轴于E,作EF丄AB于F,求证:

EF是。C的切线；

(3)设。C半径为r,EF=m,求m与r的函数关系式及自变量r的取值范围;

(4)当OC与AB相切时，求。C半径r的值.

10.如图1,若抛物线L的顶点A在抛物线L上，抛物线L的顶点B也在抛物

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线L上(点A与点B不重合)我们把这样的两抛物线L、L互称为“友好”抛

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物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条.

(1)如图2,已知抛物线L：y=2xz-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该

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抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；

(2)请求出以点D为顶点的L的“友好”抛物线L的解析式，并指出L与L

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中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；

(3)若抛物y=a(x-m)2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a(x-

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h)2+k,请写出a与a的关系式，并说明理由.

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11.如图，已知抛物线y=ax?+bx+5经过A(-5,0),B(-4,-3)两点，与

x轴的另一个交点为C,顶点为D,连结CD.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t.

①当点P在直线BC的下方运动时，求APBC的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点P,使得NPBC=/BCD?若存在，求出所有点P的坐

标；若不存在，请说明理由.

12.如图1,已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A,C分

别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC,0A=3,tan/OAC=YLD是BC的中

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点.

(1)求0C的长和点D的坐标；

(2)如图2,M是线段0C上的点，OM=：OC,点P是线段0M上的一个动点，

经过P,D,B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E,连结DE交AB于点F.

①将4DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点

E的坐标；

②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG,当动点P从点0运动

到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长.

13.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a#0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线经

过A(l,0),C(0,3)两点，与x轴交于点B.

(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距

离之和最小，求出点M的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴x=-l上的一个动点，求使ABPC为直角三角形

的点P的坐标.

14.如图I,开口向上的抛物线与x轴交于A(X[,0)、B(x2,0)两点，与y轴

交于点C