华师一附中2024届高三《导数的应用-零点问题小题》补充作业8 试卷带答案

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)=lnx-x2-ax有两个零点，则实数a的取值范围是()2．已知函数f(x)=e2x-1-e-3exsin(x-1)，则函数y=f(x)的所有零点之和为()3．已知f(x)=x2-(a+2)xex-1+(a+1)e2(x-1)恰有三个不同的零点，则实数a的范围为()4．已知函数f(x)=(a-2)e2x-(a+2)xex+x2有三个零点x1,x2,x3，且x1<x2<x3，则5．已知函数f(x)=x-sinx，g(x)=〈(xx+12,x<0，若关于x的方程f(g(与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是()7．已知函数f(x)=(x-3)ex，若经过点(0,a)且与曲线y=f(x)相切的直线有三条，则()8．已知a＞0，函数f(x)=2eax-x，若函数F(x)=f(f(x))-x，恰有两个零点，则实数a的取值范围是()10．若关于x的方程x2+aexlnx+(elnx)2=0(a=R)有两个不相等的实数根，则a的取值范C．(-2,2)D．[-2,2]yA．ln(x-y)<0则实数k的取值范围是()13．已知a>1，x1，x2，x3均为ax=223|lex-2（i=1,2则实数k的取值范围是()「11)2,2e)|B「11)f(x)=ax2-2ln2(2x)+(2-ax2)ln(2x)有三个零点x1,x2,x3，x1<x2<x3，且x123=3，则a的取值范围是()17．已知函数f(x)=lnx+x2-1，若存在x0E[1,e]，使得ff(x0)-b=x0+b，则实数b的取值范围是()A．-1,e2B．0,e2-eC．-1,e2-eD．0,e218．已知函数f(x)=lnx-ax3(a>0)，若存在m，nE[e，3e]，且m-ne，使得f(m)=f(n)，则实数a的取值范围是()19．已知函数f(x)=xln(lnx)-xln(kx)-lnx恒有零点，则实数k的取值范围是()-1-,D．0,e-1-20．已知函数，f(x)=sinx--x下列结论正确的个数是()①曲线y=f(x)上存在垂直于y轴的切线；②函数f(x)有四个零点；③函数f(x)有三个极值点；④方程f(f(x))=0有四个根.21．设函数f(x)=ax(a>1)，对任意实数b>2e2（e为自然对数的底数关于x的方程f(x)=bx-e2恒有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()22,)二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)22．已知函数f(x)=(ax+lnx)(x-lnx)-x2恰有三个零点x1,x2,x3(x1<x2<x3)，则下列结论中正确的是()2223．已知函数f(x)=2-1,g(x)=log2x，若方程|f(x)-g(x)|=f(x)+g(x)-ax有且只有三B．x2=2C．x3E(2,4)2324．已知a为常数，函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2)，则()B．f(x2)>-C. xD. xf(x)x25．函数f(x)满足a>0,b>0，函数gf(x)xe的一个零点也是其本身的极值点，则f(x)可能的表达式有()27．已知函数f(x)=x2ex+4则下列说法正确的是(3C．x2ex=x3ex三、填空题B.ex+x+41xx28．已知函数y=a2lnx，<N，且M，N关于x轴对称，则a的取值范围是。29．已知函数f(x)=,g(x)=xe一x，若存在x1E(0,+构),x2ER，使得f(x1)=g(x2)=k成立，则下列命题正确的有。②当k>0时，④当k<0时，②当k>0时，④当k<0时，x2k1x1.e的最小值为e31．若函数f(x)=ex一1ex+1+asinπx（xER，e是自然对数的底数，a>0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为。32．若关于x的方程(lnx一ax)lnx=x2有且只有三个不相等的实根，则实数a的取值范围是。2,x2,x,若函数f(x)有四个不同的零点，则实数m的取值范34．已知函数f(x)=x+ex-a，数x0使f(x0)-g(x0)=3成立，则实数a的值为35．已知f(x)=x3-3a2x-6a2+4a(a>0)只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a的取值范围为。36．已知函数f(x)=ln(x),g(x)=，若函数h(x)=g(f(x))+有3个不同的零点3，则f(x1)-3f(x2)+2f(x3)的取值范围是。37．已知函数f(x)=e2x+a-lnx+在定义域内没有零点，则a的取值范围是。38．若函数f(x)=x2ex-ax-alnx有2个零点，则实数a的取值范围是。x，若关于x的方程f(x)=g(x)在区间(0,+构)上恰有四个不同的实数根，则实数λ的取值范围是。40．已知函数f(x)=(2x+1)ex+1+ax（aeR，e是自然对数的底数）.若有且仅有数x1，x2，x3，使得f(x1)<0，f(x2)<0，f(x3)<0，则a的最小值是。答案第1页，共41页参考答案：【分析】令f(x)=0整理可得lnx-x2=ax，即函数g(x)=lnx-x2与直线y=ax有两个交点，结合导数的几何意义运算求解.【详解】函数f(x)=lnx-x2-ax的定义域为(0,+构)，令f(x)=lnx-x2-ax=0，则lnx-x2=ax即函数g(x)=lnx-x2与直线y=ax有两个交点∴g(x)在0,上单调递增，在,+构上单调递减设g(x)=lnx-x2与y=ax的切点坐标为P(x0,lnx0-x02)，切点斜率k=-2x00-x02=ax0则x0若函数g(x)=lnx-x2与直线y=ax有两个交点，则a<-1答案第2页，共41页3sin则ex3sin则ex1xx13sin【点睛】【分析】令fx0，1e,px3sin明这两个函数的图象都关于1,0对称，做出函数图像，结合函数图象即可得出答案.【详解】解：fxe2x1e3exsinx1e1e3sin令fx0，1e3sin令hxex1,px3sinx1，因为hx2ex1hx，px23sinx1px，所以函数hx,px得图象关于1,0对称，因为hxex10，所以函数hx在R上递增，令mxex1x1，则mxex10x1，所以函数mxex1在1,上递增，所以函数hx在1,上增长得速度越来越快，hπ1eπ3px，h1p10，如图，作出函数hx,px的图象，由图可知，函数hx,px的图象有三个交点，设这三个交点依次为x1,x2,x3，答案第3页，共41页则x2所以函数y=f(x)有三个交点x1,x2,x3，且x1+x2+x3=3，即函数y=f(x)的所有零点之和为3.故选：D.【分析】由已知方程f(x)=0有三个不同的根，即方程x-ex-1=0或=a+1有三个不同根，利用导数分析函数g(x)=x-ex-1与h(x)=的性质，由此确定实数a的范围.2(x-1)xx-1e依题意，方程x-(a+1)ex-1=0有两个不xx-1e有两个不同的交点，答案第4页，共41页观察图象可得0a111a0，故选：D.【分析】根据题意可得：()2(a2)a20有三解，令t，由g(x)的图像可得故t最多只有两个解，所以t2(a2)ta20有两解t1,t2，t1t2a2,t1t2a2，t1有一解为x1，t2有两解为x2,x3，代入即可得解.【详解】由f(x)e2x()2(a2)a20，即()2(a2)a20有三解，令t，设g(x)，g(x)，当x(,1),g(x)0，g(x)为增函数，当x(1,),g(x)0，g(x)为减函数，g(x)图像如图所示：故t最多只有两个解，若要()2(a2)a20有三解，则t2(a2)ta20有两解，答案第5页，共41页故=t1有一解为x1，2有两解为x2,x3，32)3t2t2)333【分析】利用导数判断出函数f(x)在R上递增，转化为存在t，使得g(x)=t有两个相异实根，可得答案.【详解】由于f,(x)=1一cosx>0，故函数f(x)在R上递增，又f(g(x))=一m有两个相异实根，所以存在t，使得g(x)=t有两个相异实根，作出函数y=g(x)的图象，如图所示：答案第6页，共41页【分析】由g(x)=f(x)-a(x+2)图象与x轴有3个不同的交点，转化为f(x)与y=a(x+2)有三个交点，画出二者函数图象，求出y=a(x+2)与f(x)恰由两个交点的临界直线的斜率,即可求a的取值范围.【详解】：g(x)=f(x)-a(x+2)图象与x轴有3个不同的交点，常f(x)与y=a(x+2)有三个交点,作出二者函数图象如下图，易知直线y=a(x+2)恒过定点A(-2,0),斜率为a，当直线与f(x)相切时是一种临界状态,设此时切点的坐标为C(x0,y0)，0当直线过点B(2,ln4)时,kAB==, 答案第7页，共41页故选:A.【点睛】方法点睛：本题考查了分段函数图像的画法，考查了函数的零点，一般地，对于函数零点问题，若f(x)解析式可化为f(x)=h(x)一g(x)的形式，则f(x)的零点个数和函数h(x)与g(x)的交点个数相同，找到满足条件的临界状态是这种题型的难点.【分析】设切点为(x0,(x0一3)ex0)，再根据导数的几何意义结合两点间的斜率公式可得x2得a的取值范围.【详解】f,(x)=(x2)ex，设经过点(0,a)且与曲线y=f(x)相切的切点为(x0,(x03)ex0)，则f,(x0)=(x02)ex.又切线经过x2x2203)ex0【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；答案第8页，共41页（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解【分析】转化函数F(x)=f(f(x))一x恰有两个零点为f(x)＝x有两个解，即eax＝x恰有两个lnxlnxxlnx恰有两个解，研究函数g(x)=lnxx的单调性和取值范围，分析即得解因此F(x)＝0，即eaf(x)＝eax，即af(x)＝ax，又a＞0，所以函数F(x)恰有两个零点，即f(x)＝x有两个解，即eax＝x恰有两个解，即a=恰有两个解，令g'(x)＞0，解得0＜x＜e，令g'(x)＜0，解得x＞e，所以g(x)在(0,e)上单调递增，值域为(一构,)，在(e,+构)上单调递减，值域为(0,)，所以a=恰有两个解，ae(0,)【分析】分离参数为k=xlnxx一2x，设f(x)=xlnxx一2x，由导数求得其最小值f(x0)，再利用导数确定4<f(x0)<5，从而可得结论.设f(x)=xlnxx2x，f,(x)= (x1)22，设g(x)=xlnx3，g,(x)=1=x1>0在x>1时恒成立，答案第9页，共41页所以g(x)在(1,+构)上存在唯一零点x0且x0E(4,5)，1<x<x0时，g(x)<0，即f,(x)<0，f(x)递减，x>x0时，g(x)>0，即f,(x)>0，f(x)递增，所以f(x)min=f(x0)=x0lnx0一2x0，又xΦ1时，f(x)Φ+构，xΦ+构时，f(x)Φ+构，所以k=f(x0)=x0lnx0一2x0时，原方程有唯一解.f(5)=<5，f(4)=<5，所以f(x0)<5，,综上，4<f(x0)<5，即kE(4,5).【点睛】本题考查由方程解的个数求参数范围，解题方法是分离参数转化为利用导数求函数的极值，单调性，确定函数的变化趋势，从而得出参数取新函数最小值时，满足题意，然后再引入新函数，利用导数确定最小值的范围，从而得出结论，本题考查了学生的逻辑思维能力，运算求解能力，属于较难题.【分析】首先判断x=1不是方程的根，再方程两边同除以(elnx)2，即可得到2答案第10页，共41页象，令t=f(x)，设方程t2+at+1=0的两根分别为t1、t2，对Δ分类讨论，结合函数图象即可得解；x2函数f(x)的图象如下所示：令t=f(x)，设方程t2+at+1=0的两根分别为t1、t2，Δ=a2-4，2有一个解，符合题意，答案第11页，共41页22由图可得f(x)=t1无解，f(x)=t2有两个解，符合题意，【分析】利用y>siny可得x+lnx<ey+y，再利用同构可判断x,ey的大小关系，从而可得正确的选项.故f(x)在(0,+构)上为增函数，故f(x)>f(0)=0，所以C成立，D错误.ye+1故y<e+1即yx<1，此时ln(yx)<0，故B错误. 12 12故x>2，此时xy>1，此时ln(xy)>0，故A错误，【点睛】思路点睛：多元方程隐含的不等式关系，往往需要把方程放缩为不等式，再根据函数的单调性来判断，注意利用同构来构建新函数.的图象有四个交点，作出两个函数的图象，结合图象，即可求解.【详解】当x>0时，fI(x)=lnx，答案第12页，共41页当0x1时，fx0，当x1时，f¢(x)>0，所以当x0时，fx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增.又当x0时，fxfx1，所以根据周期为1可得x0时fx的图象，故fx的图象如图所示：将方程2fxkx10，转化为方程f(x)x有四个不同的实根，令gxx，其图象恒过0,，因为fx与gx的图象有四个不同的交点，所以kCEkDE或kBEkAE，故kCE，kDE，kBE，kAE，所以或，即k1或k，【点睛】方法点拨：把方程2fxkx10有四个不同的实根，转化为函数yfx和gxx的图象有四个交点，结合图象，列出相应的不等关系式是解答的关键.【分析】A选项：根据“三个等价”，将方程根的问题转化成构造出的函数零点的问题，利用零点存在性定理确定出x1的取值情况；B，C，D选项：对方程变形，参变分离构造函数，从函数的角度以及利用极值点偏移可以得出相应结论，详细过程见解析.答案第13页，共41页【详解】对于A，令f(x)=ax一x2，因为a>1，所以f(x)在(一构,0)上单调递增，与x轴有唯一交点，,故A错误.,,故A错误.,2对于B，C，D，当x>0时，2lnxx如图所示，22lnx与g(xlnxx的图象有两个交点，2e由极值点偏移知识，此时函数g(x)的极值点左移，则有>e，故D错误.【分析】由题意，可知n为方程f(x)=kx的解的个数，判断f(x)的单调性，作出y=f(x)与y=kx的函数图象，根据图象交点个数即可求解.【详解】解：设f(x1)f(x2)f(xn)x=k，则方程=k有n个根，即f(x)答案第14页，共41页ex-2(-x2+8x-12),x>2所以f(x)在(1,)上单调递增，在(，2)上单调递减，且f()当x>2时，f'(x)=ex-2作出f(x)与y=kx的大致函数图象，如图所示：由图象可知f(x)=kx的交点个数可能为1，2，3，4，故选：D.【分析】转化为方程有两解，由导数求解【详解】kx2=lnx，得k=，由题意得该方程在,e上有两解，令h(x)=,h'(x)=，令h'(x)=0，得x=，当x=[,)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，而h()=-e2，h()=，h(e)=>-e2，则实数k的取值范围是,答案第15页，共41页【分析】由题意可知f(x)=(1-ln2e2e22233【详解】∵f(x)=ax2-ax2ln2x+2ln2x-2ln22x=ax2(1-ln2x)+2ln2x(1-ln2x)∴1-ln2x=0①或ax2+2ln2x=0②.2ln2xx2(1-2ln2x)2ln2xx2(1-2ln2x)3x ex=.2(1)()答案第16页，共41页(1)e()(1)e()3，∴x1e,，则[x1]＝0，(|l故选：B.x22ln4>9>9【点睛】本题主要考查了导函数在函数零点中的应用，关键是因式分解求出已知的零点，然后参变分离构造新函数，将零点问题转化为函数图像交点问题求解.【分析】把条件ff(x0)-b=x0+b转化成f(x)上存在两点P(x0,y0)，Q(y0-b,x0+b)是本题的一个亮点，构造新函数在导数中可以简化运算，是一个常见方法.1,e]上单调递增.令y0=f(x0)，则f(x)上存在两点P(x0,y0)，Q(y0-b,x0+b),则P(x0,y0)，Q(y0-b,x0+b)关因为函数f(x)与直线y=x+b在[1,e]上均单调递增，所以对称点P，Q重合且落在直线y=x+b上，m'(x)2答案第17页，共41页2e【分析】求出函数导数，根据题意可判断f(x)在(e,33)上单调递增，在(33，3)上单调递减，则可根据函数值大小得出答案.xx由a>0，mne时有f(m)=f(n)成立，则f(x)需在(e,33)上单调递增，在(33，3)上单调递减，：f(e)=1ae3，f(2e)=ln2+18ae3，f(3e)=ln3+127ae3，当f(3e)f(e)时，只需f(2e)f(3e)，3ln3当f(3e)<f(e)时，只需f(2e)f(e)，33，解得a，:a的取值范围为[lnn2,]. tet【分析】函数有零点转化为方程恒有解，换元后化为方程lnt一t一g(t)=lntt(t>0)，利用导数求出函数的最大值，即可求解 tet【详解】令f(x)=0得：xln(lnx)xln(kx)lnx=0，t，答案第18页，共41页令g(t)=lnt-t-(t>0)，:t=1时，g(t)max=g(1)=-1-，:lnk<-1-时方程恒有根，-1-【分析】利用导数判断函数的单调性，结合函数的图像进而可判断函数的零点、极值.【详解】由f(x)=sinx--x，2x得f'(x)=cos2xπ所以f(x)在(-构,-π),-,0上递增，在-π,-,(0,+构)上递减，而f-=-1+<0,f(0)=0，所以由零点存在性定理可知，f(x)只有两个零点，分别为-π和0，函数图像如图所示答案第19页，共41页与与g(t)=所以①③正确，②错误，方程f(f(x))=0可转化为f(x)=0或f(x)=一π,由图像可知f(x)=0有两个根，f(x)=一π也有两个根，所以方程f(f(x))=0有四个根，所以④正确，正确结论的个数是3，的交点，求导分析单调性、极值、边界，即得解t2e+et有两个不同【详解】方程f(x)=bx一e2有两个不同的实数根2=0有两个不同的实数根.2记g(t)=，2答案第20页，共41页所以当te(0,2)时，h(t)<0，当t则g(t)在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,+构)上单调递增，且当t趋近于0时，g(t)趋近于+构，2，即实数a的取值范围(1,e222．BCDlnx【分析】令tlnxxlnx而得出参数a的范围，设函数h(xlnxx1，从而可判断选项C;由对数均值不等式可判断选项D.lnxxlnlnxxlnx则t=x <在(0,e)上单调递增，在(e, <xe答案第21页，共41页1=1=<t2由题意即方程(ax+lnx)(x-lnx)=x2有三个实数根,即a+=有三个实数根11-t11-t有两个实数根，即转化为t2+(a-1)t+1-a=0（*）必有一个实根t1,t2(t1<t2)判别式Δ=(a-1)2-4(1-a)>0，有a<-3或a>1，两根情况讨论如下：=-<0不符合题意，故舍去②当t12lnx考虑函数h(x)=lnx考虑函数h(x)=x记切线l与y=t1,y=t2的交点的横坐标分别为x,x，则222x,1x=11-a1-a-a22x+x=3-a，故选项C正确23x-x23lnx2-lnx3x+x即x2即x232t2答案第22页，共41页确故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数零点问题，考查复合方程的根的问题.解得lnx本题的关键是先令lnxx,先研究出其性质大致图像，然后将问题转化为t2+(a-1)t+1-a=0]和0,上各有一个实根t1,t2(t1<t2)，从而使得问题得以解决，属于难题.23．ABD【分析】根据f(x),g(x)的图像将方程|f(x)-g(x)|=f(x)+g(x)-ax转化为两个函数的交点问题，通过函数图像判断A，C，D的正误，利用导数的几何意义可求出x2的值，进而判断B的正误.作出f(x),g(x)的图像，如图一所示， 12由方程|f(x)-g(x)|=f(x)+g(x)-ax 12[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|]=x，则有x)+g(x)-f(x)+g(x)]=x，即g(x)=x，则有x)+g(x)+f(x)-g(x)]=x，即f(x)=x，则有x)+g(x)-f(x)+g(x)]=x，即g(x)=x，设h(x)=x)+g(x)-|f(x)-g(x)|]，aa因为直线y=2x绕坐标系原点旋转，当直线y=2x与f(x)=22aa直线y=x与h(x)有三个交点，a2如果直线y=x继续逆时针旋转，a2所以直线y=x与h(x)有两个个交点，ax综上，当且仅当直线y=2x与f(x)=22ax直线y=x与h(x)有三个交点，所以x1e(0,2)，x2e(2,4)，x3e(4,+如)，故A正确答案第23页，共41页答案第24页，共41页(x21)（),解得x23，故D正确，故选：ABD.2，得到f(x)在(0,x1)上单调递减，1，利用对数平>a均不等式得到x1>a【详解】由题意得f,(x)=,12，即可证明出lnx2ax+1，且定义域为(0,因为f(x)两个极值点，即h(x)在(0,+构)有两根，因为h(x)在(0,+构)有两根，1<2a因为h(x)在(0,+构)有两根为x1,x2<2a2，2，从h(x)的正负可知f(x)在(0,x1)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增，)上单调递减，所以f(x1)<f(1)<f(x2)，因为f(1)=a，答案第25页，共41页2根据对数平均不等式xx.x<xlnx1lnx2< x 2得xx.x<1 <2a x 21 <21 <2a 22xx.x2.x2所以C错误，D正确；故选：BD.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值（3）利用导数求参数的取值范围.25．ABC【分析】在g(x)可导时，探讨g(x)的零点、极值点满足的关系，再分析推理、计算判断选【详解】依题意，g(x)=0常f(x)=0，如果g(x)可导，则gI(x)=fI(x)f(x)，令t是g(x)的一个零点，也是g(x)的极值点，则有fI(t)=f(t)=0，a(xlnx)，点，且g(e)=0，A满足；答案第26页，共41页a22a22a22cos(ta22sin(ta22cos(ta22sin(t因此，x=t是g(x)的极值点，且g(t)=0，B满足；bx=一a,<aexxebx=一a对于D，f(x)=ax3一b+1在R上可导，f,(x)=3ax2，由f,(t)=f(t)=0得：点，D不满足.故选：ABC【点睛】结论点睛：可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f,(x0)=0，且在x0左侧与右侧f,(x)的符号不同.26．ACD【分析】数形结合，将问题转化为判断直线与曲线交点个数答案第27页，共41页【详解】所以所以，x=2是函数g(x)的拐点如图所示，ACD正确，B错误故选：ACD27．ACD【分析】将函数零点问题转变为方程x2ex+4++mx=0的根的问题，构造函数t=xex，利 用导数作出其大致图象，问题转换为e4t2+tm+1=0存在两根t1，t2的问题，结合图象可判 断A;利用图象结合方程可得x1ex.x4ex<，由此判断B；根据图象结合方程可直接判断C;利用t1=x1ex=x4ex，t2=x2ex=x3ex，可得x1ex.x2ex.x3ex.x4ex=，进而判断D.答案第28页，共41页4t2+tm令y'=0得x=1，故y=xex在区间(构,1)上单调递减，在区间(1,+构)上当xΦ构时，t=xexΦ0，如图所示.根据题意知e4t2+tm+1=0存在两根t1，t2，不妨设t1>t2，ex4ex，t2 e2ex=x3ex，则由图象可知1<x3<0，故A正确；2t22，结合以上分析可知t2=x2ex=x3ex，故C正确；ex4ex，t2=x2ex=x3ex，得x1ex.x2ex.x3ex.x4ex故选：ACD.1t22=，【点睛】本题考查了零点问题，解答时涉及到方程的根与图象的交点问题，要用导数判断函数的单调性，进而作出函数大致图象，数形结合，综合性较强.答案第29页，共41页象有交点，再转化成-x2-1=a-2lnx有解，再转化成g(x)=-x2-1-a+2lnx与x轴有交点，最后利用导数分析单调性求解即可.【详解】由题意知存在M,N关于x轴对称，即-x2-1=a-2lnx方程在<x<e上有解，e设g(x)=-x2-1-a+2lnx，即g(x)与x轴有交点，所以g(x)E-=2+1-a,-2-a，故答案为：-e2+1,-2.29.①③④【分析】根据f,(x)可求得f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+构)上单调递减，则可画出f(x)的图像；利用同构可知f(x1)=g(x2)=k等价于==k，结合图像则可判断①②③;当k<0时，可得x1=ex，x1E(0,1)，构造函数可判断④.【详解】解：①f,(x)=(x>0)，令f,(x)>0得0<x<e，f(x)在(0,e)上递增，且值域(-构,)；令f,(x)<0得x>e，f(x)在(e,+构)上递减，且值域(0,)；作图如下：)，使得f(x1)=k，则x1>1，x，作出g(x)图象如下：2eR使得g(x2)=k，则x2>0，2∴x1,ex可看成=k的两零点，作出y=的图象如下：由图象易知：x1或ex均可趋向于+构，故②错误；x2<1．故③正确；k，答案第30页，共41页答案第31页，共41页∴要求.ek的最小值即求kek的最小值即可，正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：同构找到x1=ex，通过f(x)与g(x)的图象及性质判断求解，在处理④时，要注意消元思想的运用.在定义域内对任意的x恒成立，结合函数的单调性和零点，得出一是函数y=ax一lnx的零点，即可求解.故是函数y=axlnx的零点，故答案为：e【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把不等式恒成立问题转化为函数的性质和函数的零点问题是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.(21(21+asinπx存在唯一的零点等价于函数Ψ(x)=asinπx与函数1xex1的图像只有一个交点.∵Ψ(1)=0，g(1)=0，∴函数Ψ(x)=asinπx与函数1-x-ex-1的图像的唯一交点为(1,0)．对g(x)求导，可得g(x)的单调性及斜率范围，又Ψ(x)是最小正周期为2．最大值为a的正弦型函数，画出草图，比较g(x)与Ψ(x)在x=1处斜率即可.【详解】函数f(x)=ex-1-e-x+1+asinπx（xER，e是自然对数的底数，a>0）存在唯一的零点等价于函数Ψ(x)=asinπx与函数g(x)=e1-x-ex-1的图像只有一个交点.∴函数Ψ(x)=asinπx与函数g(x)=e1-x-ex-1的图像的唯一交点为(1,0).∴g'(x)=-e1-x-ex-1在R上恒小于零，即g(x)=e1-x-ex-1在R上为单调递减函数.1时等号成立，且Ψ(x)=asinπx(a>0)是最小正周期为2．最大值为a的正弦型函数，∴可得函数Ψ(x)=asinπx与函数g(x)=e1-x-ex-1的大致图像如图所示.:Ψ'(1)=πacosπ=-πa对：a>0，∴实数a的取值范围为0,|.【点睛】本题由函数的零点入手，转化成求两个已知函数交点的问题，并利用导函数判断函数的单调性，结合题意，画出g(x)与Ψ(x)的图像，并根据斜率的大小，进行求解，考查整理化简，计算求值，分析作图的能力，属难题.答案第32页，共41页答案第33页，共41页(1)(1)【分析】可知x=1不满足方程(lnx-ax)lnx=x2，将方程(lnx-ax)lnx=x2变形为a= lnxx xlnx,令t=lnxx，y=t-，利用导数分析函数tlnxx的单调性与极值，作出函数lnx的两根分别满足0<t12<0，数形结合可得出实数a的取值范围.【详解】显然x=1不满足方程(lnx-ax)lnx=x2；lnx-xxlnx,lnx对函数tlnxxxe++0 t单调递增单调递增极大值单调递减在x=e处取得极大值，即t极大值=，如下图所示：由于关于x的方程(lnx-ax)lnx=x2有且只有三个不相等的实根，则关于t的方程a=t-要有两个根t1、t2，且0<t12答案第34页，共41页1. -e.e综上所述，实数a的取值范围是-构,-e.故答案为：-构,-e.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，将问题转化复合函数的零点个数问题是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.【分析】根据函数f(x)有四个不同的零点，转化为直线y=-与g(x)=x2ex(x<0)的图象有两个交点，直线y=-m与h(x)=(x>0)的图象有两个交点，结合导数求得g(x),h(x)的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，令f(x)=0，可得当x<0时，m设g(x)=x2ex,x<0，则g'(x)=x(x+2)ex，xe2x所以函数g(x)在(-构,-2)上递增，在(-2,0)上递减，g(x)的最大值为g(-2)=4e-2，所以函数h(x)在(0,2)上递减，且当xΦ0时，g(x)Φ0，xΦ-构时，g(x)Φ0.3ex(x-3x在(2,+构)上递增，则h(x)的最小值为g因为函数f(x)有四个不同的零点，所以直线y=-与函数g(x)=x2ex(x<0)的图象有两个交点，直线y=-m与函数h(x)=(x>0)的图象有两个交点，答案第35页，共41页【点评】本题主要考查利用导数解决函数零点问题，涉及到函数的零点与两函数图象的交点之间的转化，属于较难题.>4的最值根据等号成立的条件求解参数的取值.xaaxln(xax有解，exaaxax【点睛】此题考查根据方程有根转化为函数有零点求解参数的取值范围，关键在于准确构造函数，利用函数单调性和基本不等式求解最值.【分析】对函数y=f(x)求导，并求出极值点，列表分析函数y=f(x)的单调性与极值情况，由题意得出f(x)极大值=f(一a)<0，由此可解出实数a的取值范围.答案第36页，共41页xaaf,(x)+0一0+f(x)极大值极小值由于函数y=f(x)只有一个零点，且该零点为正数，