山西省2023届高三一模数学试题(含答案)

山西省2023届高三一模数学试题

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、已知集合A={xeN*，4以卜台二十卜二了！^，,则A|'5=（）

A.[0,3]B.[l,3]C.{1,2}D.{1,2,3}

2、复数z满足,（1+"）|=2,则忖=（）

A.2B.0C.lD巫

3、在天文学中，常用星等打光照度E等来描述天体的明暗程度.两颗星的星等与光照度

F

满足星普森公式a-叫=-2.5坨今.已知大犬座天狼星的星等为-1.45,天狼星的光照度

Ei

是织女星光照度的4倍，据此估计织女星的星等为（参考数据坨2。0.3）（）

A.2B.1.05C.0.05D.-1.05

4、经过4（2,0）,5（0,2）,。（2,4）三点的圆与直线依-、+2-4左=0的位置关系为（）

A.相交B.相切C.相交或相切D.无法确定

5、已知矩形ABCD中,E为A3边中点，线段AC和DE交于点£则3P=（）

12

A.--AB+-ADB.-AB——AD

3333

21

C.-AB--ADD.——AB+-AD

3333

6、已知随机变量低的分布列如下:

4012

P(1-p,)22PiQ-pJPi

其中i=l，2,若3＜月＜〃2＜1,则（）

A.）＜E（^2）,D（3^+1）＜D（3^2+1）B.）＜£（^2）,D（3^+1）＞D（3^2+1）

C.Eg）＞E&）,D（3$+l）＜D32+1）D.E（q）＞E&）,D（3^+1）＞D（3刍+1）

7、近年来受各种因素影响,国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从

澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑

铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一定;方案二：不考虑铁矿石价格升降,每次采

购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确的是（）

A.方案一更经济B.方案二更经济

C.两种方案一样D.条件不足，无法确定

8、定义在R上的函数〃x）=2sin,x+1}oeN*）满足在区间,聿4］内恰有两个零

点和一个极值点，则下列说法正确的是（）

A./（x）的最小正周期为1

B.将/（尤）的图象向右平移三个单位长度后关于原点对称

C./（力图象的一个对称中心为［go］

D.”力在区间上单调递增

二、多项选择题

9、某同学用搜集到的六组数据a，yj（i=l,2,,6）绘制了如下散点图，在这六个点中去

掉3点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（）

0x

A.决定系数片变小B.相关系数r的绝对值越趋于1

C.残差平方和变小D.解释变量x与预报变量y相关性变弱

10、设a>0，/?>0，a+b=l，则下列结论正确的是（）

A.M的最大值为LB.小+^的最小值为L

42

C.1+1的最小值为9D.6+血的最小值为6

ab

n、1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列

1,1,2,3,5,8,13,21,该数列的特点是前两项为1,从第三项起,每一项都等于它前面两项的

和，人们把这样的一列数组成的数列｛4｝称为斐波那契数列,19世纪以前并没有人认真

研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用,从而活跃起来，成为热门

的研究课题，记S”为该数列的前〃项和，则下列结论正确的是()

A.%=89B.4023为偶数

C.。］+%+%+…+”2023一“2024D・4++,+4()24—^2023

12、在棱长为1的正方体ABCD-中，尸在侧面CCA。(含边界)内运动，。在

底面ABCD(含边界)内运动，则下列说法正确的是()

A.若直线BP与直线AD所成角为30。,则P点的轨迹为圆弧

B.若直线与平面A3CD所成角为30。,则尸点的轨迹为双曲线的一部分

C.若=与，则。点的轨迹为线段

D.若Q到直线的距离等于。到平面A551A的距离，则点。的轨迹为抛物线的一部

分

三、填空题

13、若/(%)=tanx，则/f(x)=-

14、已知随机变量XN(3,o^^p(xWa)=P(X24)^k2+J的展开式中常数

项为.

15、写出一个同时满足下列三个条件的函数/(%)的解析式.

①/(l+x)=/(l—X)；

叫|+x］一［一)

③"%)在(0,1)上单调递增.

16、已知抛物线y2=4x的焦点为£点4(4,1),p(x,y)为抛物线上一动点，则周长

的最小值为___________..

四、解答题

17、在

①Z;(l+cosC)=A/3C-sin3；②1inA-；sinB\=sin2C--1sin2B

3〃cosC+ccosB=a+6这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题.

问题：在△ABC中，角A,5,C所对的边分别为。，"c,且_____.

⑴求角C的大小；

⑵若a=2，b=3AB边上一点P满足归因=2|即,求|PC|.

18、从下面的表格中选出3个数字(其中任意两个数字不同行且不同列)作为递增等

差数列｛%｝的前三项.

第1列第2列第3列

第1行723

第2行154

第3行698

⑴求数列｛4｝的通项公式，并求｛«„｝的前〃项和S”；

(2)若勿=-4，记也｝的前〃项和Tn，求证7；<L

an2

19、如图所示，在四棱锥？—ABCO中，侧面B4D_L平面ABCRAPAO是边长为2的等边

三角形，底面A3CD为直角梯形，其中BC//AD，AB±AD^AB=BC=1-

(1)求B到平面PCD的距离；

(2)线段PD上是否存在一点E,使得平面E4c与平面D4c夹角的余弦值为巫？若存

5

在，求出出的值;若不存在,请说明理由.

PD

20、假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2

个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.

⑴每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两

球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；

(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里

随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.

22

21、双曲线0：与一齐=1.〉0］〉0)的左、右顶点分别为A,3,焦点到渐近线的距离为

百,且过点(4,3).

⑴求双曲线C的方程；

(2)若直线/与双曲线。交于MN两点，且^=-2左融，证明直线/过定点.

22、已知/(%)=f一2相In%—1.

⑴若"％)的最小值为0,求m的值；

⑵若—1221nx-Ina恒成立，求实数。的取值范围.

参考答案

1、答案：D

解析：依题意可得A={l,2,3,4},3={x|x>3},所以A”={1,2,3}.

故选：D.

2、答案：C

解析：z（l+后）|=目卜+6i|=2,于是目=1.

故选：C.

3、答案：C

解析：设天狼星的星等为叫，光照度为4,织女星的星等为m2，光照度为E],

因为天狼星的光照度是织女星光照度的4倍,所以台=J,

Ei4

F

因为两颗星的星等与光照度满足星普森公式外-g=-2.51g等，

所以?+1.45=—2.5lg（,解得根2=5坨2-145^0.05.

所以，织女星的星等为0.05.

故选：C.

4、答案：A

解析：由题知，圆过4（2,0）,3（0,2）,C（2,4）三点,

因为84=（2,—2）,=（2,2）

所以843c=（2,—2）•（2,2）=0,即血,，

所以该圆是以AC为直径的圆，可得圆心为[等，审:即（2,2%

半径r=&2—0）2+（2—2）2=2,

故圆的方程为（x_2）2+（y_2『=4,

因为直线方程为:依-y+2-4左=0,

所以圆心到直线的距离d=J比

当左=0时，有d=0<2=r,所以圆与直线相交,

当左/0时，有，所以圆与直线相交,

综上:圆与直线的位置关系是相交.

故选:A.

5、答案：D

解析：取CD中点G,连接BG,交AC于点H,

BE=DG，BE=DG，：.四边形BEDG为平行四边形，

BG//DE，又E为A3中点,....=阻,同理可得：CH=FH,

AF=~AC=^AB+AD）,

-1/-\21

BF=BA+AF=-AB+-IAB+AD]=——AB+-AD.

3、>33

故选：D.

6、答案：B

解析：由表中数据可知&B（2,pJ,

・•.£信）=2%。侑）=2必（1-pj,

又g<Pl<P2<1，

・•.£信）<£仁），。信）—。©）=25—%）—2（〃；一同）=25—0）（1-月—。2）>0,

，。值）,0（3（+1）=9D«）>9D（^2）=0（3刍+1）•

故选：B.

7、答案：B

解析：设第一次价格为A〉0,第二次价格为p2>0,

方案一：若每次购买数量2则两次购买的平均价格为玉=%叶皿=旦土上，

1In2

2m2

方案二：若每次购买钱数为掰,则两次购买的平均价格为々=%+2=J_+J_,

PlP2Pl。2

所以,X2==，+P2)--4,也=,「P2)：20,即占2%，当且仅当

2Pi+，22(P1+P?)2(PI+〃2)

PI=p2时,“=”号成立,

所以方案二更经济.

故选：B.

8、答案：D

解析：依题可知工〈N＜T,于是3＜刃＜6,于是＜

23

.,.4<a><5,:.(D=5,.-.f(x)=2sin5x+j

对于A,由T=B=g，则/(%)的最小正周期为g，故A错误;

对于B,将/⑴的图象向右平移g个单位长度后得g(x)=2sin1x+引，

则g(O)=2sin6,所以g(x)不关于原点对称，故B错误；

对于C,由/［)=24«看)=-1，所以］，0］不是外力图象的一个对称中心，故C错误;

对于D,由仪-御］,则5%+畀,若)所以小)在区间触］上单调递增，故D

正确.

故选：D.

9、答案：BC

解析：从图中可以看出3点较其他点，偏离直线远，故去掉3点后，回归效果更好，

决定系数夫2越接近于1,所拟合的回归方程越优,故去掉3点后,夫2变大,越趋于1,A错误;

相关系数N越趋于1,拟合的回归方程越优，故去掉3点后，故相关系数厂的绝对值越趋于

1,B正确；

残差平方和变小拟合效果越好，故C正确；

解释变量x与预报变量y相关性增强,D错误.

故选：BC.

10、答案：ABC

解析：对于A,因为。>02>0，。+»=1,

则仍《（空42=J.，当且仅当口=匕=J.时取等号，故A正确；

242

对于B,因为（审

故/+〃2工,当且仅当。=沙=」时取等号，即/+f的最小值故B正确；

222

对于C,l+l=（l+l）（t?+z，）=5+—+->5+2=

abababNab

当且仅当竺=@且。+〃=1,即b=La=2时取等号，

ab33

所以3+工的最小值为9,故C正确；

ab

对于D,（Va+7^）2=l+2V^<l+2x1=2,

故而+扬〈后，当且仅当。=g时取等号，即&+新的最大值也，故D错误.

故选：ABC.

11、答案：ACD

解析：对于A：由题意知：

%=1,%=1,%=2,%=3,%=5,%=8,%=13,%=21,%=%+/=13+21=34,

〃io=/+49=21+34=55,1"=为+Io=34+55=89,

故选项A正确；

对于B：因为该数列的特点是前两项为1,从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此

数列中数字的特点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组,呈奇奇偶的顺

序排歹U,而2023+3=674（组）.」（个），故生。23为奇数，选项B错误；

对于C：由题意知：anl+an=an+i（w>2）,

所以4=%—4T("N2)

4+/+%+,+«2023=ai+(a4-a2)+(a6-a4)++(。2024-％022)=q+。2024一。2

=%024,故选项C正确;

又寸于D：%+%+06++。2024=%+(。＞+%)+(%+%)+,+(0202,+。2023)=^2023，

故选项D正确，

故选：ACD.

12、答案：ABD

解析：直线3P与直线AD所成角即为NPBC，在RtZkBCP中,tan30=—,_■CP=—，

BC3

故P在以C为圆心,YI为半径的圆落在侧面CCRD内的圆弧上,A正确；

3

过P作于点:(如图)，设＜C=a,6P=6,直线3P与平面A3CD所成角即为

在Rt△尸期中,tanZPBR=色=/=—，从而3Z72-«2=1，故点p的轨迹为双曲线

期J77T3

的一部分，故B正确；

在RtADjDQ中归Q=岑=J。。：+DQ2，从而口口=；，故。在以。为圆心,;为半径

的圆落在底面ABCD内的圆弧上,C错误；

Q到直线的距离等于Q到平面ABB^的距离，即Q到点D的距离等于Q到直线AB

的距离，故点Q的轨迹为抛物线的一部分，故D正确.

故选：ABD.

13、答案：-L-

cosX

•**f2・21

解析：r(x)=(小］sinxcosx-sinxcosxcosx+sinxI

''^cosx)COS2X-COS2X―COS2X

故答案为：

COSX

14、答案：60

解析：由正态分布易得a=2,

设二项展开式的第k+1项=「左,6—左12—3k

或（KJ

则常数项为当k=4时，值为60.

故答案为：60.

15、答案：--COS7LX(答案不唯一，满足条件即可)

解析：由①“l+x)=〃l-可可知涵数〃尤)图像关于直线X=1对称;

由②/[|+x]=-/3-d可知函数/(尤)图像关于点[I，。]对称；

所以,/(2+x)=-/(1-%)=-/(1+力,即/(1+x)=-/(%),

所以/(2+x)=—〃x+l)=/(x),即函数/(x)的周期为2,

故考虑余弦型函数,不妨令"力=Acoswx,

所以,0=与=兀,即/(%)=ACOS7LX,满足性质①②，

由③/(%)在(0,1)上单调递增可得A<0,

故不妨取A=—l，即"％)=-cos⑪，此时满足已知三个条件.

故答案为：/(%)=-cos7cr.

16、答案：5+V10

解析：由题知网10,准线方程为x=-L

如图，过P作准线的垂线，垂足为。，过A作准线的垂线，垂足为B,

所以△R4/周长=忸同+|即+|AF|=|PQ|+|/M|+|AF|+|AF|=5+而,

当且仅当P为A3与抛物线的交点P时等号成立.

故答案为：5+710-

17、答案：（1）条件选择见解析,

3

⑵亚

3

解析：（1）选①.由Z?（l+cosC）=6c,sinB及正弦定理得

sin3（1+cosC）=V3sinCsinB-

又8G（0,兀），.，.sin_BW0,于是1+cosC=A^sinC，zF^sinC-5cosc=1,

即sinjc—巴]=1,又。€（0,兀），,C—/=工，故C=土

I6j2V>663

选②.由卜nA—；sin§]=sin?C—[sin?5及正弦定理得（a—=c2~~^25

化简得力+廿_02=4,于是c°sc=/+"—=L又。«0,兀），故C=±

2ab2ab23

选③.由3/?cosC+ccos5=Q+Z?及正弦定理得

3sinBcosC+sinCcosB=sinA+sinB=sinB+sin（C+B）=sinB+sinCcosB+cosCsinB

，又㈤，.,.sin5w0,

于是385。=1+85。,85。=—,又。4（0,兀）,故。=一.

2v'3

_.92-1

（2）CP=CB+-BA=-CA+-CB,

333

两边平方有：CP2=-CB2+-CA+-CACB,

999

所以CP?=J-x4+-x9+-x3x2x-=—,|pc|=^^.

99929113

18、答案：（l）a〃=2〃，S=n2+〃

⑵证明见解析

解析：（1）由题意，选出3个数字组成的等差数列的前三项为：4=2,4=4,%=6,

所以d=2,=2〃,

但包=〃2+小

所以S〃=

2

（2）证明：i===工＜11111

凡4n-4万—1（2n-l）（2n+l）2（2〃-12n+l

11111111

---------1-----------FH---------<—1.1+—+H---

4xl24x224XH22132352{2n—l2〃+l

£1-九

2

因为“eN*，所以^—>04———<1

2〃+12n+l

11

所以《—<—

2M+12

19,答案：⑴叵

7

⑵存在*;

解析：（1）取A。的中点O,连接PO0C,

Z\PAD为等边三角形,

POLAD.

又、平面K4D，平面A5CD,平面PAD平面ABCD=AD,

.•W平面ABC。,

如图所示，以。为坐标原点，直线OC,OD,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则A(0,-1,0),D(0,1,0),C(l,0,0),B(1,-1,0),P(0,0,V3),

CP=(-1,0,73),CD=(-1,1,0),

设平面PCD的法向量为〃=(x,y,z),

.•.〃,。。，“，。。，即,"°'—"+八一°,令2=1，则"=(6,61)，

n-CD=一%+y=0

又8C=(0,l,0),

IBC.HI坦x0+下义1+1义。布_回

故B到平面PCD的距离d=

(2)设E(s/,r),PE=2PD，，1//-6)=4(0」,-@，

.-.£(0,2,73-^2),

则AC=(l,l,0),A£=(0,2+1,V3-A/32),

设平面E4c的法向量为机=(4,y',z),

m-AC=x'+y'=0

AC则,^+i)y+(V3

mA£=后卜=0

4y=V3(/l-l),WiJ/H=(V3(l-2),>/3(2-l),Z+l),

又平面D4c的法向量为OP=(0,0,山)，

OP-^|>/3(A+1)|_|2+1|_Vio

于是cos(OP,m)=

0P||m|V3^3(l-2)2+3(2-1/+(2+l)2V722-10A+75

化简得3%2—104+3=0,又4e[0』，得力=；，

即必」

PD3

故存在点E,此时二=」

PD3

20、答案：⑴士

7

⑵422

35

解析：(1)依题意，记事件4表示第i次从第一个盒子里取出红球，记事件3表示两次

取球中有红球，

则p(3)=i—p(z)=i—3-=i_a=2_,

'Jv>541010

/一、2x13x2

V17P(B)P(B)L7

10

(2)记事件G表示从第一个盒子里取出红球,记事件c2表示从第一个盒子里取出白球,

记事件D表示从第二个盒子里取出红球，

则P(D)=P(G)P(*J+P(C2)P(*2)=|4+|X>||・

22

21、答案：⑴土—匕=1

43

⑵证明见解析

22K

解析：(1)由双曲线C：?—g=l(a〉0力〉0)可得渐近线为y=±：x,

不妨取渐近线y=即法—分=0

a

由焦点到渐近线的距离为石可得d=,bC=百，即6=6,

由题意得</一3—，得〃=2,

b=A/3

22

从而双曲线C的方程为工_2L=1.

43

(2)设直线BN的斜率为匕则直线AM的斜率为_2屋

由题意可知：直线3N的方程为y=-X-2)，直线AM的方程为y=—2k(x+2),

(22

土-匕=1

联立直线3N与双曲线方程143得(3—4左2)%2+16-%—16k2—12=0,

y=k^x-2^

于是为从而心=^^,从而^|^,

4k2-34k2-3

22

二一匕=1

联立直线AM与双曲线方程<43得（3—16左2）尤2_6