电子科大随机信号第三章

随机信号分析

第3章平稳性与功率谱密度第3章平稳性与功率谱密度有一类极为重要的随机信号，它的主要（或全部）统计特性关于参量保持“稳定不变”，这种随机信号被称为平稳随机信号。本章讨论：1）严格与广义平稳性；循环平稳性；2）平稳信号相关函数的特性；有关物理意义；3）平稳信号的功率谱密度与互功率谱密度；4）白噪声及其实例——热噪声第3章平稳性与功率谱密度

3.1

平稳性与联合平稳性

3.2

循环平稳性

3.3

平稳信号的相关函数

3.4

功率谱密度与互功率谱密度

3.5

白噪声与热噪声3.1平稳性与联合平稳性

平稳性（Stationarity）:随机信号的主要（或全部）统计特性对于参量保持不变的特性。包括严格平稳性与广义平稳性。

定义：若随机信号{X(t),t∈T}的任意n维分布函数具有下述参量移动不变性：对任意的t1,t2,…,tn∈T与x1,x2,…,xn∈R，以及满足t1+u,t2+u,t3+u,…,tn+u∈T的任意u值，恒有则称X(t)是严格平稳（SSS）信号（或强平稳信号）概率密度函数描述形式：

3.1平稳性与联合平稳性严格平稳信号X(t)具有如下特性：a.一阶分布、密度函数与均值都与时间t无关；b.二维分布与密度函数与两个时刻(t1,t2)的绝对位置无关，只与它们的相对差τ=t1-t2有关。

通常(t1,t2)用(t+τ,t)的等价形式，τ=t2-t1为相对差，是核心变量，t称为绝对位置。3.1平稳性与联合平稳性定义：若信号{X(t),t∈T}的均值与相关函数存在，且满足：

a.均值为常数，即E{X(t)}=m=const;

b.相关函数与两时间参量(t+τ,t)的绝对位置无关，即R(t+τ,t)=R(τ).则称它为广义平稳信号（WSS）信号（或弱平稳信号、或宽平稳信号），简称平稳信号。平稳性是随机信号的统计特性对参量(组)的移动不变性。信号本身的取值不是”固定不变”的，在不同的参量处信号仍然对应于不同的随机变量，只不过它们具有同样的统计特性而已。3.1平稳性与联合平稳性

严格平稳性要求全部统计特性都具有统计不变性；而广义平稳性只要求一二阶矩特性具有统计不变性。严格平稳性与广义平稳性之间的关系。定理3.1

广义平稳的高斯信号也必定是严格平稳的。

关于离散随机信号（或随机序列）的平稳性问题，只需要将连续时间变量t换为离散时间n。严格平稳过程广义平稳过程均值和相关函数存在不一定是?广义平稳M(t)=constR(t+τ,t)=R(τ)f(t+τ,t)=f(τ)3.1平稳性与联合平稳性平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响；应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论研究中；经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号是平稳的。3.1平稳性与联合平稳性例3.1设独立高斯信号U(t)的一维密度函数为其中a和σ为常数，试分析其平稳性。解：根据独立性性质，有上式与各个参量ti本身无关，也与这组参量的平移无关。所以U(t)是严格平稳信号。结论：同分布独立信号必是严格平稳信号。3.1平稳性与联合平稳性例3.2讨论乘法调制信号：Y(t)=X(t)cos(ω0+Θ),其中X(t)是实广义平稳信号，ω0是确定量，相位Θ在[-,]均匀分布，Θ与X(t)统计独立。讨论Y(t)的广义平稳性。解：相关函数为Y(t)是广义平稳的。调制器输出信号的均值为3.1平稳性与联合平稳性定义：联合严格平稳性定义为随机信号X(t)与Y(t)的任意(n+m)阶联合分布函数满足下面公式：其中，各个时间参量与状态的取值(在相应定义域中)是任意的。定义：联合广义平稳性定义为X(t)与Y(t)分别是广义平稳的，且满足下面公式：解：因此，输入与输出信号是联合广义平稳的，并且正交。如果相位不是随机变量？？例3.2乘法调制信号：Y(t)=X(t)cos(ω0+Θ),其中X(t)是实广义平稳信号，ω0是确定量，相位Θ在[-,]均匀分布，Θ与X(t)统计独立。讨论输入信号X(t)与输出信号Y(t)的联合平稳性。3.1平稳性与联合平稳性输出信号的Y(t)均值：Y(t)相关函数：Y(t)是实广义平稳信号输入信号X(t)与输出信号Y(t)的互相关函数：与绝对时间t无关X(t)是实广义平稳信号3.2循环平稳性定义：严格循环平稳性（SSCS）：过程的任意n阶概率分布函数具有下述的周期性，即：其中k为任意整数，T为正常数，称为X(t)的循环周期。定理3.2

若X(t)是周期为T的严格循环平稳过程，Θ与X(t)独立，在[0,T)上均匀分布，则Y(t)=X(t-Θ)是严格平稳的。且其任意n维分布为：证明：3.2循环平稳性因Θ与X(t)独立：如果我们令观察时刻移动任意τ值FX(…)关于各个参量是T的周期函数有，Y(t)=X(t-Θ)是严格平稳的定义：广义循环平稳（WSCS）：过程的均值与相关函数具有下述的周期性，即：其中k为任意整数，T为正常数，称为X(t)的循环周期。定理3.3

若X(t)是周期为T的广义循环平稳过程，Θ是[0,T)上均匀分布的独立随机变量，则Y(t)=X(t-Θ)是广义平稳的，且3.2循环平稳性证明：首先利用条件均值、X(t)与Θ统计独立特性均值mX(t)是周期为T的函数，积分区间正好也是T,所以相关函数积分对t进行，因此结果只跟τ有关，Y(t)=X(t-Θ)广义平稳3.2循环平稳性平稳性与循环平稳性之间的关系：严格平稳过程可以看作严格循环平稳过程，而其循环周期可以是任意值。严格循环平稳过程通过在其循环周期内均匀滑动后，变为严格平稳过程。

例3.4讨论乘法调制信号：Y(t)=X(t)cos(ω0t),X(t)是实平稳过程。ω0是确定量。Z(t)=Y(t-D),D与X(t)统计独立且在[0,2/ω0)上均匀分布。1)Y(t)的循环平稳性。2)Z(t)的平稳性。3.2循环平稳性循环平稳过程平稳过程经周期内独立、均匀的随机滑动以任意值为周期解：mY(t)的周期是2/ω0，RY(t+τ,t)的周期是

/ω0，Y(t)是循环平稳信号，周期为

/ω0

2)Z(t)是广义平稳的，且理想乘法调制器模型：实际乘法调制器模型：D与X(t)统计独立且在[0,2/ω0)上均匀分布3.2循环平稳性1)Y(t)均值与相关函数3.3平稳信号的相关函数实平稳信号的基本性质：

性质1

若{X(t),t∈T}是实平稳信号，则相关函数满足：a.偶函数:证：b.在原点处非负并达到最大：证：利用柯西-施瓦兹不等式：3.3平稳信号的相关函数c.如果R(τ1)=R(0),τ1≠0,则R(τ)是周期为τ1的周期函数，这时X(t)是周期平稳信号。证：d.若R(τ1)=R(τ2)=R(0),τ1≠0,τ2≠0,τ1,τ2不公约，则R(τ)为常数。证：R(τ)既以τ1为周期，又以τ2为周期，且τ1,τ2不公约，R(τ)只能为常数。3.3平稳信号的相关函数e.若R(τ)在原点连续，则它处处连续。证：性质2

若{X(t),t∈T}是平稳信号，则证：{X(t),t∈T}是平稳信号:3.3平稳信号的相关函数性质3

若{X(t),t∈T}与{Y(t),t∈T}是联合平稳信号，则证：

均值mX与自相关函数RX(τ)是研究单个信号的核心元素。有了它们，信号的方差、标准差、均方值、协方差，相关系数等一、二阶数字特征就完全确定了。相关函数的物理意义

相关函数反映随机信号在统计意义上的关联程度。自相关函数度量信号自身在不同时刻的内在关联性；互相关函数度量不同信号之间的相互关联性。3.3平稳信号的相关函数平稳信号的相关函数a.若{X(t),t∈T}含有平均分量(均值)，则R(τ)含有固定分量。b.若{X(t),t∈T}含有周期分量，则R(τ)将含有同样周期的周期分量。“信号依均方意义（也依概率为1）呈现周期性”的充要条件是:“R(τ)是周期函数”，这种信号称为周期平稳信号.c.若{X(t),t∈T}不含任何周期分量，则随机变量X(t1),X(t2)的关联程度随着时间距离的增大而减小，直至无关。d.相关系数ρ(τ)和互相关系数ρXY(τ)更为准确的度量相关性。3.3平稳信号的相关函数性质4

实际应用中的非周期平稳信号，一般都满足其它主要参数：相关时间(correlationtime)：τ0，满足τ≥τ0，ρ(τ)≤ρ0，ρ0通常定为0.05有时用矩形等效形式来定义相关时间一般情况下：均值均方值方差复习严格平稳性广义平稳性严格循环平稳性（SSCS）广义循环平稳（WSCS）实平稳信号的基本性质3.3平稳信号的相关函数例3.5工程应用中平稳信号X(t)的自相关函数为RX，估算均值，均方值和方差解：实际应用中，可将X(t)分解成：X(t)=U(t)+V(t),U(t)为非周期分量，V(t)为周期分量，自相关函数分别为V(t)是周期分量，可认为此分量的均值3.3平稳信号的相关函数例3.6相关检测如下图所示解：3.3平稳信号的相关函数例3.7设X(t)=Ycos(

t)+Zsin(

t),t>0，且Y,Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2，试讨论随机过程{X(t),t>0}的平稳性。解：所以{X(t)，tT}为广义平稳过程。均值相关函数3.3平稳信号的相关函数例3.8

设X(t)=Asin(t+Θ)，Y(t)=Bsin(t+Θ-

)，其中A,B,

是常数，Θ是(0,2

)上的均匀分布随机变量，证明：X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。解：对随机过程X(t)对随机过程Y(t)均值相关函数均值相关函数Y(t)广义平稳X(t)广义平稳3.3平稳信号的相关函数所以X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。互相关函数与时间t无关3.4功率谱密度与互功率谱密度

功率谱密度是功率沿频率轴的密度函数。随机信号的频域分析主要考察它的功率谱与互功率谱。信号能量信号平均功率

一般来说，能量总与某一物理量的平方成正比。令电阻R等于1则在整个时间域内实信号的能量和功率：上式只有两种可能的情况：能量信号功率信号能量信号：如各类瞬变信号(在有限区间取值的非周期信号)；功率信号：如各类周期信号，常值信号，阶跃信号等。能量or功率信号3.4功率谱密度与互功率谱密度

为了考察信号能量或功率沿ω轴的密度情况，考虑给定频率处，单位带宽具有的能量和功率。a.对能量型信号，定义能量谱密度物理意义：表示能量沿频率轴的密度状况，其总和是总能量。b.对功率型信号，定义能量谱密度物理意义：表示功率沿频率轴的密度状况，其总和是总功率。信号的能量谱密度或功率谱密度沿整个频率轴上的积分正好是信号的能量或功率。3.4功率谱密度与互功率谱密度因为随机信号几乎总是功率型的，因此，只考虑功率与功率谱密度。随机信号样本功率与样本功率谱

。随机信号的功率与功率谱定义为样本功率和样本功率谱的统计平均。定义算数平均算子：随机信号的功率：对于平稳信号，R(t,t)=R(0)=Const.因此平稳信号的功率就等于其均方值，即3.4功率谱密度与互功率谱密度定理3.4

维纳-辛钦定理(Wiener-Khintchine),

平稳信号的功率谱密度满足：证：对于平稳信号{X(t)}，它的每一个样本函数X(t,ξ)有以下关系：其中样本函数X(t,ξ)的功率谱密度：X(t,ξ)的平均功率:3.4功率谱密度与互功率谱密度X(t,ξ)是{X(t)}的一个样本，因此其功率谱也随着不同的样本变化，对于平稳信号，其功率谱令3.4功率谱密度与互功率谱密度维纳-辛钦定理3.4功率谱密度与互功率谱密度傅里叶资料JosephFourierBorn:21Mar.1768inAuxerre,Bourgogne,France

Died:16May.1830inParis,FranceField：Mathematician,physicist,andhistorianKnown

for：

FourierTransform3.4功率谱密度与互功率谱密度维纳资料NorbertWienerBorn:26Nov.1894inColumbia,Missouri,USA

Died:18Mar.1964inStockholm,SwedenField：

theoreticalandappliedmathematician

Known

for：electronicengineering,andcontrolsystems3.4功率谱密度与互功率谱密度辛钦资料AleksandrYakovlevichKhinchinBorn:19Jul.1894inKondrovo,Kaluzhskayaguberniya,Russia

Died:18Nov.1959inMoscow,USSRField:

Probabilist

3.4功率谱密度与互功率谱密度定义：平稳信号的自相关函数的傅里叶变换功率谱密度(功率谱)相关函数平均功率物理意义：如果某个ω0处SX(ω0)比较大，则信号X(t)中含有较多的ω0频率分量；如果在某个ω0处SX(ω0)=0，则信号中不含有该ω0频率分量。3.4功率谱密度与互功率谱密度例3.9已知随机信号的功率谱如下，求自相关函数与均方值

解：首先进行分解

傅里叶变换对：均方值：3.4功率谱密度与互功率谱密度例3.10正弦信号的功率谱解：

正的实偶函数，信号的功率全部集中在频率ω0

相关函数功率谱3.4功率谱密度与互功率谱密度性质1:

功率谱总是正的实偶函数鉴于偶函数特点，应用中经常使用单边功率谱：

3.4功率谱密度与互功率谱密度定义：联合平稳信号互功率谱密度为互相关函数的傅里叶变换

性质2

互功率谱具有对称性a.两种互功率谱的实部相同，而虚部反号

;b.实信号的互相关函数为实函数，互功率谱的实部都是偶函数，虚部都是奇函数。物理意义：如果SXY(ω)很大，表明相应频率分量关联度很高；如果SXY(ω)=0，表明相应频率无关联。3.4功率谱密度与互功率谱密度解：首先通过傅里叶变换可得例3.11讨论(加性)单频干扰：X(t)受到加性的独立正弦分量Z(t)=Acos(ω0t+Θ)的干扰(Θ是在[0,2π)上均匀分布)从Y(t)的功率谱中可以清楚的看到干扰成分ω03.4功率谱密度与互功率谱密度例3.12设随机过程X(t)=acos(ω0t+Θ),其中a,ω0

为常数，求X(t)在下列情况下的平均功率。1)Θ是在[0,2)上均匀分布的随机变量；2)Θ是在[0,/2)上均匀分布的随机变量.解：1)X(t)的均值：X(t)的相关函数：X(t)广义平稳X(t)的平均功率：3.4功率谱密度与互功率谱密度2)X(t)的均值：平均功率：X(t)非平稳信号3.4功率谱密度与互功率谱密度例3.13如图所示X(t)是平稳过程，过程Y(t)=X(t)+X(t+T)也是平稳的，求Y(t)的功率谱。解：TX(t)Y(t)输出信号Y(t)的相关函数：Y(t)的功率谱函数：3.5白噪声与热噪声定义：若广义平稳信号，恒有：或任意非白色噪声为有色噪声(Colorednoise)，简称色噪。则称它是(平稳)白噪声信号(Whitenoisesignal)，简称白噪声或白信号。白噪声色噪声白噪声的相关系数：3.5白噪声与热噪声白噪声有时也通俗地称为“纯随机的”：1)无限带宽的理想随机信号；2)功率(即方差)为无穷大；3)而不同时刻上彼此不相关。如果平稳随机序列，对于所有的m恒有相关系数：或白噪声序列

若白噪声的每个随机变量都服从高斯分布，则称它为高斯白噪声(WGN,WhiteGaussiannoise)。

高斯白噪声是无关信号，也是独立信号，高斯白噪声是极其理想的，它代表随机性的一种极限。3.5白噪声与热噪声工程上的电阻热噪声(ThermalNoise),很接近于理想的白噪声。

当温度高于绝对零度时，实际电阻中的自由电子呈现出随机骚动，在电阻的两端形成噪声电压。阻值为R的有噪电阻器可以表征为如下的两种等效电路。其中R为理想的无噪电阻。Vn(t)与In(t)为随机的噪声电压源与电流源。有噪电阻器的等效电路对于等效电压源的等效形式：随机电压源Vn(t)均值为0，单边功率谱3.5白噪声与热噪声在常温下，对于高达1000GHz的频率对于等效电流源的等效形式：In(t)的单边功率谱1000GHz的频率包含了几乎所有的使用频率，因此电阻的热噪声被视为理想的白噪声。当等效电路接上阻值为R的负载时，有噪电阻器将输出最大功率，该最大值称为电阻的可用(噪声)功率。根据Gv(ω)的物理含义，电阻器单位带宽的均方噪声电压为。由于负载电阻上分到一半的噪声电压，它单位带宽上的可用(噪声)功率为电阻热噪声单边带可用功率，与电阻器的具体阻值无关3.5白噪声与热噪声