2023年高考数学一轮复习（全国版文） 第9章 两条直线的位置关系

两条直线的位置关系

【考试要求】1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交

点坐标3掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

佚口识梳理】

1.两条直线的位置关系

平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况.

(1)两条直线平行

对于直线/i：y—k\x+bi，/2：y=k2x+b2>I田k\=ki，且"彳厉.

对于直线/i：Ax+Sy+Ci=O,Z2：A2x+B2y+C2=0,八〃^〜4昆一心台=0,且BG一

&C1W0(或AQ-AzGWO).

(2)两条直线垂直

对于直线/i：y—k\x+b\,h：y—kix-Vbz，Zi±Z2<=>fcrfo=-1.

对于直线/i：力ix+Biy+G=0，/：：A2x+&y+C2=0，/iJ_/2<=>4A2+8IB2=0.

2.三种距离公式

(1)两点间的距离公式

①条件：点PQ,yi),P2(X2,”).

②结论：俨俨2|=。(*2—XlA+Gz—

③特例：点P(X,V)到原点0(0.0)的距离I。点=、/江+俨

(2)点到直线的距离

|Av()+By()+C|

点p(xo,泗)到直线/：Ar+By+C=0的距离d=

(3)两条平行直线间的距离

两条平行直线/i：AX+BV+G=0与L：Ax+8y+C2=0之间的距离C=f

【常用结论】

1.直线系方程

(1)与直线Ax+By+C—0平行的直线系方程是Ax+8y+〃?=0(AnGR且

(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是反-Ay+〃=0(〃GR).

(3)过直线/i：4x+Biy+Ci=0与/2：A2x+82)，+C2=0的交点的直线系方程为Aix+Sy+G

By+C)=0(；.GR),但不包括l.

+KA2X+222

2.五种常用对称关系

(I)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(一为->■).

(2)点(无，y)关于x轴的对称点为(x,—y),关于y轴的对称点为(一羽y).

(3)点(X,y)关于直线y=x的对称点为(j,x),关于直线》=一x的对称点为(一y,-x).

(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2〃一羽y),关于直线y=〃的对称点为(x,2〃一y).

(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2o—x,2b—y).

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)当直线/1和/2斜率都存在时，一定有心=依=/1〃/2.(X)

⑵若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.(X)

(3)点P(xo,泗)到直线的距离为导X)

(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.(V)

【教材改编题】

1.点A(2,5)到直线/：1一2》+3=0的距离为()

A.2耶B.乎

C.小

答案C

|2-10+3|

解析点A(2,5)到直线/：工一2)，+3=0的距离为1==y[5.

V^+4

2.直线2x+O+l)y+4=0与直线/?u+3y—2=0平行，则相等于()

A.2B.13

C.2或一3D.—2或一3

答案c

2〃z+14

解析直线2x+(/??+l)y+4=0与直线，〃x+3y—2=0平行，则有m=一$—W二］(mW。)，故

m=2或一3.

3.直线人2x+)-1=0和乱工一2)・+7=0的交点的坐标为

答案(一1,3)

2x+y—1=0,-1,

解析解方程组

-x-2y+7=0,

所以两条直线交点的坐标为(-1,3).

题型一两条直线的平行与垂直

例1(1)(2022・汉中模拟)已知直线/i：ar+(a+2)y+l=0,/2：x+ay+2=0(aGR),则“e。

=：'是“八〃/2”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

a2-(a+2)=0,

解析当时,

2a-lW0,

解得a——l或a—2.

而由e"=：,解得a--l,

所以“e"=：”是“八〃/2”的充分不必要条件.

(2)(2022•长春模拟)已知直线/经过点(1,-1),且与直线2A-y—5=0垂直，则直线/的方程

为()

A.2x+y—1=0B.x—2y—3=0

C.x+2y+l=0D.2x-y-3=0

答案C

解析•••直线/与直线2r-y-5=0垂直，

设直线/的方程为x+2y+c=0,

.直线/经过点(1,-1),

1—2+c—0,即c=L

直线/的方程为x+2y+l=0.

【教师备选】

1.""=3"是"直线/］：2(/n+l)x+(m—3)y+7-5-=0与直线打(加―3)x+2y—5=0垂

直”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由/|J-/2,

得2(〃?+1)(，"-3)+2(，"-3)=0,

.,./n=3或m——2,

“m=3”是，山2”的充分不必要条件.

2.已知三条直线2x-3y+l=0,4x+3y+5=0,〃优一y-l=0不能构成三角形，则实数，〃的

取值集合为()

424

A--B-

33-3211

3,3J

jr424

cv---D--221

—V33

-313J

答案D

解析由题意得直线ntr—y—1=0与2x—3y+l=0或4x+3y+5=0平行，或者直线以一y

-1=0过2A—3y+l=0与4x+3y+5=0的交点.当直线〃优一＞一1=0与2x-3y+l=0或

24

4x+3y+5=0平行时，机或ni=一亨当直线,〃x—y—1=0过2r—3y+1=0与4x+3y+5

[4

=0的交点时，加=一]2.所以实数机的2取2值1集合为:一)，一],寸.

思维升华判断两条直线位置关系的注意点

(1)斜率不存在的特殊情况.

(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.

跟踪训练1(1)(2022.洛阳模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心

依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为

三角形的欧拉线，己知△ABC的顶点4(2,0),8(1,2),且AC=BC,则△4BC的欧拉线的方程

为()

A.x-2y-4=0B.2x+y—4=0

C.4x+2y+l=0D.2x~4y+l=0

答案D

解析由题设，可得以8=21—30=-2,

且AB的中点为(1,1),

：.AB垂直平分线的斜率仁一卷=今

故AB的垂直平分线方程为

丫货-0+1=*'

,：AC=BCf则△ABC的外心、重心、垂心都在A8的垂直平分线上，

・•・AABC的欧拉线的方程为2x-4y+1=0.

(2)已知两直线/i：x+ysina+1=0和心：2xsina+y+l=0.若/[〃氏则a=.

答案女兀玲攵WZ

解析由A\B2~A2B\=0,

得1—2sin2a=0,

所以sina=

又AG-AzG#。，

所以1—2sinaW0,即sinawg.

jr

所以kGZ.

jr

故当a=E±『ZGZ时，l\//h.

题型二两直线的交点与距离问题

例2⑴两条平行直线2%—y+3=0和or+3y—4=0间的距离为"，则a,d的值分别为()

..,V6-,,^5

A.a—o,a—3B.a——6,a=3

C.a=6,d—D.a=-6,

答案B

解析由题知2X3=—a,解得a=—"6,

4

又一6x+3y—"4二。可化为2x—y+g=0,

3臼_在

小-3-

⑵己知直线经过点(1,2),并且与点(2,3)和(0,—5)的距离相等，则此直线的方程为

答案4x—y—2=0或x=l

解析若所求直线的斜率存在，则可设其方程为

y—2=k(x—1),即日一y—k+2=0,

|2氏一3一k+2||0+5一狂2|

由题设有，

■\jT+i?、1+后，

即伏一1|=|7一例，解得上=4.

此时直线方程为4A—y-2=0.

若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x=l,满足题设条件.

故所求直线的方程为4x-y-2=0或x=l.

【教师备选】

1.经过两直线小工-2》+4=0和，2：x+y—2=0的交点P,且与直线自3x-4y+5=0垂

直的直线/的方程为.

答案4x+3y—6=0

,-2y+4=0,x=0,

解析由方程组得

[x+y—2=0,尸2,

即尸(0,2).

4

因为所以直线/的斜率4=一左

4

所以直线/的方程为y2=一会

即4x+3y—6=0.

2.直线/i经过点(3,0),直线6经过点(0,4),且八〃/2,d表示八和b之间的距离，则d的取

值范围是.

答案(0,5]

解析当直线/2都与过(3,0),(0,4)两点的直线垂直时，

^mx=^/32+42=5；

当直线人和/2都经过(3,0),(0,4)两点时，两条直线重合.

所以0<"W5.

思维升华利用距离公式应注意的点

⑴点P(xo,用)到直线x=a的距离d=\xo~a\,到直线y=b的距离d=\yo~b\.

⑵两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x,y的系数化为相等.

跟踪训练2(1)若尸，。分别为直线3x+4y—12=0与6x+8y+5=0上任意一点，则|PQ|的

最小值为()

答案C

34

解

析--W一萨，所以两直线平行，将直线化为由

6-83x+4>—12=06x+8y—24=0,

I二24—5|_29

题意可知IPQI的最小值为这两条平行直线间的距离，即加2+82―行

所以|PQ的最小值为诃.

(2)点(0,—1)到直线y=Z(x+l)距离的最大值为()

A.1B巾C#D.2

答案B

解析由y=A(x+l)可知直线过定点尸(-1,0),设A(0,-1),当直线y=k(x+l)与AP垂直

时，点A到直线y=A(x+l)的距离最大，

即为|AP|=，I

题型三对称问题

命题点1点关于点中心对称

例3过点P(O,1)作直线/,使它被直线尔2%+厂8=0和京x-3y+10=0截得的线段被

点P平分，则直线/的方程为.

答案x+4y—4=0

解析设公与/的交点为《凡8—2”)，则由题意知，点4关于点P的对称点8(一“,2a—6)在

/2上，代入/2的方程得一。一3(2〃―6)+10=0,解得。=4,即点A(4,0)在直线/上，所以直线

/的方程为无+4y—4=0.

命题点2点关于直线对称

例4若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(相，〃)重合，则

n=

答案f34

解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y=2x—3,它也是

点(7,3)与点(团，〃)连线的垂直平分线,

3+/?7+"2

—=2X—3,

于是

刀~~31

m~l2'

3

m=y

故力+广差

解得，

_31

"一T'

命题点3线关于线对称

例5直线4y—1=0关于x+y=0对称的直线方程为()

A.4元一2)，-1=0B.4无一2》+1=0

C.4x+2y+l=0D.4x+2y—1=0

答案A

解析设直线2x—4y—1=0上一点尸(xo,泗)关于直线x+y=0对称的点的坐标为尸'(x,y),

则

X0=一y，

整理可得

yo=r，

A-2j+4x-l=0,

即直线2x—4y—l=0关于x+y=0对称的直线方程为4x~2y-l=0.

【教师备选】

1.在等腰直角三角形ABC中，A8=AC=4,点尸是边4B上异于A,B的一点.光线从点P

出发，经BC,C4反射后又回到点P(如图所示).若光线QR经过△ABC的重心，则4P的长

度为()

84

A.2B.1C.jD.§

答案D

解析以A为原点，AB所在直线为x轴，4C所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐

标系，由题意可知8(4,0),C(0,4),71(0,0),则直线8c的方程为x+y—4=0.设尸(/,0)(0<r<4),

可得点尸关于直线BC的对称点Pi的坐标为(4,4一。，点尸关于y轴的对称点尸2的坐标为(一

/,()),根据反射定律可知直线P1P2就是光线RQ所在的直线，由外，P2两点的坐标可得直线

P1P2的方程为了=柒a+f).设△ABC的重心为G,易知G(1,因为重心G©,§在光线

RQ上，所以得f=](r=0舍去)，即|AP|=§.

2.已知三角形的一个顶点A(4,-1),它的两条角平分线所在的直线方程分别为小x-y-1

=0和/2：x-1=0,则BC边所在直线的方程为.

答案2x—y+3=0

解析易得A不在/|和，2上，因此/i,，2为NB,NC的平分线，所以点A关于/”，2的对称

点在BC边所在的直线上，

设点A关于/i的对称点为4(xi,yi),点A关于/2的对称点为42。2,yi)-

尤1=0,

解得•

»=3,

所以Ai(0,3),又易得点A关于/2的对称点心的坐标为(-2,-1),

所以8c边所在直线的方程为铠=记,

即2x-j+3=0.

思维升华对称问题的求解策略

(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.

(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件

列方程组解题.

跟踪训练3已知直线/：2x-3y+l=0,点4(-1,-2).求:

(1)点A关于直线/的对称点A'的坐标；

(2)直线〃?：3x—2y—6=0关于直线/的对称直线的方程;

(3)直线I关于点A的对称直线I'的方程.

解(1)设A'(x,y),由已知条件得

_33

=13

4次(一)■

{产百

(2)在直线机上取一点，如"(2,0),

则M(2,0)关于直线/的对称点必在直线战’上.

设对称点M'(a,b),则

得犷偌,割

设直线机与直线/的交点为N,

12x-3y+l=0,

由*i.3x—2y—6=0,得N(4,3).

又〃?'经过点N(4,3),

，由两点式得直线M的方程为9x—46y+102=0.

(3)方法一在/：2x—3y+l=0上任取两点，

如P(1』)，0(4,3),贝！1P,0关于点A(—1,—2)的对称点P',Q'均在直线/'上,

易得P'(―3,—5),Q'(—6,—7),

再由两点式可得/'的方程为2%—35-9=0.

方法二,

.,.设/'的方程为2x-3y+C=0(CWl).

•.•点4(—1,一2)到两直线/,I'的距离相等，

由点到直线的距离公式，

工-2+6+C||-2+6+1|

行后寻=陋石’

解得c=-9,

：.1'的方程为2x-3y-9=0.

课时精练

1.过点A(2,3)且垂直于直线2r+y—5=0的直线方程为()

A.k—2y+4=0B.2犬+y—7=0

C.x~2y+3=0D.x~2y+5=0

答案A

解析由题意可设所求直线方程为x—2y+zn=0,将A(2,3)代入上式得2—2*3+"?=0,即相

=4,所以所求直线方程为x—2y+4=0.

2.过直线小x—3y+4=0和/2：2x+y+5=0的交点，且过原点的直线的方程为()

A.l9x-9y=0B.9x+19>'=0

C.19x—3y=0D.3x+19y=0

答案D

x—3y+4=0,(193、

解析方法一解方程组L「，„可得直线和/2的交点坐标为一号，5,又所求

2x+y+5=0,

3

直线过原点，所以所求的直线方程为、=一言x,即3x+19y=0.

方法二根据题意可设所求的直线方程为x-3y+4+2(2x+y+5)=0,因为此直线过原点，

44

所以4+5%=0,解得2=一予所以所求直线的方程为x—3y+4—5(2x+y+5)=0,即3x+19y

=0.

3.(2022•漳州质检)已知。2-3。+2=0,则直线力：ox+(3—a)y—a=0和直线勿(6—2。。+

(3a—5)y—4+a=0的位置关系为()

A.垂直或平行B.垂直或相交

C.平行或相交D.垂直或重合

答案D

解析因为片-3a+2=0,所以。=1或a=2.

当a=l时，l\：x+2y—I=0,A：4x—2y—3=0,

k\=-y左2=2,

所以俗《2=—1,则两直线垂直；

当a=2时，尔2r+y-2=0,/2：2x+y-2=0,则两直线重合.

4.点尸(2,5)关于x+y+1=0对称的点的坐标为()

A.(6,3)B.(3,-6)

C.(-6,-3)D.(-6,3)

答案C

解析设点尸(2,5)关于x+y+l=0的对称点为Q(a,b),

a=-6,

解得即P(2,5)关于x+)，+l=O对称的点的坐标为(-6,-3).

b——3,

5.已知直线/i：ox+2y+l=0与直线以(3-a)x-y+a=0,若h〃b，则a的值为()

A.1B.2c.6D.1或2

答案C

解析•.•直线/i：ax+2y+l=0与直线6(3—a)x—y+a=0的斜率都存在，且/|〃为，

*'•ki=k2r即一2—a,解得a=6.

6.已知直线/：x—2y+8=0和两点A(2,0),8(—2,-4),若直线/上存在点P使得|%|+|尸8|

最小，则点P的坐标为()

A.(—2,—3)B.(—2,3)

C.(2,3)D.(-2,2)

答案B

解析根据题意画出大致图象，如图.

设点A关于直线x—2y+8=0的对称点为Ai(瓶，n).

01

则有

〃?+2〃+0

-7^-2--^—48=0,

故4(—2,8).

此时直线AiB的方程为犬=-2.所以当点P是直线AiB与直线x-2y+8=0的交点时，|也|+

|PB|最小，将x=-2代入x—2y+8=0,得y=3,故点P的坐标为(-2,3).

7.若动点A,B分别在直线东x+)，-7=0和ex+厂5=0上移动，则43的中点M到原

点的距离的最小值为()

A.3^2B.2巾C.3小D.4巾

答案A

解析'：h//l2,

的中点M的轨迹是平行于/”/2的直线，且到m/2的距离相等，易求得M所在直线的

方程为x+y—6=0.

，中点M到原点的最小距离为原点到直线x+)，-6=0的距离，即左=3巾.

8.(2022•苏州模拟)已知直线/i：ax—y+l=0,I2：x+ay+l=0,a£R,以下结论不正确的

是()

A.不论〃为何值时，/1与，2都互相垂直

B.当a变化时，/］与/2分别经过定点40,1）和B（—1,0）

C.不论〃为何值，与，2都关于直线x+），=0对称

D.如果与乙交于点胡，。为坐标原点，则|MO|的最大值是啦

答案C

解析对于A,aXl+（-l）Xa=0恒成立，八与6互相垂直恒成立，故A正确；

对于B,直线/i：ar—y+l=0,当a变化时，x—0,y=l恒成立，

所以/i恒过定点4（0,1）;

/2：x+ny+l=0,当a变化时，x=-l,y=0恒成立，所以b恒过定点仇一1,0）,故B正确;

对于C,在（上任取点（x,ax+1）,

其关于直线x+y=0对称的点的坐标为（一初一1，—x）,

代入京x+ay+l=0,则左边不恒等于0,故C不正确；

—g—1

ar—y+l=0,x=次+1'

对于D,联立=。，解得

—a+1

尸言「

即E寻

所以附。尸、/（寻2+（寻2

小,

所以附0|的最大值是巾，故D正确.

3

9.（2022.邯郸模拟）直线/i：犬+—一2=0（“丘咫与直线/2：）=三一1平行，则。=

人与/2的距离为.

答案4t

解析由题可知直线/i的斜率为一《aWO）,

3

直线/2的斜率为本

134

所以一£=不解得a=一§,

4

则直线/i：工一贯一2=0,即3天一4），一6=0,

3

直线b：y=^x—1,即3x—4y—4=0,

所以它们之间的距离为d=1—6+41={2

V32+(-4)25

10.直线3x—4y+5=0关于直线x=l对称的直线的方程为.

答案3x+4y—11=0

3

解析直线3x—4y+5=0与x=l的交点坐标为(1,2),又直线3x—4y+5=0的斜率为彳，所

以关于直线尤=1对称的直线的斜率为一本故所求直线的方程为厂2=一作一1),

即3x+4y-ll=0.

11.已知直线小分+y+3n—4=0,则原点。到人的距离的最大值是.

答案5

解析直线/i：or+y+3a—4=0等价于a(x+3)+y—4=0,

则直线过定点A(—3,4),

当原点到/i的距离最大时，满足。A_L/i,

此时原点到人的距离的最大值为

1。川=、(-3)2+42=5.

12.己知A，/2是分别经过41,1),8(0,-1)两点的两条平行直线，当八与b之间的距离最

大时，直线/i的方程是.

答案x+2y—3=0

解析当直线AB与/1,/2垂直时，/1,/2之间的距离最大.

因为B(0,-1),

—1—1

所以以8=--=2,

。一1

所以两平行直线的斜率仁一;，

所以直线的方程是)一1=一女工-1),

即x+2y-3=0.

13.(2022•南通调明在平面直角坐标系xOy中，点尸在曲线y=x+；(x>0)上，则点P到直线

3x-4y—2=0的距离的最小值为()

467

A.gB.1C.gD.g

答案c

解析设点P(xo,yo),

y=/W=x+%x>o),

则/（Xo）=l—2,点尸与直线3犬一4）-2=0的最小距离，即为/（x）在点P处的切线的斜率等

13

于直线3x—4y—2=0的斜率时的情况，即满足1—京=不

解得沏=2,所以再=2+尹楙，

所以点p（2,D，

2X3-4X1-2

所以点尸到直线3x-4y-2=0的距离的最小值为d=——用有——=5.

14.若两条平行直线/i：x—2了+胆=0（心0）与七：2x+〃y—6=0之间的距离是2小，则直线

人关于直线/2对称的直线方程为（）

A.X—2y—13=0B.x—2y+2—0

C.x—2y+4=0D.x—2y—6=0

答案A

解析因为直线/i：x—2y+，〃=0（〃i>0）与方2x+〃y—6=0平行，

所以n=—2X2=—4,

又两条平行直线/i：X-2），+机=0（机>0）与/2：2