山西长治二中高三第一学期第六次练考数学（理）试卷

【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，则()A． B． C． D．2．设集合，若，则B=()A． B． C． D．3．已知两个大小相等的共点力，当它们的夹角为时，合力大小为20N，当它们的夹角为时，合力大小为()A． B． C． D．4．为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，测量了他们的体重(单位：千克)，健身之前他们的体重情况如三维饼图①所示，经过半年的健身后，他们的体重情况如三维饼图②所示，对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论错误的是()A．他们健身后，体重在区间[90，100)内的人数不变．B．他们健身后，体重在区间[100，110)内的人数减少了2．C．他们健身后，体重在区间[110，120)内的肥胖者体重都有减轻．D．他们健身后，这20名肥胖者的体重的中位数位于区间[90，100)．5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，，则“”是“”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．展开式中的系数为()A．0 B．15 C．20 D．307．设实数，满足，则()A． B．C． D．8．已知双曲线的右焦点为，虚轴的一个端点为，若原点到直线的距离为，则双曲线的渐近线方程为()A． B． C． D．9．设直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，与圆相切于点P，且P位于第一象限，O为坐标原点，则的面积的最小值为()A．1 B． C． D．210．已知函数，则关于x的方程，给出下列五个命题：①存在实数t，使得方程没有实数根②存在实数t，使得方程恰有1个实数根③存在实数t，使得方程恰有2个不同实数根④存在实数t，使得方程恰有3个不同实数根⑤存在实数t，使得方程恰有4个不同实数根，其中正确命题个数是()A．4B．3C．2D．111．已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，，则()A． B． C． D．12．在数列及中，，，设，则数列的前n项和为()A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线在点处的切线方程为．14．设公比为的等比数列的前项和为．若，，则．15．已知椭圆的左、右焦点分别为是上一点，且轴，直线与的另一个交点为，若，则的离心率．16．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为．三、解答题：本大题共70分17．(本题满分12分)在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．(1)求的值；(2)在边上取一点，使得，求的值．18．(本题满分12分)已知四边形是梯形（如图1），，，，，为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（如图2），且.(1)求证：平面平面；(2)求与平面所成角的正弦值.19．(本题满分12分)新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于n份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n次．二是混合检验，将其中k份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k份血液检验的次数总共为k＋1次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P＝eq\f(2\r(2),3).(1)求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；(2)若检验次数的期望值越小，则方案越“优”。方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20．(本题满分12分)已知直线AB与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交轴于，M为线段AB的中点.(1)求点M的纵坐标；(2)求面积的最大值及此时对应的直线AB的方程.21．(本题满分12分)已知函数.(1)若在(0,1]上的最大值为，求a的值；(2)记，当时，若对任意，总有，求k的最大值．选考题：共10分，请考生在22,23题中任选一题作答。如果多做，则按照第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑。22．(本题满分10分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为(t为参数，)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)写出曲线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；(2)已知曲线与轴的交点为,与曲线交于两点.若，求实数的值．23．(本题满分10分)已知函数，记的最小值为．(1)解不等式；(2)若，求的最小值．一、本大题共12小题，每小题5分，共60分15CABBA610DCAAB1112CD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.y=3x14.15.16.三、解答题：本大题共70分17.解：(1)由余弦定理，得，因此，即……….................….......……3分由正弦定理，得，因此............………....5分∵，∴............………..........6分∵，∴，∴.............…..7分∴，∵............……....10分∴………....................……11分故……….................…...............……12分18.（1）取中点，连接，且，…........................…...................……5分如图，以为原点，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量为，则所以取，设与平面所成的角为，则即与平面所成的角的正弦值为……………….................…........12分19.解：(1)该混合样本阴性的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,9)，根据对立事件原理，阳性的概率为1－eq\f(8,9)＝eq\f(1,9)………….................….............……3分(2)方案一：逐个检验，检验次数ε=4.则E(ε)=4………........................….............……4分方案二：由(1)知，每组2个样本检验时，若阴性则检测次数为1，概率为eq\f(8,9)；若阳性，则检测次数为3，概率为eq\f(1,9).设方案二的检验次数记为ξ，则ξ的可能取值为2,4,6，其分布列为：ξ246Peq\f(64,81)eq\f(16,81)eq\f(1,81)∴E(ξ)＝2×eq\f(64,81)＋4×eq\f(16,81)＋6×eq\f(1,81)＝eq\f(22,9).................….................…...............…............…8分方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为η，η的可能取值为1,5，其分布列为：η15Peq\f(64,81)eq\f(17,81)E(η)＝1×eq\f(64,81)＋5×eq\f(17,81)＝eq\f(149,81)..................….................…...............…....................…11分∴E(η)＜E(ξ)＜4，故选择方案三最“优”．….................…...............…....................…12分20.解：（1）设，，线段的中点，由，，可得，，所以，又由，则，解得，即点的纵坐标1........................................................…...............…....................…4分（2）设的方程为，其中与轴交点为，中点，所以，即，，由消去，得到，则，所以........................................….7分又设到直线的距离为，则所以因为，所以.….10分当且仅当，即时取等号，此时，即..11分可求得直线的方程为..................…...............….....................................….12分21.（1）解：f(x)的定义域是，则①当时，,故f(x)是上的增函数；此时，，不符题意，舍去.②当时，令,得若，则，此时，f(x)在上单调递增，，不符题意，舍去.若，则，此时，f(x)在上单调递增，上单调递减。，解得，符合题意。综上所述，a的取值为e....…...............…..............................................................….6分（3）由题，求导，，故g(x)是上的减函数；对任意，不妨假设，则所以，即设则有且,,所以h(x)是上的减函数；则恒成立即恒成立设则当且仅当a=2且时，“=”成立.故即的最大值为4....…...............…...................................................….12分解：(1)由曲线的参数方程消去参数,得曲线的普通方程为.将代入，得曲线的极坐标方程为.因为曲线的极坐标方程为,所以,得曲线的直角坐标方程为...............….....................................….5分(2)由题意知,将曲线的参数方程为参数，）代入,得.设对应的参数分别为,则,则,又,所以........….........................10分23.（1），…………...………………1分原不等式可等价于