重难点14数列通项公式的求法（递推法做差法）原卷版

重难点14数列通项公式的求法（递推法、做差法）命题规律与备考策略命题规律与备考策略数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高．题型方法考法1：递推法题型方法一．解答题（共21小题）1．（2023•五华区校级模拟）设正项数列的前项和为，且，当时，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，且，求数列的通项公式．2．（2023•鼓楼区校级模拟）记为数列的前项和，已知．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足且，的前项和为，证明：．3．（2023•南关区校级模拟）数列，满足，，．（1）求证：是常数列；（2）设，，求的最大项．4．（2023•贾汪区校级模拟）记为数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）令，记的前项和为，证明：．5．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．6．（2023•濠江区校级三模）设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”．（1）若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；（2）若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；（3）设数列是公比为的等比数列．若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围．7．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知数列是等差数列，其前项和为，，，数列满足（1）求数列，的通项公式；（2）若对数列，，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列的前2023项的和．8．（2023•枣庄二模）已知数列的首项，且满足．（1）证明：为等比数列；（2）已知为的前项和，求．9．（2023•南京模拟）已知公比大于1的等比数列满足：，．（1）求的通项公式；（2）记数列的前项和为，若，，证明：是等差数列．10．（2023•广陵区校级模拟）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点，在函数的图象上，其中为正整数，（1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（2）设，，定义，且记，求数列的前项和．11．（2023•辽宁模拟）设正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）能否从中选出以为首项，以原次序组成等比数列．若能，请找出使得公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式；若不能，请说明理由．12．（2023•南京二模）已知数列的前项和为，，，．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．13．（2023•皇姑区校级模拟）已知数列满足，．（1）计算：，，，，猜想数列的通项公式，并证明你的结论；（2）若，，求的取值范围．14．（2023•麒麟区校级模拟）已知数列满足，．记．（Ⅰ）证明：数列为等差数列；（Ⅱ）设数列的前项和为，求数列的前20项的和．15．（2023•皇姑区四模）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，．（Ⅰ）是否存在常数，使得？请说明理由；（Ⅱ）若为等比数列，求数列的通项公式及其前项和．16．（2023•龙华区校级模拟）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围．17．（2023•洪山区校级模拟）已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，且，其中为常数．（1）若数列为等差数列，求；（2）若，求数列的前20项和．18．（2023•南关区校级模拟）已知数列的各项均为正数，其前项和为，数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意正整数，均有，求实数的最大值．19．（2023•宜章县二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，次状态是“没有任何关系的”．现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为．（1）求的分布列；（2）求数列的通项公式；（3）求的期望．20．（2023•恩施市校级模拟）已知各项均不为零的数列满足，其前项和记为，且，，，数列满足，．（1）求，，；（2）求数列的前项和．21．（2023•大兴区校级模拟）若有穷数列，，，，满足，2，，，则称数列为数列．（Ⅰ）判断下列数列是否为数列，并说明理由；①1，2，4，3；②4，2，8，1．（Ⅱ）已知数列，，，，其中，，求的最小值；（Ⅲ）已知数列是1，2，，的一个排列．若，求的所有取值．考法2：做差法一．解答题（共12小题）1．（2023•临泉县校级三模）已知数列的前项和为，．（1）若，证明：数列为等差数列（2）若，，求的最小值．2．（2023•海口模拟）记为数列的前项和，已知．（Ⅰ）证明：数列是等差数列；（Ⅱ）设为实数，且对任意，总有，求的最小值．3．（2023•广州一模）已知数列的前项和为，且．（1）求，并证明数列是等差数列；（2）若，求正整数的所有取值．4．（2023•碑林区校级模拟）已知数列的前项和为，且对任意的有．（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和．5．（2023•福田区校级模拟）已知数列，的前项和分别为，，且，，当时，满足．（1）求；（2）求．6．（2023•云南模拟）正项数列的前项和为，已知．（1）求证：数列为等差数列，并求出，；（2）若，求数列的前2023项和．7．（2023•全国二模）已知正项数列的前项和为，且，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：．8．（2023•武功县校级模拟）已知数列的各项均为正数，前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求．9．（2023•鼓楼区校级模拟）记为数列的前项和，已知，．（1）求，并证明是等差数列；（2）求．10．（2023•乌鲁木齐二模）若数列的前项和满足．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）设，记数列的前项和为，证明：．11．（2023•安徽模拟）已知数列的各