山东省泰安市新泰第一中学（东校）2020-2021学年高二上学期第二次质量检测数学试题

绝密★启用前新泰一中东校高二上学期第二次质量检测考试数学试卷考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1．抛物线的准线方程为（）A． B． C． D．2．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（）A． B． C． D．3．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的值分别为（）A．， B．，C．， D．，4．已知等差数列的前项和为，且，则（）A．57 B．51 C．54 D．725．经过点P(2，－2)且与双曲线C：有相同渐近线的双曲线方程是()A． B．C． D．6．已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（）A．4 B．－4 C．±4 D．不确定7．如图所示，在直三棱柱中，，且，，，点在棱上，且三棱锥的体积为，则直线与平面所成角的正弦值等于（） B． C． D．8．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.则下列埃及分数，，，…，的和是（）A． B．C． D．二、多选题（每个题目都有多个答案，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．设几何体是棱长为a的正方体，与相交于点O，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．10．已知Sn是等差数列(n∈N*)的前n项和，且S5>S6>S4，以下有四个命题，其中正确的有（）A．数列的公差d<0 B．数列中Sn的最大项为S10C．S10>0 D．S11>011．在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是()A． B． C． D．12．过点的直线与圆：交于、两点，当时，直线的斜率为（）A． B． C． D．第II卷（非选择题）三、填空题13．坐标平面内过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为___________.14．记为数列的前项和，，则_____．15．已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为_______________16．如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点．若四边形为矩形，则的离心率是________．四、解答题17．（本题10分）已知平面内两点，.（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）一束光线从点射向（1）中的直线，若反射光线过点，求反射光线所在的直线方程.18．（本题12分）张先生2018年年底购买了一辆排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳.（1）若张先生第一年（即2019年）会用车1.2万公里，以后逐年増加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？（2）若种植的林木第一年（即2019年）生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据：，，）?（本题12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.（1）求证：平面平面；（2）若，，求二面角的余弦值.20．（本题12分）已知数列满足：=1，.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和.21．（本题12分）已知直线和圆，过直线上的一点作两条直线，与圆C相切于A，B两点.（1）当P点坐标为时，求以为直径的圆的方程，并求直线的方程；（2）设切线与的斜率分别为，，且时，求点P的坐标.22．已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点，.（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线，的斜率分别为，，证明：为定值；（3）求的最小值.新泰一中东校高二上学期第二次质量检测考试数学答案1．D2．D3．C4．A5．B6．A7．C8．B9．ACD10．AC11．AB12．BC13．或.14．1615．16．17．（1）因为，，所以，2分因为直线过点且与直线平行，所以直线方程为，即.4分（2）设关于直线的对称点为，则，解得，，8分因为，所以，则反射光线所在的直线方程为，即.10分18．（1）设第年小轿车排出的二氧化碳的吨数为，则，，，…，显然其构成首项为，公差为的等差数列，3分记其前项和为，则，所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨.6分（2）记第年林木吸收二氧化碳的吨数为，则，，，…，显然其构成首项为，公比为的等比数列。9分记其前项和为，由题意，有，解得.所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量.12分19．（1）证明：在四棱锥中，因为平面平面，平面平面，又因为，平面，所以平面.因为平面，所以.3分因为，，，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.6分（2）解：取中点，连接，，因为，所以因为平面平面，平面平面，因为平面，所以平面，所以，.因为，，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以.以，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，7分则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，即，令，则.9分设平面的法向量为，则，即，令，则.11分所以.所以二面角的余弦值为.12分20．（1）设，则，∴4分∵，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即数列是等比数列。6分（2）由（1）得，，即∴.8分∴∴10分两式相减得∴.12分21．解：（1）圆，可化为，中点为，，∴以为直径的圆的方程为圆。3分∵，，∴P，A，B，C四点共圆E，∴直线的方程是两圆公共弦所在直线方程，两方程相减可得直线的方程为；6分（2）设过P的直线l方程为，由于与直线l相切，得到，8分整理得到：，∴10分又，代入上式，可得，∴或，∴点P坐标或.12分22.（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为抛物线的焦点为，，所以抛物线的标准方程：．2分（