电路第五版罗先觉第七章

动态电路的方程及其初始条件7.1一阶电路和二阶电路的阶跃响应7.7一阶电路的零输入响应7.2一阶电路的零状态响应7.3一阶电路的全响应7.4二阶电路的零输入响应7.5二阶电路的零状态响应和全响应7.6首页本章重点第7章一阶电路和二阶电路的时域分析一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；重点一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；返回含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。1.动态电路

7.1动态电路的方程及其初始条件当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。下页上页特点返回例0ti过渡期为零电阻电路下页上页+-usR1R2（t=0）i返回i=0,uC=Usi=0,uC=0k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：k未动作前，电路处于稳定状态：电容电路下页上页k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→

)+–uCUsRCi+-前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?i有一过渡期返回uL=0,i=Us/Ri=0,uL=0k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：k未动作前，电路处于稳定状态：电感电路下页上页k+–uLUsRi

(t=0)+-L

(t→

)+–uLUsRi+-前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1US/Rit0?uL有一过渡期返回下页上页

(t→

)+–uLUsRi+-k未动作前，电路处于稳定状态：uL=0,i=Us/Rk断开瞬间i=0,uL=

工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。注意k

(t→

)+–uLUsRi+-返回过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化下页上页返回应用KVL和电容的VCR得：若以电流为变量：2.动态电路的方程下页上页

(t>0)+–uCUsRCi+-例RC电路返回应用KVL和电感的VCR得：若以电感电压为变量：下页上页

(t>0)+–uLUsRi+-RL电路返回有源电阻电路一个动态元件一阶电路下页上页结论含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。返回二阶电路下页上页

(t>0)+–uLUsRi+-CuC＋－RLC电路应用KVL和元件的VCR得：含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。返回一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。描述动态电路的电路方程为微分方程；动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。下页上页结论返回高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。动态电路的分析方法根据KVL、KCL和VCR建立微分方程；下页上页返回复频域分析法时域分析法求解微分方程经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。下页上页返回稳态分析和动态分析的区别稳态动态换路发生很长时间后状态微分方程的特解恒定或周期性激励换路发生后的整个过程微分方程的通解任意激励下页上页直流时返回

t=0＋与t=0－的概念认为换路在t=0时刻进行0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间3.电路的初始条件初始条件为t=0＋时u，i

及其各阶导数的值。下页上页注意0f(t)0－0＋t返回图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。例解特征根方程：通解：代入初始条件得：在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。下页上页明确R－+CiuC(t=0)返回t=0+

时刻iucC+-电容的初始条件0下页上页当i()为有限值时返回q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。q

=CuC电荷守恒下页上页结论返回电感的初始条件t=0+时刻0下页上页当u为有限值时iLuL+-返回

L

(0＋)=

L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。下页上页结论返回

L

(0+)=

L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路定律电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。换路定律反映了能量不能跃变。下页上页注意返回电路初始值的确定(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V(1)

由0－电路求

uC(0－)uC(0－)=8V(3)

由0+等效电路求

iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1求

iC(0+)电容开路下页上页+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效电路+-10ViiC10k电容用电压源替代注意返回iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0时闭合开关k,求

uL(0+)先求应用换路定律:电感用电流源替代解电感短路下页上页iL+uL-L10VS1

4

+-iL10V1

4

+-由0+等效电路求

uL(0+)2A+uL-10V1

4

+-注意返回求初始值的步骤:1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.换路后的电路（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。下页上页小结返回iL(0+)=iL(0－)=iSuC(0+)=uC(0－)=RiSuL(0+)=-RiS求iC(0+),uL(0+)例3解由0－电路得：下页上页由0+电路得：S(t=0)+–uLiLC+–uCLRiSiCRiS0－电路uL+–iCRiSRiS+–返回例4求k闭合瞬间各支路电流和电感电压解下页上页由0－电路得：由0+电路得：iL+uL-LS2

+-48V3

2

CiL2

+-48V3

2

+－uC返回12A24V+-48V3

2

+-iiC+-uL求k闭合瞬间流过它的电流值解确定0－值给出0＋等效电路下页上页例5iL+20V-10+uC10

10

－iL+20V-LS10+uC10

10

C－返回1A10V+uL－iC+20V-10+10

10

－7.2一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。1.RC电路的零输入响应已知

uC

(0－)=U0

uR=Ri零输入响应下页上页iS(t=0)+–uRC+–uCR返回特征根特征方程RCp+1=0则下页上页代入初始值

uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0iS(t=0)+–uRC+–uCR返回下页上页或返回tU0uC0I0ti0令

=RC,称

为一阶电路的时间常数电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续函数跃变响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;下页上页表明返回时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短电压初值一定：R

大（C一定）

i=u/R

放电电流小放电时间长U0tuc0

小

大C

大（R一定）W=Cu2/2

储能大物理含义下页上页返回a.

:电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上认为,经过3

－5

,

过渡过程结束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

下页上页注意返回

＝

t2－t1

t1时刻曲线的斜率等于U0tuc0

t1t2次切距的长度下页上页返回b.时间常数

的几何意义：能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.设

uC(0+)=U0电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：下页上页uCR+－C返回例1图示电路中的电容原充有24V电压，求k闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：+uC4

5F－i1t>0等效电路下页上页i3S3+uC2

6

5F－i2i1返回+uC4

5F－i1分流得：下页上页i3S3+uC2

6

5F－i2i1返回下页上页例2求:(1)图示电路k闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，(2）电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：u

(0+)=u(0－)=20V返回u1（0-）=4VuSC1=5F++---iC2=20Fu2（0-）=24V250k+下页上页uk4F++--i20V250k返回下页上页初始储能最终储能电阻耗能返回2.

RL电路的零输入响应特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A=iL(0+)=I0t>0下页上页iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLR返回tI0iL0连续函数跃变电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；下页上页表明-RI0uLt0iL+–uLR返回响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关;下页上页令

称为一阶RL电路时间常数

=L/R时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短L大

W=LiL2/2

起始能量大R小

P=Ri2

放电过程消耗能量小放电慢，

大

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短物理含义电流初值iL(0)一定：返回能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。设

iL(0+)=I0电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：下页上页iL+–uLR返回iL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V

造成V损坏。例1t=0时,打开开关S，求uv。电压表量程：50V解下页上页iLS(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10ViLLR10V+-返回例2t=0时,开关S由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。解下页上页i+–uL6

6Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12返回下页上页i+–uL6

6Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12返回一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路下页上页小结返回一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。衰减快慢取决于时间常数

同一电路中所有响应具有相同的时间常数。下页上页小结

=RC

=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。RC电路RL电路返回动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加激励作用所产生的响应。方程：7.3一阶电路的零状态响应解答形式为：1.RC电路的零状态响应零状态响应非齐次方程特解齐次方程通解下页上页iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=0+–非齐次线性常微分方程返回与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量）的特解下页上页返回全解uC(0+)=A+US=0

A=－US由初始条件uC(0+)=0

定积分常数A下页上页从以上式子可以得出：返回-USuC‘uC“USti0tuC0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）下页上页表明+返回响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；

大，充电慢，

小充电就快。响应与外加激励成线性关系；能量关系电容储存能量：电源提供能量：电阻消耗能量：电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。下页上页表明RC+-US返回例t=0时,开关S闭合，已知

uC(0－)=0，求(1)电容电压和电流,(2)uC＝80V时的充电时间t。解(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：(2)设经过t1秒，uC＝80V下页上页500

10

F+-100VS+－uCi返回2.RL电路的零状态响应已知iL(0－)=0，电路方程为：tiL0下页上页iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回uLUSt0下页上页iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回例1t=0时,开关S打开，求t>0后iL、uL的变化规律。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：t>0下页上页返回iLS+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReq例2t=0开关k打开，求t>0后iL、uL及电流源的电压。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：下页上页iL+–uL2HUoReq+－t>0返回iLK+–uL2H10

2A10

5

+–u7.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。以RC电路为例，电路微分方程：1.全响应全响应下页上页iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答为：

uC(t)=uC'+uC"特解

uC'=US通解

=RC返回uC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U0

A=U0

-US由初始值定A下页上页强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)返回2.全响应的两种分解方式uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0全响应=

强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰下页上页返回全响应=

零状态响应+

零输入响应着眼于因果关系便于叠加计算下页上页零输入响应零状态响应S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0+S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0S(t=0)USC+–RuC(0－)=0返回零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0下页上页返回例1t=0时,开关k打开，求t>0后的iL、uL。解这是RL电路全响应问题，有：零输入响应：零状态响应：全响应：下页上页iLS(t=0)+–24V0.6H4

+－uL8

返回或求出稳态分量：全响应：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0时,开关K闭合，求t>0后的iC、uC及电流源两端的电压。解这是RC电路全响应问题，有：下页上页稳态分量：返回+–10V1A1

+－uC1

+－u1

下页上页全响应：返回+–10V1A1

+－uC1

+－u1

3.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：令

t=0+其解答一般形式为：下页上页特解返回分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。用0+等效电路求解用t→

的稳态电路求解下页上页直流激励时：A注意返回例1已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t)解tuc2(V)0.6670下页上页1A2

1

3F+-uC返回例2t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素为：下页上页iL+–20V0.5H5

5

+–10Vi2i1三要素公式返回三要素为：下页上页0＋等效电路返回+–20V2A5

5

+–10Vi2i1例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)解三要素为：下页上页4

+－4

i12i1u+－2A4

1

0.1F+uC－+－4

i12i18V+－12返回下页上页例4已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)

。+–1H0.25F5

2

S10Vi解三要素为：返回下页上页+–1H0.25F5

2

S10Vi返回已知：电感无初始储能t=0

时合S1

,t=0.2s时合S2，求两次换路后的电感电流i(t)。0<t<0.2s解下页上页例5i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-返回t>0.2s下页上页i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-返回(0<t

0.2s)(t

0.2s)下页上页it(s)0.25(A)1.2620返回7.5二阶电路的零输入响应uC(0+)=U0i(0+)=0已知：1.二阶电路的零输入响应以电容电压为变量：电路方程：以电感电流为变量：下页上页RLC+-iuc返回特征方程：电路方程：以电容电压为变量时的初始条件：uC(0+)=U0i(0+)=0以电感电流为变量时的初始条件：i(0+)=0uC(0+)=U0下页上页返回2.零状态响应的三种情况过阻尼临界阻尼欠阻尼特征根：下页上页返回下页上页返回U0tuc设|P2|>|P1|下页上页0电容电压返回t=0+

ic=0,t=

ic=0ic>0t=tm

时ic

最大tmic下页上页tU0uc0电容和电感电流返回U0uctm2tmuLic0<t<tm，i增加,uL>0，t>tmi减小,uL

<0t=2tm时

uL

最大下页上页RLC+-t0电感电压返回iC=i为极值时，即uL=0时的

tm

计算如下:由duL/dt可确定uL为极小时的

t.下页上页返回能量转换关系0<t<tmuC

减小，i增加。t>tmuC减小，i

减小.下页上页RLC+-RLC+-tU0uCtm2tmuLiC0返回uc

的解答形式：经常写为：下页上页共轭复根返回δωω0

下页上页ω，ω０，δ的关系返回t=0时

uc=U0uC=0：

t=-，2-...n-t

-2-2

0U0uC下页上页返回t

-2-2

0U0uC

iC

uL=0：

t=，+，2+...n+ic=0：

t=0，，2...n，为

uc极值点，ic的极值点为uL零点。下页上页返回能量转换关系：0<t<

<t<-

-<t<t

-2-2

0U0uc

iC下页上页RLC+-RLC+-RLC+-返回特例：R=0时等幅振荡t下页上页LC+-0返回下页上页相等负实根返回下页上页返回定常数可推广应用于一般二阶电路下页上页小结返回电路如图，t=0时打开开关。求uC并画出其变化曲线。解（1）

uC(0－)=25V

iL(0－)=5A特征方程为：

50P2+2500P+106=0例1（2）开关打开为RLC串联电路，方程为：下页上页5Ω100

F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+-+-iLuC返回(3)

t0uC35625下页上页返回7.6二阶电路的零状态响应和全响应uC(0－)=0,iL(0－)=0微分方程为：通解特解特解:

特征方程为:下页上页RLC+-uCiLUS

(t)+-例1.二阶电路的零状态响应返回uC解答形式为：下页上页tuCUS0返回求电流i的零状态响应。

i1=i－0.5u1=i

－0.5(2－i)2=2i－2由KVL：整理得：首先写微分方程解下页上页2-ii1例二阶非齐次常微分方程返回+u1-0.5u12W1/6F1HS2W2W2Ai特征根为：

P1=－2，P2=－6解答形式为：第三步求特解i'由稳态模型有：i'=0.5u1u1=2(2－0.5u1)i'=1Au1=2下页上页第二步求通解返回稳态模型+u1-2

i2A0.5u12

第四步定常数由0+电路模型：下页上页返回+u1-0.5u12W1/6F1Hk2W2W2Ai+u1-0.5u12W2W+2A-uL(0+)2.二阶电路的全响应已知：iL(0-)=2AuC(0-)=0求：iL,iR(1)

列微分方程(2)求特解解下页上页RiR-50V50

100F0.5H+iLiC例应用结点法：返回(3)求通解特征根为：

P=-100j100(4)定常数特征方程为：下页上页返回(5)求iR或设解答形式为：定常数下页上页RiR-50V50

100F0.5H+iLiCRiR-50V50

+iC2A返回下页上页返回二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描述的电路。二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。下页上页小结返回求二阶电路全响应的步骤(a)列写t>0+电路的微分方程(b)求通解(c)求特解(d)全响应=强制分量+自由分量上页返回上页7.7一阶电路和二阶电路的阶跃响应1.单位