江苏省泰州高三数学考前训练试卷含有答案

高三模拟考试数学试题

(考试时间：12()分钟总分：160分)

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效.

一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相

应答题线上.)

1.己知集合4=(-1,1,2,3},8={》1%€凡》2<3},则4B=▲

兀A

2.函数/(x)=sin(4x+2)的最小正周期为________.

6

3.复数3+i)(l+2i)是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a=▲.

4.某算法的伪代码如图所示，如果输入的x值为32,则输出的y值Readx

If5Then

为▲.

y-%2

5.从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则两个数的和是偶数

Else

的概率为▲.

y-logx

2

EndIf

Printy

第4题图

X2V2

6.若双曲线益一区=1的离心率=2,则该双曲线的渐近线方程

为▲.

7.公差不为。的等差数列{叩的前〃项和为好若名,4，%成等比数列,5^2,则

10

8.将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2口，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁

球，则该大铁球的表面积为▲.

9.若正实数满足％2+2盯一1=0,则2x+y的最小值为▲.

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10.如图，在由5个边长为1,一个顶角为60的菱形组成的图形中，4、△

1*1-.已'知点3£A^是椭^圆c：卷一+卷=1的左焦点和上顶点，若点D豕\/V'

-----A

p是椭圆。上一动点，则△以/周长的最大值为▲.第10题图

12.已知函数/(X)=X3+X+1,若对任意的X,都有/(x2+a)+/(ox)>2,则实数。的

取值范围是▲.

13.在AABC中，若C=120,tanA=3tanB,sinA=A.sin8,则实数A,=▲.

14.若函数fM=g+Q+l)x-师>0)的一个零点为x,则x°的最大值为一

二、解答题：(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

15.(本题满分14分)

己知向量。=(1,加)，b=(2,n).

(1)若加=3,〃=-1,且a_L3+、b),求实数入的值;

(2)若打+4=5,求a包的最大值.

16.(本题满分14分)

如图，在四棱锥尸一钻。中，PC,平面ABC。，AB11CD,CDVAC,过CO

的平面分别与PA,PB交于点E,F.

(1)求证：CD，平面PAC；

(2)求证：AB//EF.

D

A

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17.（本题满分14分）

如图，圆。是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划

在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A,8两点在O

上，A,8,C,。恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A8,C,。四点处安装四

盏照明设备，从圆心。点出发，在地下铺设4条到A,8,。,。四点线路。4,

（1）若正方形边长为10米，求广场的面积;

（2）求铺设的4条线路总长度的最小值.

18.（本题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，过点P（（M）且互相垂直的两条直线分别与

圆。：光2+>2=4交于点48,与圆“：。-2）2+3-1）2=1交于点。,。.

3

（1）若AB=,求CO的长；

（2）若中点为£,求A钻E面积的取值范围.

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19.（本题满分16分）

已知函数/（x）=21nx+x2-ax,＜7GR.

（1）若函数＞=.f（x）在（。,+8）上单调递增，求实数。的取值范围;

（2）若。=,解不等式：＜2;

（3）求证：当。＞4时一，函数y=/（x）只有一个零点.

20.（本题满分16分）

己知数列伍｝的前〃项和为S,且满足S=2a-2；数列g）的前〃项和为T,且

nniinnn

,,,cTb

满足匕=1,b—2,»=«.

i2Tb

n+ln+2

（1）求数列伍｝、2｝的通项公式；

fin

a+/7+1

（2）是否存在正整数〃，使得—-—恰为数列伯｝中的一项？若存在，求所有满足要

a-b7”

nn+1

求的匕;若不存在，说明理由.

n

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2016-2017高三模拟考试

高三数学参考答案

一、填空题

71L1

1.{-1,1};2.万；3.2；4.5；5.—；

6.y=+J3x；7.19；8.8服兀；9.底1().-4；

11.16；12.0<a<4；13.I+，；14.>/2-1.

二、解答题

15.解：⑴当加=3,〃=一1时，a-(1,3),又〃=(2,-1),

a+kb=(1,3)+九(2,—1)=(1+2九,3-孙

若a_L(a+入b),则。・(。+入〃)=0,即(1+2九)+3(3—九)=0,解得九=10.

.........7分

(2)因为。=(1,加)，。=(2,〃)，所以a+。=(3,机+〃)，

因为1a+4=5,所以32+。”+〃)2=52,贝I](m+“)2=16,

所以a•方=lx2+nm<2+—(m+〃)2=2+_xl6=6,

44

故当机=〃=2或帆="=一2时，a•〃的最大值为6..........14分

16.证：(1)因为PCJ■平面ABC。，所以PC1C0,

又因为CD，AC,所以COJ•平面PAC..........7分

(2)因为AB〃CD,ABa平面CDE/，CDu平面CDEF,

所以AB〃平面COM,.........10分

又因为平面PA6平面CDEF=EF,ABa平面CDEF,

所以⑷3〃£：尸.口..........14分

17.解：(1)连接AB,因为正方形边长为10米，

所以。4=。8=A8=10,则乙4。8=不，所以A8=?兀，......2分

B

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所以广场的面积为(―,10——102)+102=—--+100—25y/3(m?)

.....6分

(2)作。G_LCD于G,于KG,记

则AD=2DG=2OK—20sina,.....8分

由余弦定理得。。2=+A。-2。4•AOcosa

1—cos2a

=102+(20sina)2-2xl0x20sinacosa=100+400x——_——-200sin2a

=300-200^/2sin(2a+45)>100(72-1)2,.....12分

A

所以。。210(JT-l),当且仅当a=22.5时取等号，

A

所以QA+OB+OC+00620+20(/—1)=20衣，

因此求4条小路的总长度的最小值为20P米.

答：(1)广场的面积为亭+1()。-25JT平方米；

(2)4条小路的总长度的最小值为20米.........14分

18.解：（1）直线斜率显然存在，设为k,则直线="+1,

I------_2+]_]

由…2]j4攵公2++]3=]3"得％2=15，(―)2=，1-/(,k]：)、2.

Cr>=2jl-_i_=2jl-_l_=V3......6分

V七+1V15+1

(2)当直线AB斜率不存在时，AABE的面积S=；x4x2=4；

当直线AB斜率存在时，设为左，则直线AB：y="+l,显然攵。0,

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直线CD:y=_:

<1得左2>3,8分

k

所以左e(-oo,—JI)(3,+8).

ADJ14*2+2

因为(="+(-7^)2=4,所以AB=2丁_^,

2VTT+1V攵2+1

|2fc-l+l|\2k\

E到直线AB的距离即M到AB的距离，为d=I,I=-.l_X

J-2+1J-2+1

所以虫的面积S=；，d=2jq阜

...........12分

令4+』=/(4<z<5),则S=6七44).

------=6

女2’(—)2

3

综上，A45E面积的取值范围（]道,4]16分

小叫卡@°（4h+3）%2口

说明：求5=2Jr——--氾围还可以:

V（^2+1）2

令上+l=f〉4,5=2卢-孑(=2旧［+4e(|75,4)

2

19.解：（1）函数的定义域为（0,位）,/(x)=21n无+12-ax,/'(x)=—+2X-Q,

x

22。、

由题意，对任意的工＞。，都有了'。）=一+2%一。20只要(一+2幻Na,

xXmin

212

由基本不等式得一+2x22一•2x=4,当且仅当无=1时取等号,

XVX

所以。＜4,即实数〃的取值范围是（-8,4].4分

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.22x2—x+2

(2)当〃=时，f(x)-21nx+%2-x,f(x)=—+2x-=--------------->0,

XX

所以/(x)在(0,+8)上单调递增，

又因为/()=21n+2-・=2,所以/(x)<2o/(x)</(),因此0<元<,

故不等式/(x)<2的解集为(0,)..........9分

“、2c2x2-ax+2小、人/、--

(3)f(x)=—+2x-a=----------------,xG(0,+oo),令g(x)=2x2-ox+2,

XX

当。>4时，因为A=Q2-16>0,所以g(x)=2x2-QX+2一定有两个零点，

设为(x<x),又因为=1,所以0<x<l<x,

12121212

则/(x)在区间(0，x)或(x,+8)上单调递增，在(x,x)上单调递减，......12分

I212

因为g(x)=2x2+2=0,所以/(x)=21nx+x2-ax-21nx-X2-2,

iiiiiiiii

因为0<x<1,所以%)=21nx-x2-2<21nl-x2-2<0,

i।iii

所以/(X)<f(x)<0,

2I

X/(^)=21nx+x(x-a),则/'(a)=21n。>0,

所以/(x)在(0,+°。)上只有一个零点.......16分

说明：事实上，对任意的aeR,函数>=/(x)只有一个零点.

20.解：(1)因为S=2a-2,所以当“22时，S=2a-2,

nnn—ln—\

两式相减得a=2a-2a，即a=2a，又S=2a-2,则a=2,

nnn-\nn-\11I

所以数列｛a｝是以。=2为首项，2为公比的等比数列，故。=2”..........4分

n1n

TbTbTbTbThTb

由k=得-4-=—4-,-2-=-2-,—S-=-3-,,w-l=--w-4-,■«-=—»—

TbTbTbTbTbTb

n+\n+2233445nM+In+\n+2

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Tbb

以上n个式子相乘得-A=_i2-，即2T=0b①，当“22时，2T=bb②,

Tbbnn+1n-1n“一I

nn+1n+2

两式相减得2b=b(b-b)，即〃-b=2(〃N2),...........6分

nnn+1M-1n+1

所以数列协｝的奇数项、偶数项分别成等差数列,

n

Th

又_u=_u,所以〃=T=b+b=3,则〃+/?=2b,

Tb3212I32

23

所以数列g｝是以b=1为首项，1为公差的等差数列，因此数列协｝的通项公式为

nIn

h=n.8分

n

，八TbTT(T、

另法：由已知显然。。0,因为寸=广，所以=则数列

nTbbbbbbb

n+\n+2n〃+ln+1n+2nn+1

是常数列，

TT1

所以7^=什=三，即2T=bb,下同上.

bbbb2〃八〃+i

nn+lI2

Q+/?+1

(2)当〃=1时，一_:—无意义,

a-b

nn+1

Q+/?+l2〃+〃+l

设c=一_?—=-―-~(n^2,neN.),显然C〉1,

na-b2〃一(〃+1)n

nn+1

2〃+i+几+22〃+〃+l—n,2〃+i八

则c—c=---------------------------------=-------------------------------------<0即

，山«2，山—(〃+2)2〃一(〃+1)[2“+1-(〃+2)]・[2“一(〃+1)]

c>c>1,

n«+1

显然2“+〃+1>2，?-(〃+1),所以c=1>c=3>c>>1,

234

所以存在〃=2,使得…,12分

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2，?+〃+1

下面证明不存在c=2,否则。二个,八=2,即2〃=3(〃+1),

〃n2〃—(n+l)

此式右边为3的倍数，而2〃不可能是3的倍数，故该式不成立.

综上,满足要求的匕为外”16分

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附加题参考答案

214.证明：因为CD为圆的切线，弧BC所对的圆周角为/明。

所以/BCD=ABAC（1）

又因为AB为半圆O的直径

所以NACB=90°,

又BD_LCD,所以NCD8=90°=ZAC8（2）

由（1）、（2）得AABCACBP

ABBC

所以==>BC2=BA-BD..........10分

BCBD

0-22x-y=5,

21.8.解：因为“N=，所以

5134-x-y=13.

所以x=4,y=3；5分

_32

1

的逆矩阵MT=，55

矩阵f10分

4_1

.5一5

21.C.解：曲线C的普通方程是=+户=1........................2分

3

直线/的普通方程是x+J）y-s/5=O........................4分

设点M的直角坐标是(6cos0,sin0),则点M到直线/的距离是

|有cos0+6sin0-闽制瓜哪+川6姮+1))+/八

仁2=2-2=2•………10分

21.D证明：因为C/a明+Jb+1)W(“+1+1+1)(12+I2)=6,........8分

所以Ja+l+j6+W卡.10分

法二：分析法，要证而T+历TWx/^,

即证a+1+Jb+1)?W(>/6)2,

即证a+1+2J(a+l)(b+1)+b+1W6,

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即证2j(a+l)(b+l)W3=(a+1)+S+1)

由基本不等式易得。

22.解：连接CE,以EB,EC,E4分别为尤,y,z轴,

建立用图空地直角坐标系、

则AX),0,㈤8(1,0,0),CX),73,0)£>(-1,0,0),

BFa

因为F为线段AB上一动点，且砺"=九，

则所'=九84=九11,0,0)=(—九,0,#九)，所以尸(1一九,0,5).

(1)当九=1时，F(：,0,q),0b=q,0,g),CB=(l,—3,0),

5_

35而

所以cos<DF,CB>=4分

jg)2+(¥)2.J12+(S2

(2)bKP-f,炳，

设平面ACD的一个法向量为〃=(x,y,z)

(x,y,Z).1,0,7T)=0