高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.11函数y=Asin(ωxφ)（重难点题型精讲）（学生版）

专题5.11函数（重难点题型精讲）1．匀速圆周运动的数学模型筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.62).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.62).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.2．,A对函数的图象的影响(1)对的图象的影响函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时)或向右(当<0时)平移||个单位长度而得到(可简记为“左加右减”).(2)对的图象的影响

函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.(3)对的图象的影响

函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.(4)由函数的图象得到函数的图象以上两种方法的图示如下：3．函数的图象类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种.

(1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象.

(2)“变换作图法”的途径有两种.

一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到(>0,A>0)的图象，即：二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可.【题型1“五点法”作函数的图象】【方法点拨】用“五点法”画函数(x∈R)的简图，先作变量代换，令X=，再用方程思想由X取来确定对应的x值，最后根据x,y的值描点、连线、扩展，画出函数的图象.【例1】（2022·全国·高一课时练习）用五点法作函数y=Asinxπ2πωx+φ0ππ3π2πy04040则A，ω，φ的值分别为（

）A．4，2，−π3 B．4，12，π3 C．4，2，π6【变式11】（2022·全国·高一课时练习）用“五点法”作y=2cosx−1在[0,2π]的图象时，应取的五点为（A．(0,1),π2,0C．(0,1),(π,−3),(2π,1),(3π,−3),(4π,1) D．(0,1),【变式12】（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数f(x)=Asinωx+φ0ππ3π2πxππ5π7π3πy020−20则f(x)的解析式为（

）A．f(x)=2sin(x−πC．f(x)=sin(2x−π【变式13】（2021·浙江台州·高一期中）小明用“五点法”画函数f(x)=Asinωx+φ0ππ2πxπ7πy=A020−20请你根据已有信息推算A，ω,φ的值依次为（

）A．2，2，−π3 B．2，2，π6 C．2，π，−【题型2三角函数间图象的变换】【方法点拨】可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.【例2】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））为了得到函数y=cosx的图象，只需将函数y=sinA．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移π6B．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移π3C．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移πD．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移π【变式21】（2022·天津·高三阶段练习）将函数fx=sin2x的图象先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数gA．12 B．−32 C．−【变式22】（2022·山东青岛·高三期中）把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个长度单位，得到函数y=sin2x−A．f(x)=sin4x+πC．f(x)=sinx2【变式23】（2022·安徽·高二开学考试）已知函数fx=cos2x−3π4，先将fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移πA．gx=sinC．gx=−cos【题型3与三角恒等变换有关的图象变换问题】【方法点拨】根据三角恒等变换的相关知识对所给解析式进行化简，利用图象变换规律进行变换即可.【例3】（2022·广东广州·高三阶段练习）已知函数fx=sin2ωx-cos2ωx+1(0<ω<1)，将fx的图像先向右平移π4个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数A．14 B．12 C．23【变式31】（2022·江西·高三阶段练习（文））已知函数f(x)=sin2x+πA．函数f(x)的最小正周期为2B．函数f(x)在−πC．将函数f(x)的图像向左平移π6个单位长度，所得图像对应的函数解析式为D．将函数f(x)的图像向左平移π12个单位长度，所得图像对应的函数解析式为【变式32】（2022·全国·高三专题练习）将函数f(x)=3sinxcosx+cos2x−1的图象向右平移π6A．−π12+C．−π3+2k【变式33】（2022·天津·高三期中）已知函数fx=cosA．函数fx的最小正周期为B．函数fxC．函数fx在−D．将函数fx的图象向右平移π12【题型4由部分图象求函数的解析式】【方法点拨】根据部分图象求出解析式中的A，，即可得解.【例4】（2022·黑龙江·高三阶段练习）函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2A．f(x)=2sinx−C．f(x)=2sinx−【变式41】（2022·广东佛山·高三期中）已知函数fx=Asinωx+φ的图象如图所示，则A．fx=2cosC．fx=sin【变式42】（2022·四川·高三期中（理））已知函数fx=AsinA．直线x=π是函数fxB．函数fx的图象的对称中心为−πC．函数fx在3πD．将函数fx的图象向左平移π【变式43】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））函数fx=AsinA．函数fx的解析式为B．函数fx的单调递增区间为C．为了得到函数fx的图象，只需将函数gx=2D．函数fx的图象关于点k【题型5三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】【方法点拨】利用三角函数模型解决实际问题时，首先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型；其次是寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答.【例5】（2022·全国·高一课时练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.【变式51】（2022·陕西汉中·高一期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m，筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P装刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为y=Asin(1)求A，m，φ，b的值；(2)盛水简出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？【变式52】（2022·全国·高一课时练习）已知电流随时间t变化的关系式是i=5sin(1)求电流i的周期､频率､振幅和初相;(2)分别求t=0,1【变式53】（2022·吉林·高一期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）（在水面下则h为负数）.(1)求点P距离水面的高度为h关于时间为t的函数解析式；(2)求点P第一次到达最高点需要的时间（单位：s）.【题型6函数与三角恒等变换的综合应用】【方法点拨】对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化.【例6】（2022·福建·高三期中）已知函数fx(1)求函数fx(2)将函数fx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π6个单位，得到函数gx的图象，当x∈【变式61】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数fx(1)求函数fx在区间−(2)将函数fx图像向右移动π6个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的a0<a<1倍得到y=gx的图像，若y=gx【变式62】（2022·宁夏高三阶段练习（文