电路分析第7章教材

第七章一阶电路本章主要内容：1、RC、RL电路的零输入响应；2、RC、RL电路的零状态响应；3、一阶电路的全响应；暂态与稳态；4、一阶电路的三要素法；5、阶跃函数和阶跃响应；子区间分析法。引言：1.什么叫一阶电路？1）用一阶微分方程描述其变量的电路。2）只含一个动态元件(C、L)的电路。如：NC1C2NL1L2引例：求图示电路的一阶微分方程。这是常系数非齐次一阶微分方程。代入:解：可以写出以下方程2.一阶微分方程的求解：1）齐次方程通解：2）非齐次方程特解：

W=Q

常数3）K确定：常系数非齐次一阶微分方程由初始条件解出K通解答为：7

1一阶电路的零输入响应一、RC电路的零输入响应

电路在没有外界输入的情况下，只由电路中动态元件初始储能作用而产生的响应为零输入响应。（输入为零）图(a)所示电路，开关原来在1端，电容电压已经达到U0，在t=0时开关由1端转换到2端，如图(b)求：uC(t)；iC(t),t

0①t＜0—充电②t=0—换路③t≥0—放电1.定性分析建立图(b)电路的一阶微分方程其解为：根据初始条件齐次方程通解：

2.

定量分析最后得到电路的零输入响应为uC

(0+)0

234uC(t)t(s)t(s)O

234iC(t)电流可以跃变U00

234uC(t)t(s)t0

2

3

4

5

uc(t)U00.368U00.135U00.050U00.018U00.007U00以为例，说明电压的变化与时间常数的关系。当t=0时，uC(0)=U0，当t=

时，uC(

)=0.368U0由于波形衰减很快，实际上只要经过4～5

的时间就可以认为放电过程基本结束。0.368U0换路：电路由电源接入或断开，元件参数或电路结构突然改变。过渡过程：电路由一种稳定状态向另一种稳定状态过渡的过程。

时间常数：

=

RC

它决定了uC

衰减的快慢

RC大，表示衰减的慢;RC小，表示衰减的快。

电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为：换路定律：二、RL电路的零输入响应已知

iL(0)=I0 ，求

iL(t),uL(t),t≥0解：1.定性分析①t＜0——储磁场能②t=0——换路③t≥0——衰减到零列出KCL方程，得到微分方程通解为代入初始条件iL(0+)=I0求得最后得到三、结论：RC电路（或RL电路）电压与电流的零输入响应都是从它的初始值按指数规律衰减到零。2表达式：X(0+)——初始值τ——时间常数二者零输入响应、时间常数具有对偶性。

=

RC

=

GL=L/R例1：电路如图(a)所示，已知电容电压uC(0-)=6V。

t=0闭合开关，求t>0时uC(t)、iC(t)、iR(t)。解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，得到将连接电容两端的单口网络等效于一个电阻，为电阻中的电流iR(t)可以用与iC(t)同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得iR(t)例2：3

6

2

i1uC+_100F已知uC

(0+)=18V求：uC

(t),i1(t),t≥0例3：

3

1

iu+_4H0.5u已知i(0+)=2A求：i(t),u(t),t≥07

2一阶电路的零状态响应一、RC电路的零状态响应CRt=0+_uC(t)+_USi(t)已知：uC

(0

)=0，求uC(t),i(t),t

0零状态响应:电路中动态元件的初始状态为零，电路只在外加激励作用下产生的响应。1）uC(t)

的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态值uC();tuC()uC(t)O2）当t>4,

uC()=Us是电容C开路时uC

的值。表示为iC

=0，解：1.定性分析：uC

(0

)=0Us4

2.定量分析++__USuC(t)RiC(t)解一：解二：tOiC＝RC二、RL电路的零状态响应解：１.定性分析ISt=0L+_uLRiRiL已知：iL(0_)=0，求iL(t),

uL(t),t

01）iL

的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态值iL()。当t>4

，iL()=IS,是电感短路时的值。t[iL()]iLIS2）iL

零状态响应的快慢，取决于电路的时间常数（

=L/R）。越小，上升越快。２.定量分析RL+_uLiLiRIS解一：解二：tOuLRIS三、结论：uC(t)和iL(t)

的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态iL()；iC(t)和uL(t)

是按指数规律衰减到零。2.状态量：（初始状态为零对应的变量）X(∞)——稳态值;τ——时间常数3.非状态量：iC(t)和uL(t)。求解方法：先求状态量，再求非状态量。例1电路如图(a)，已知uC(0-)=0。t=0打开开关，求：t

0的uC(t)，iC(t)及电阻电流i1(t)。解：在开关打开瞬间，电容电压不能跃变，得到将连接电容两端的单口网络等效为戴维南电路图(b)电路的时间常数为当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路得根据图（a）所示电路，用KCL方程得到t(s)iC(A)τ2τ3τ4τO0.4t(s)uC(V)120τ2τ3τ4τO例2电路如图(a)所示，已知电感电流iL(0-)=0。

t=0闭合开关，求：t

0的iL(t)，uL(t)，i(t)。解：电感电流不能跃变，即将连接电感的单口网络用诺顿等效电路代替，得图(c)7

3一阶电路的全响应一、全响应：

由动态元件的初始储能和外施激励共同引起的响应，称为全响应。例：已知电路如图(a)所示，uC(0-)=U0，t=0

时开关倒向2端。求：uC(t),t0。以电容电压uC(t)为变量，列出图(b)电路微分方程其解为代入初始条件求得于是得到电容电压表达式：第一项是对应微分方程的通解uCh(t)，称为电路的固有响应或自由响应。将随时间增长而按指数规律衰减到零，也称为暂态响应。

第二项是微分方程的特解uCp(t)，其变化规律与输入相同，称为强制响应。当t

时uC(t)=uCp(t)也称为稳态响应。①固有响应：与输入无关，由电路本身决定。

暂态响应：在过渡过程(0-4)的响应。②强制响应：与外加激励有关。稳态响应：在过渡过程完成以后的响应。tuC(0+)

US①US②uC(0+)全响应注意

线性动态电路中任一支路电压或电流的全响应等于零输入响应与零状态响应之和。

①零输入响应+②零状态响应③全响应=二、线性动态电路的叠加定理：uC(0+)t

234OuCUS①②③三、全响应的三种分解方式：1.全响应=零输入响应+零状态响应

※线性动态电路的叠加定理说明：

2.全响应=暂态响应+稳态响应3.全响应（全解）=通解+特解1）适用于任意线性动态电路2）电路中储能元件的等效叠加7

4三要素法一、一阶电路电压或电流的全响应(1)当x(0+)>x(),

则其波形为由其初始值按指数规律下降到其稳态值，即全响应t

234Ox(t)x(0+)x()稳态值下降高度下降规律一般式(2)当x(0+)<x()时，则其波形为由其初始值按指数规律上升到其稳态值，即t

234Ox(t)x(0+)x()全响应初始值上升高度上升规律二、三要素法：对于渐近稳定的一阶电路，各支路的电压或电流的全响应都是从其初始值按指数规律变化到（上升或下降到）其稳态值。初始值——三个要素：稳态值——时间常数——三、三个要素的求法1.初始值x(0+)10V+_uCt=0i2i120

30

0.1F例：已知t<0时电路已处于稳态，求uC(0+),i1(0+),i2(0+)。

换路定律：uC(0+)=uC(0

)电容电压连续

iL(0+)=iL(0

)

电感电流连续2.再求i1(0+),i2(0+)：10V20

30

i1(0+)i2(0+)+_uC(0+)=6Vt=0+画t=0+等效电路解：1.先求uC(0

)：画t=0

等效电路10V20

30

+_uC(0

)t=0-例2已知t<0时电路已处于稳态，求i1(0+),iL(0+),uL(0+)。1

4

t=0iL+_uLi1+_10V0.1H解：1.先求iL(0

)：推知iL(0+)=iL(0

)=2A2.再求i1(0+),uL(0+)10V1

4

iL(0+)=2A+_i1(0+)uL(0+)+_t=0+1

4

iL(0

)10V+_t=0

2.求稳态值x()画t=∞时的等效电路：将t>0时电路的电容开路，或电感短路，作直流分析，求出x()。3.求时间常数先求输出电阻R0，

=R0C先求R0,1)若为含电容电路，则为

R0N0C2)若为含电感电路，则为

R0N0L四、三要素求解步骤1.画t=0-时的等效电路，求X(0-);3.画t=∞时的等效电路，求X(∞);4.画t＞0时No网络，求Ro，计算τ；5.代入三要素公式。2.画t=0+时的等效电路，求X(0+);

换路定律：uC(0+)=uC(0

)；iL(0+)=iL(0

)

先求R0,=R0C，

五、元件L、C的等效电路：元件t=0+t=0-，∞CLIoIo+-UoUo+-t=0-条件零初始非零初始直流稳态例1图(a)所示电路处于稳定状态。t=0时开关闭合，

求：t

0的电容电压uC(t)和电流i(t)，并画波形图。解：1.求uC(0+)

2.求uC(

)，电容开路，运用叠加定理求得

3.求

：计算与电容相连接的电阻单口网络ab

的输出电阻，它是三个电阻的并联ab

4.代入三要素一般表达式求得电容电压后，电阻电流i(t)可以利用欧姆定律求得也可以用叠加定理分别计算2A电流源，10V电压源和电容电压uC(t)单独作用引起响应之和由于电路中每个响应具有相同的时间常数，不必重新计算，用三要素公式得到值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变，i(0+)=1A

i(0-)=1.667A，因而在电流表达式中，标明的时间范围是t>0，而不是t

0。电阻电流i(t)还可以利用三要素法直接求得例2：图示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0

时开关S由1端接至2端，求：t>0时的电感电流

iL(t)，电阻电流i2(t)，i3(t)和电感电压uL(t)。解：1.求iL(0+)：开关转换前，电感相当于短路

2.求iL(

)：3.求：

4.计算iL(t)，

uL(t)，

i2(t)和i3(t)。例3：

图(a)所示电路，在t=0时闭合开关，求：电容电压uC(t)和电流i2(t)的零状态响应。解：开关闭合后，与电容连接的单口网络用图(c)

所示的戴维南等效电路代替，其中用外施电源法求图(b)

单口网络的输出电阻Ro

时间常数为代入三要素公式得到从图(a)电路中开关闭合后的电路求得电流i2(t)1

1

1

+_+_2V2i10.8Fi1t=0例4已知t<0时电路已处于稳态,求i1(t),t0i1(A)O12345t(s)7

5阶跃函数和阶跃响应一、阶跃函数1.阶跃函数1(t)toAA(t)to(t)=1t>00t<0A(t)=At>00t<02.延时阶跃函数t(tt0)t0o1tA(tt0)t0oA(t)=1t>t00t<t0A(tt0)=At>t00t<t0二、阶跃函数的作用：1)代替开关N+_USt=0NUS(t)+_N+_USt=t0NUS(tt0)+_2)分段常量信号可表示为一系列阶跃信号之和分段常量信号：一些阶梯形状波形和矩形脉冲波形tuC(t)oUStuC(t)o1三、阶跃响应定义：电路在阶跃信号作用下的零状态响应。例如(t)+_R+_CuCUS(t)+_R+_CuC

=RCUS(t)tUSot(t)1oR+_US(tt0)CuC+_USUS(tt0)tt0ouC(t)tUSt0o非时变性的表现

四、非恒定电压、电流作用下一阶电路的响应例1：已知p(t)波形，求uCRC+_uC+_p(t)V解一：uC(0)=00-t0——充电

t＞t0——放电p(t)ot0tUSouCUStt0解二：tp(t)t0otp'(t)t0otp''(t)t0oUSUS

US对p'(t)：对p''(t)：2

+_

uS(t)1FuC+_i例2已知：uS(t)=5(t2)V，uC(t)=10V,t053.68求：uC(t),i(t),t02468uC(V)t(s)o10uC'uC''uCRuRC+_uC(t)NR+_V，t0结果：V,t0例3已知NR是只含电阻的电路，并知uC的单位阶跃响应为：V求：在同样的激励情况下，若uC(0

)=2V时的

uC(t)和uR(t)。V,例4图示RC分压器电路模型，试求输出电压

uC2(t)的阶跃响应。解：由于将图(a)电路中的电压源用短路代替后，电容C1

和C2并联等效于一个电容现在计算初始