高考数学人教B版一轮复习训练9-8-3圆锥曲线的范围问题

核心考点·精准研析考点一几何法求范围

1.已知直线l1:mxy+m=0与直线l2:x+my1=0的交点为Q,椭圆QUOTE+y2=1的焦点为F1,F2,则|QF1|+|QF2|的取值范围是 ()A.[2,+∞) B.[2QUOTE,+∞)C.[2,4] D.[2QUOTE,4]2.(2020·绵阳模拟)设点P是抛物线C:y2=4x上的动点,Q是C的准线上的动点,直线l过Q且与OQ(O为坐标原点)垂直,则点P到l的距离的最小值的取值范围是 ()A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1] D.(0,2]3.过双曲线QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为________. 导学号

【解析】1.选D.椭圆QUOTE+y2=1的焦点为:F1(QUOTE,0),F2(QUOTE,0),由l1与l2方程可知l1⊥l2,直线l1:mxy+m=0与直线l2:x+my1=0的交点为Q,且两条直线分别经过定点(1,0),(1,0),所以它们的交点Q满足:x2+y2=1(x≠1),当Q与(1,0)重合时,|QF1|+|QF2|取最小值为|F1F2|=2QUOTE,当Q与短轴端点重合时,|QF1|+|QF2|取最大值为2a=4,所以|QF1|+|QF2|的取值范围是[2QUOTE,4].2.选B.抛物线C的准线方程是x=1,若点Q的坐标为(1,0),此时直线l的方程为x=1,显然点P到直线l的距离的最小值是1,若点Q的坐标为(1,t),其中t≠0,则直线OQ的斜率为kOQ=QUOTE=t,直线l的斜率为kl=QUOTE=QUOTE,直线l的方程为yt=QUOTE(x+1),即xty+t2+1=0,设与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程为xty+m=0,代入抛物线方程得y24ty+4m=0,所以Δ=16t2-16m=0,解得m=t2,所以与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程为xty+t2=0,所以点P到直线l的距离的最小值为直线xty+t2+1=0与直线xty+t2=0的距离,即d=QUOTE=QUOTE,因为t≠0,所以0<d<1.综合两种情况可知点P到直线l的距离的最小值的取值范围是(0,1].3.由过双曲线QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得QUOTE<2.所以e=QUOTE=QUOTE<QUOTE=QUOTE,因为e>1,所以1<e<QUOTE,所以此双曲线离心率的取值范围为(1,QUOTE).答案:(1,QUOTE)1.当题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决.2.利用圆锥曲线的定义、几何意义等转化为平面图形中的范围问题,然后利用平面几何中的定理、性质等进行求解.考点二代数法求范围问题

命题精解读考什么:(1)范围问题主要有:①涉及距离、面积的范围以及与之相关的一些范围问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的范围;③求目标代数式的取值范围.(2)考查数学建模、数学运算、逻辑推理以及函数与方程、转化与化归的数学思想等.怎么考:以直线和圆锥曲线的位置关系为背景,考查参数取值范围或目标代数式的取值范围问题.新趋势:范围问题与不等式、函数值域等问题相结合.学霸好方法1.解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.2.交汇问题与不等式、函数问题交汇时,要注意参数取值范围的限制对解不等式、求函数值域的影响.构造不等式求范围【典例】(2019·宜昌模拟)在直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为QUOTE+QUOTE=1(a>b>0),左右焦点分别为F1,F2,R为短轴的一个端点,且△RF1F2的面积为QUOTE.设过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,P为椭圆C上异于A,B的一点,且直线PA,PB的斜率都存在,kPAkPB=QUOTE.(1)求a,b的值.(2)设Q为椭圆C上位于x轴上方的一点,且QF1⊥x轴,M,N为椭圆C上不同于Q的两点,且∠MQF1=∠NQF1,设直线MN与y轴交于点D(0,d),求d的取值范围.【解题导思】序号题目拆解(1)求参数a,b点差法转化kPAkPB=QUOTE,结合△RF1F2的面积列出方程组求解(2)①设直线QM的方程将两角相等转化为两直线QM,QN斜率之间的关系②求直线MN的斜率将直线方程与椭圆方程联立,分别求出M、N点的横坐标,利用两点坐标表示出直线MN的斜率.③求d所满足的不等式将直线MN的方程与椭圆方程联立,由位置关系列出不等关系④解不等式求范围解所得不等式即可求得d的取值范围【解析】(1)设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(x1,y1),进一步得,QUOTE+QUOTE=1,QUOTE+QUOTE=1,两个等式相减得,QUOTE+QUOTE=0,所以QUOTE·QUOTE=QUOTE,所以kPA·kPB=QUOTE,因为kPA·kPB=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,设b=QUOTEt,a=2t(t>0),因为a2=b2+c2,所以c=t,由△RF1F2的面积为QUOTE得,QUOTE=QUOTE,即bc=QUOTE,即QUOTEt2=QUOTE,t=1,所以a=2,b=QUOTE.(2)设直线QM的斜率为k,因为∠MQF1=∠NQF1,所以QM,QN关于直线QF1对称,所以直线QN的斜率为k,算得F1(1,0),QQUOTE,所以直线QM的方程是yQUOTE=k(x+1),设M(x3,y3),N(x4,y4)由QUOTE消去y得,(3+4k2)x2+(12+8k)kx+(4k2+12k3)=0,所以1·x3=QUOTE,所以x3=QUOTE,将上式中的k换成k得,x4=QUOTE,所以kMN=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以直线MN的方程是y=QUOTEx+d,代入椭圆方程QUOTE+QUOTE=1得,x2dx+d23=0,所以Δ=(d)24(d23)>0,所以2<d<2,又因为MN在Q点下方,所以QUOTE>QUOTE×(1)+d,所以2<d<1.构造函数法求范围【典例】(2019·日照模拟)已知点E,F分别是椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的上顶点和左焦点,若EF与圆x2+y2=QUOTE相切于点T,且点T是线段EF靠近点E的三等分点.导学号(1)求椭圆C的标准方程.(2)直线l:y=kx+m与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第二象限,过坐标原点O且与l垂直的直线l′与圆x2+y2=8相交于A,B两点,求△PAB面积的取值范围.【解题导思】序号题目拆解(1)求参数a,b根据已知分别求出a,b的值.(2)①建立k,m的关系式直线方程与椭圆方程联立,利用方程只有一解即可建立两者的关系式②求P到直线l′的距离求P点坐标,代入距离公式求解③表示△PAB面积利用三角形面积公式建立目标函数④求取值范围根据目标函数的结构特征,利用基本不等式求解最值,从而确定其取值范围【解析】(1)OT2=ET·TF=QUOTEa·QUOTEa=QUOTE,a2=6,b2=OE2=OT2+ET2=2,椭圆C的标准方程为QUOTE+QUOTE=1.(2)由QUOTE得,(3k2+1)x2+6kmx+3m2因为直线l:y=kx+m与椭圆C相切于点P,所以Δ=(6km)24(3k2+1)(3m26)=12(6k2+2m2)=0,即m2=6k2+2,解得x=QUOTE,y=QUOTE,即点P的坐标为QUOTE,因为点P在第二象限,所以k>0,m>0,所以m=QUOTE,所以点P的坐标为QUOTE,设直线l′与l垂直交于点Q,则|PQ|是点P到直线l′的距离,设直线l′的方程为y=QUOTEx,则|PQ|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以S△PAB=QUOTE×4QUOTE×|PQ|=QUOTE≤QUOTE=QUOTE=4QUOTE4,当且仅当3k2=QUOTE,即k2=QUOTE时,取得最大值4QUOTE4,所以△PAB面积的取值范围为(0,4QUOTE4].1.已知椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的焦距为2QUOTE,且C与y轴交于A(0,1),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右侧,直线PA,PB与直线x=3交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,求P点横坐标的取值范围.【解析】(1)由题意可得,b=1,c=QUOTE,所以a=2,椭圆C的标准方程为QUOTE+y2=1.(2)方法一:设P(x0,y0)(0<x0≤2),A(0,1),B(0,1),所以kPA=QUOTE,直线PA的方程为y=QUOTEx1,同理得直线PB的方程为y=QUOTEx+1,直线PA与直线x=3的交点为MQUOTE,直线PB与直线x=3的交点为NQUOTE,线段MN的中点QUOTE,所以圆的方程为(x3)2+QUOTE=QUOTE.令y=0,则(x3)2+QUOTE=QUOTE,因为QUOTE+QUOTE=1,所以(x3)2=QUOTEQUOTE,因为这个圆与x轴相交,所以该方程有两个不同的实数解,则QUOTEQUOTE>0,又0<x0≤2,解得x0∈QUOTE.方法二:由题意设直线AP的方程为y=k1x1(k1>0),与椭圆x2+4y2=4联立得:(1+4QUOTE)x28k1x=0,xP=QUOTE,同理设直线BP的方程为y=k2x+1,可得xP=QUOTE,由QUOTE=QUOTE,可得4k1k2=1,所以M(3,3k11),N(3,3k2+1),MN的中点为QUOTE,所以以MN为直径的圆为(x3)2+QUOTE=QUOTE.当y=0时,(x3)2+QUOTE=QUOTE,所以(x3)2=QUOTE,因为MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,所以QUOTE>0,代入4k1k2=1得:QUOTE<0,所以QUOTE<k1<QUOTE,所以xP=QUOTE=QUOTE在QUOTE单调递增,在QUOTE单调递减,所以xp∈QUOTE.2.(2019·焦作模拟)已知椭圆C:QUOTE+QUOTE=1与直线l1交于A,B两点,l1不与x轴垂直,圆M:x2+y26y+8=0.(1)若点P在椭圆C上,点Q在圆M上,求|PQ|的最大值.(2)若过线段AB的中点E且垂直于AB的直线l2过点QUOTE,求直线l1的斜率的取值范围.【解析】(1)依题意,圆M:x2+y26y+8=0,即圆M:x2+(y3)2=1,圆心为M(0,3).所以|PQ|≤|PM|+1.设P(x,y),则|PM|2=x2+(y3)2=x2+y26y+9.(*)而QUOTE+QUOTE=1,所以x2=4QUOTE.代入(*)中,可得|PM|2=4QUOTE+y26y+9=QUOTE6y+13,y∈[QUOTE,QUOTE].所以|PMQUOTE=12+6QUOTE,即|PM|max=3+QUOTE,所以|PQ|max=4+QUOTE.(2)依题意,设直线l1:y=kx+m.由QUOTE消去y整理得(3+4k2)x2+8mkx+4m2因为直线与椭圆交于不同的两点,所以Δ=64m2k24(3+4k2)(4m整理得m2<4k2+3.①设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=QUOTE,x1x2=QUOTE.设点E的坐标为(x0,y0),则x0=QUOTE,所以y0=kx0+m=QUOTE+m=QUOTE,所以点E的坐标为QUOTE.所以直线l2的斜率为k′=QUOTE=QUOTE.又直线l1和直线l2垂直,则QUOTE·k=1,所以m=QUOTE.将m=QUOTE代入①式,可得QUOTE<4k2+3.解得k>QUOTE或k<QUOTE.所以直线l1的斜率的取值范围为QUOTE∪QUOTE.1.(2020·南昌模拟)已知椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的离心率为QUOTE,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOM·kON=QUOTE,求原点O到直线l的距离的取值范围.【解析】(1)由题知e=QUOTE=QUOTE,2b=2,又a2=b2+c2,所以b=1,a=2,所以椭圆C的标准方程为QUOTE+y2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程QUOTE得(4k2+1)x2+8kmx+4m2依题意,Δ=(8km)24(4k2+1)(4m2化简得m2<4k2+1,①x1+x2=QUOTE,x1x2=QUOTE,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.若kOM·kON=QUOTE,则QUOTE=QUOTE,即4y1y2=5x1x2,所以(4k25)x1x2+4km(x1+x2)+4m2所以(4k25)·QUOTE+4km·QUOTE+4m2=0,即(4k25)(m21)8k2m2+m2(4k化简得m2+k2=QUOTE②,由①②得0≤m2<QUOTE,QUOTE<k2≤QUOTE.因为原点O到直线l的距离d=QUOTE,所以d2=QUOTE=QUOTE=1+QUOTE,又QUOTE<k2≤QUOTE,所以0≤d2<QUOTE,所以原点O到直线l的距离的取值范围是QUOTE.2.已知椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的离心率是QUOTE,且椭圆经过点(0,1).(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直线l1:x+2y2=0与圆D:x2+y26x4y+m=0相切.(ⅰ)求圆D的标准方程.(ⅱ)若直线l2过定点(3,0),与椭圆C交于不同的