数学-长郡中学2023-2024学年高二上学期1月期末试题和答案

数学命题人：张志忠、赵攀峰、谭泽阳、叶勇胜审题人：张志忠得分：本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。第I卷-、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若一条直线经过两点(1,0)和(2，)，则该直线的倾斜角为A.B.CD A.B.CD6332.已知向量a＝(m,0，1)，b＝(104)，且a/b则实数m=A.2B.4C2D.43.重阳节，农历九月初九,二九相重，谐音是"久"，有长久之意，是我国民间的传统节日.人们常在此日感恩敬老.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是A.35B.40C.50D.704.曲线f()=lnx在x＝l处的切线方程为AY=22BY＝2n2C.y=x1D.y=x＋15·设θ不不随机变量的分布列如表所示则E()23P222A.有最大值22C·有最大值无最小值9744B.有最大值9744D·无最大值有最小值数学试题(长郡版)第1页(共8页)6.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了高阶等差数列的概念.如数列1，3，6，10，后前两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为"垛积术".现有二阶等差数列，其前7项分别为3,4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为A.174B.184C.188D.1907.从某个角度观察篮球(如图1)可以得到一个对称的平面图形(如图2)，篮球的外轮廓为圆。，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆。的交点将圆的周长八等分，且|AB=BC=ICD，则该双曲线的离心率为A·BCD·28.已知函数f()=e(244)+1e(2+4)w=2是f()的唯一2极小值点，则实数k的取值范围为A.[e2，十∞)B.[e3，十∞)C.[e2，十∞)D.[e3,十∞)二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分)9.(x)的展开式中，下列结论正确的是A.展开式共6项B.常数项为2。C.所有项的二项式系数之和为64D.所有项的系数之和为。10.设公差小于。的数列{an}的前n项和为sn，若s10＝S15，则A.a15=0B·la10|＞la15C.S25=0D.当且仅当n=13时，S取最大值数学试题(长郡版)第2页(共8页)11已知函数f(x)＝332十4，则A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.f(x)在[1，4]上的值域为[0，20]D.点(1，2)是曲线y=f()的对称中心12已知P为双曲线C：y2=1上的动点过点P作两渐近线的垂线垂足分别为A、B，记线段PA，PB的长分别为m、，则A.若PA，PB的斜率分别为K1k2，则k1k2＝3BWn>2C·4m＋n的最小值为入DAB的最小值为选择题答题卡题号23457答案题号8912得分答案第Ⅱ卷三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知数列{a满足：a+1=2an(N*)，其前n项和为s，若S7=127，则a1=14已知函数f()满足f()=f()sinCos则f()=15.已知。为坐标原点，抛物线C：y2＝2(＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为轴上一点，且PQLOP若IFQl＝6，则C的准线方程为·16.已知点P为直线lY2＝0上的动点，过点P作圆C2＋2＋y2＝0的切线PAPB切点为A,B,当IpCAB最小时，直线AB数学试题(长郡版)第3页(共8页)四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知数列{αn}满足a1＝2，a+1＝3a—6(1)记bn＝a3，证明：b}是等比数列，并求{bh}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和T·18.(本小题满分12分)已知线段AB的端点B的坐标是(6,5)，端点A在圆C1:(4)2十(y3)2=4上运动·(1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程；(2)设圆C1与轨迹C2的交点为M、N，求线段MN的长数学试题(长郡版)第4页(共8页)19(本小题满分12分)某中学心理学社团在研究活动中，采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1,B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X).数学试题(长郡版)第5页(共8页)20.(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，ABCD,ABBCAB＝2CD，O为BD的中点,BD＝4,PB＝PC=PD=、·(1)证明：OP⊥平面ABCD；(2)若BC=CD，求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值·数学试题(长郡版)第6页(共8页)21(本小题满分12分)已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝loga-e(1)若a=e且[e求函数f()的最值；e(2)若函数f()有两个零点，求实数a的取值范围·数学试题(长郡版)第7页(共8页)22.(本小题满分12分)已知中心在原点，长轴在轴上的椭圆C的左右顶点分别为E(3,0)和D(3,0)，P为椭圆上的除左右顶点外的任一点，且PD,PE斜率之3乘积为1·3(1)求椭圆C的方程；(2)过D分别作两条直线与椭圆C交于点A，点B.线段DA的中点为M，线段DB的中点为N，若。MLON，求证：直线AB过定点·数学试题(长郡版)第8页(共8页)数学参考答案题号234578912答案BDCCBADBCDBCACDABD-、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.B解析】因为一条直线经过两点(1，0)(23)所以该直线的斜率为21=3则有该直线的倾斜角满足tanα=3，因为α。不)所以α=故选B·2.D【解析】因为a/b,所以存在唯一实数入，使得a=入b，4(m=入，(m=4则0=0，解得故选D1=4入·入=43.C【解析】六名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组2人另一组4人或每组3人，所以不同的分配方案为：C26A22＋C36=50.故选C4.C【解析】：f()=lnr＋1…f(1)=1，又f(1)=0切线过点(1，0)，在点=1处曲线f()的切线方程为y=1.故选C[13]63224'4θ[]CO[13]63224'46.A【解析】设此数列为{an},则a1=3，a2a1=l，a3a2＝2，……anan1＝n1(n≥2)，所以an＝(anan1)＋(an1a2)十…＋(a2a1)＋a1=(1)+(2)+++3=+3=+3设圆。与双曲线在第一象限内的交点为E,连接DE、OE，则|OE=|ODI=IOCI+ICD=3oC=3α，故点E22(3故点E22a2b2a27a2b2a27将点E的坐标代入双曲线的方程可得=1所以=，所以该双曲线的离率为===入1+=47故选c2f()=e(244+24)＋k·(2+4)=(2)[e(x4)＋k]，2=2是f()的唯一极小值点，e(4)十k≥0恒成立，即k≤e(4)恒成立·令g()=e(4)，则g()=e(3).当＜3时，g(x)＜0，g()单调递减；当>3时，g(x)＞0，g()单调递增…g()min=g(3)＝e3，k≤e3，即k≥e3·故选D数学试题参考答案(长郡版)-1二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分)9.BCD【解析】对于A展开式有7项，故A错误；对于B常数项为C33(3=20故B正确；对于C,所有项的二项式系数和为25＝64，故C正确；对于D，令r=1，得所有项的系数和为(11)6＝0，故D正确；故选BCD10.BC【解析】选项A，a1＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，5a13＝0，即a13＝0，a15≠0，故A错误；选项B，公差d<0，等差数列{an}为单调递减数列，又a15＋a0=a12＋a13＞0，a10＞a15，即la10|>la15，故B正确；=(a1+a25)×252选项C，S25＝25a13＝=(a1+a25)×252选项D，等差数列{a}为递减数列，a13＝0，a1＞0，a2＞0，……，a12＞0，a13＝0，a14<0，S最大值为S12或S13故D错误·故选BC11.ACD【解析】对于A，f()=326x,令f(x)＝0可得r=0或2.当x＜0时，f()＞0函数f()单调递增，当。＜x＜2时f()＜0函数f()单调递减，当>2时，f(x)＞0,函数f()单调递增所以。是f()的极大值点，2是f(x)的极小值点，所以f()有两个极值点，故A正确；对于B,f(0)＝4f(2)＝0，根据图象,f()只有2个零点，故B错误；对于c,由于f()在[1，0]递增，在[0,2]递减，在[24]递增，且f(1)=f(2)=0，f(0)＝4f(4)＝20,所以f(x)在[1，4]上的值域为[0,20]，故C正确；对于D验证f()+f(2)＝4f()十f(2)=332＋4＋(2)33(2)2＋4=4，成立，故D正确故选ACD.l由题设条件，知双曲线C的两条渐近线为1y=3，2y=`3设直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，则k=3k2=所以k1·k2＝3，故A正确；由|PA|=mPB=n=0由|PA|=mPB=n==×y2=＞故B正确； 4w十≥2=4×2=23，当且仅当4=M=时等号成立，故C不正确； 在四边形AOBP中易知4APB=120AB1=PA2PB22PAPBCB=02+22()=当且仅当==2时等号成立故D正确故选ABD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13畅1【解析】依题意：数列{an}为等比数列，且公比为q=2，由S7==127a=127得α1=l故答案为：114.2+1【解析因为f()=f()sinC所以f()=f()Coin所以f()=f()C+in4解得f()=+故答案为：十l数学试题参考答案(长郡版)23pp→22215=解析不妨设P(p)Q(6+0)PQ=(6)·3pp→22216畅33y＋1=0【解析】：圆C：2＋2y2＝0可化为(x十1)2十2=1，C(1,0),r＝1PA，PB是圆C的两条切线，则PA⊥AC，PB⊥BC，A、P、B、C四点共圆，且ABCP,PA=PB，PCAB=4S△PAC=4×2×|PA×IAC|=2PA，PAl=PC，当|PC最小，即PC⊥l时，PCAB取得最小值，此时Pc方程为y=x十1，y=+113(13)+y2y=+113(13)+y2=0222，213)13)即+2+y2y圆C：2＋2＋y2＝0，两圆相交，两圆方程相减即为AB的方程3＋3Y＋1=0.故答案为：33y十1=0.四、解答题(本大题共6小题，共70分·解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.【解析】(1)由b=a3得b+1=an+13,又an+1＝3an6==3,且b1＝a13＝1，b+1==3,且b1＝a13＝1，ba3a3a3所以{b}是等比数列，b=31.…………………5分(2)由(1)得b=an3＝3"1，得an＝33"1，2n113"3"1所以T=(3+3+…3)(1+33+…3)=312n113"3"13"122即T=＋31＋·……………………………102218.【解析】(1)设点P的坐标为(y)，点A的坐标为(0,yo)，=xo十6=yo+522由于点B的坐标为(6,5)且点P是线段AB=xo十6=yo+5220=2-0=2-6，yo＝2y5，因为点A在圆C1：(4)2＋(y3)2=4上运动，即：(.04)2＋(yo3)2=4②把①代入②，得(264)2＋(2y53)2=4，整理，得(5)2十(y4)2=1，所以点P的轨迹C2的方程为(5)2十(Y4)2＝1……………6分(2)将圆C1：(r4)2＋(y3)2=4与圆C2：(5)2＋(y4)2=1的方程相减得：2＋2y19＝0，………………………8分由圆C2：(5)2十(y4)2=1的圆心为(54)半径为1，|10+819=且(54)到直线2+2y19＝0|10+819=则MN=2/11=·12分数学试题参考答案(长郡版)319.【解析】(1)接受甲种心心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为MC51018则P()==…………………C51018(2)由题意知X的取值为。,12，3，4.P(X=0)==·P(X=1)==P(X=2)==P(X3)P(X=4)=故X的分布列为X234P425212152142E(X)=0+1×+2×+3×+4×=21220.【解析】(1)证明：如图，连接。C，在Rt△BCD中，由BD＝4，可得。C＝2，PB＝PDOB＝OD＝2，oPBD,OP=PB2=4=1oP=1，OC=2PC=则PC2=OP2OC2，故。PLOCoP⊥BD,BDOC=0，BD，OCC平面ABCD.oP平面ABCD.…………………6分(2)解：由(1)及BC=CD可知，OC，OB，OP两两垂直，以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则。(0,0，0),B(2，0，0)D(2，0，0)，C(0，2,0)P(0,0，1)，.DC＝(2，2,0)，AB＝2DC＝(4，4，0)，则A(2，4,0)，又BC＝(2，2,0)，BP＝(2，0，1),设平面PBC的法向量为m=(，y，)，(mBC＝2＋2y=0则→mBP＝2十=0，令=1，则y＝1，=2，故m＝(1,1，2)，设平面PAD的法向量为n＝(a，b,C)，DP＝(2，0，1)，AD＝(0,4，0)，(nDP＝2a＋c=0，则→n·AD=4b=0，令a＝1，则b＝0，c＝2，故n=(1，0，2)，lm·n330lm·n330 故平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值为入………………………12分21.【解析】(1)当a=e时，函数f(x)＝logr=ln，故f()=1=当(1,＋∞)时，f()＜0，故y=f()在(1＋∞)单调递减，当(01)时，f(x)＞0，故y=f()在(0，1)单调递增，数学试题参考答案(长郡版)4所以f(x)mx＝f(1)＝-1,又因为f(e)=1ef()=1e所以f()min=f(e)＝1e…………………………6分所以方程1n=lha有两个不同的解即为函数y=ln的图象与函数y=lna的图象有两个不同的交点令g(x)=ln故g()=当(e,＋∞)时，g()＜0，故y=g()在(e,＋∞)单调递减当(0,e)时，g()＞0，故y=g()在(0,e)单调递增图象如图所示，11-1eln而g(e)所以。＜lna<，所以1a<e,令h()＝11-1eln因为h(1)=lna<0，h(e)=elna＞0所以h()=lnlna在(0e)上有一个零点C又当→+时，g()→0，h()→lna＜0，h(e)=elna＞0所以h()=lnlna在(e+)上有一个零点C所以函数h()有两个零点即当1<a<e-1e时，函数f()有两个零点………12分设p(0,yo)，则yo.0y02y02b21030十302992yo.0y02y02b21030十30299293b2yob