浙江省七彩阳光新高考研究联盟2023-2024学年高二年级上册11月期中联考数学试题（解析版）

浙江省七彩阳光新高考研究联盟2023-2024学年高二上学期

11月期中联考数学试题

考生须知：

1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数

字；

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题纸.

选择题部分

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1.已知空间向量。=（—2,2/），=。,0,加），若al。，则由=（）

A.岳B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】由题意可知a-b=-2xl+0x2+lx7〃=0=>7〃=2=>W=V12+02+m2=亚.

故选：A

2.若直线的倾斜角为60。，则该直线的一个方向向量是（）

A.（1,-@B.（-A/3,1）C.限1）D.（1,A/3）

【答案】D

【解析】因为直线的倾斜角为60°,所以直线的斜率为tan60。=6，

所以其中的一个方向向量为（1,百），故D正确，

其余选项经检验，皆错误.

故选：D.

3.在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（）

1211

A.-B.—C.—D.一

2336

【答案】B

【解析】设甲中奖为A事件，乙中奖为B事件，

则P（B）=P（B|A）P（A）+P⑻司网司=gx|+|xg=|,

故选：B.

22

4.设椭圆♦+£=l（a〉6〉0）的左、右焦点分别为《，工，上顶点为A若

怛q=|6月|=2,则该椭圆的方程为（）

222

AA.——%+匚y=11Bn.——%+y2=11

433

22

C.—+y2=1D.—+/=1

2•4-

【答案】A

【解析】由椭圆的几何性质，因为忸局=|耳闻=2,可得a=2c=2,

22

所以。=2,C=b则匕=而2j2=6,所以椭圆的方程为?+三_=1.

故选：A.

5.某企业两个分厂生产同一种电子产品，产量之比为3:2,现采用分层随机抽样方法，从

两个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，由所得样品的测试结果计算出该

产品的平均使用寿命分别为1000小时，1020小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使

用寿命为（）

A.1012小时B.1010小时C.1008小时D.1006小时

【答案】C

32

【解析】由题意可知该产品的平均寿命为——X1000+——xl020=1008.

3+23+2

故选：C

6.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件A="第一次点数为偶数”，事件5="第二

次点数为3的倍数”，贝|（）

A.A与B是互斥事件B.A与B是互为对立事件

C.P（AnJB）=P（A）P（B）D.P（AB）=P（A）+P（B）

【答案】C

【解析】依题意，一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的基本事件有6x6=36件，

事件A的基本事件有3x6=18件，事件B的基本事件有6x2=12件，

事件Ac5的基本事件有3x2=6件，事件AD5的基本事件有3x6+3*2=24件，

所以P⑷4=5)=黑＞风5)=||=2

3

故P（Ac5）=P（A）P（5）,P（AB）^P（A）+P（B）,

所以A与8不是互斥事件，更不是对立事件，故ABD错误，C正确.故选：C.

7,已知点M是直线4:tnx+ny+2n=0（m,HeR,m2+n200）与:nx-my+4m=0的

交点，则M到直线小氐—y—1=0距离的最大值为（）

9

A.3B.4C.-D.6

2

【答案】B

【解析】因为4：mx+ny+2n=0(m,n&R,/n2+n2/0)与乙:nx-my+4-m-0,

所以乙：7nx+〃(y+2)=0与4:nx-m(y-4)=0,

可得1},12必过点分别为4(0,—2),5(0,4),

由77刃+(一m)〃=0可知/1，/2垂直，垂足为M,

则M4±"8,可得M在以AB为直径的圆上,

由4(0,—2),5(0,4)可知圆心0(0,1)，半径r=|4-(-2)|=3

011

则圆心到&：氐—y—1=0的距离dI""!.j

所以M到直线4：A—1=0距离的最大值为d+r=1+3=4,

故选:B.

8.己知焦点分别在轴上的两个椭圆£,。2,且椭圆G经过椭圆G的两个顶点与两个焦

点，设椭圆G，02的离心率分别是9,02,则（）

A.e；</且e；+e；<1B.e；<5且e；+e；>1

C.e；<5且e；+&<1D.e；<5且e；〉1

【答案】A

【解析】依题意，设椭圆G对应的参数为椭圆。2对应的参数为〃2力2，02,

则4=4也=q,所以e；=1—=1—y—1—yy—2-

axa2

又因为%>打，即4〉q，b：〉c：=a；-b：,则

iJ2272-i2]

即一<<1,1<-y<2,得0<1—y<—,0<2——y<1,即Ove；<—

2a、b]ax2bx2

令则e：+e”3一件+£131+力，

由对勾函数的性质可知y=/+：在[J上单调递减，故片+4=3-1/+；卜

故选：A.

二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9.某市为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100户居民用户某年月均

用水量（单位：t）,将数据按照[1,3）,[3,5）,[5,7）,[7,9）,[9,13]分成6组，制成了

如图所示的频率分布直方图.则下列说法正确的是（）

B.月均用水量的第60百分位数为8t

C.已知全市有10万户居民用户，估计月均用水量不足3t的用户有1万户

D.月均用水量的平均值（精确到0.1）约为6.1t

【答案】ABC

【解析】对于A,因为（0.05x2+0.075x2+4+0.15）x2=1,即。=0」0,故A正确;

对于B,[1,7）对应的频率为（0.05+0.075+0.1）x2=045,[1,9）对应的频率为

0.45+0.15x2=0.75,

所以第60百分位数在[7,9）内，不妨设为x,则0.45+（x—7）x0.15=0.6,解得％=8,

故B正确；

对于A,因为100户中月均用水量不足3t的用户频率为0.05x2=0.1,

所以估计10万户中有1万户，故C正确；

月均用水量的平均值为

(0.05x2+0.075x4+0.10x6+0.15x8+0.075x10+0.05x12)x2=7.1,故D错误.

故选：ABC.

10.如图，在棱长为1的正方体—4qGR中，点G为AB的中点，点E在BD上,

且8后=l8。，点P为BG的中点，则下列结论正确的是（）

3

A./平面B.DGLGF

D.三棱锥O-GEF体积为工

C.G,E,£31四点共面

18

【答案】AC

【解析】依题意，建立空间直角坐标系，如图,

则。(0,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),5(1,1,0),4(1,1,1),〃(0,0,1),

|加|(1」,。)=||,|,。］,即E

因为8石=工友），所以DE=

3

对于A,=做=(O,U)，9=(—l,O,l),

/、m-AB.=b+c=0

设平面破。1的法向量为机=(a,o,c),则《\

m-AD】=-a+c=0

取c=l,则a=l,Z?=-1,故根=(1,一1,1),

所以跖"71=—(xl+gx(—l)+gxl=O,又点Ea平面A5]£>1，

所以EFV/平面A42,故A正确；

对于B'DG=[K，O],GE=[K£|,

所以DG-G卢=lx[—2]+:x:+OwO,所以£>G1_GE不成立，故B错误；

I2j22

对于C,GC=1—L；,o}EC=1—gg,o],则EC=|GC,

所以G,E,C三点共线，又易知用，£C三点也共线，

所以G,E,F,男四点共面，故C正确；

、2212111

对于D,因为SDG£=—5*r)G5=-x—SAB£)=-x—x-xlxl=-,

332322o

又尸为BG的中点，所以尸到底面A3CQ的距离为《，

所以三棱锥。一GEF的体积为丫=」义工义工=工，故D错误.

36236

故选：AC.

11.己知点「在曲线。：f+y2-2%+2丁=0上，点。,4(—2,0),5(0,2)三点共线，则

()

A.当直线尸。与曲线。相切时，|PQ|的最小值为2逝

B.满足AP,5P的点尸有且只有1个

C.当最大时，|/训=2后

D.当/APB最小时，|，科=2&

【答案】BCD

【解析】如图，

由C:必+/一2x+2y=0可得圆心为(1,-1),半径为企,

当直线P。与曲线。相切时，IPQI最小即切线长最小，直线方程x—y+2=0,

圆心到直线的距离4="[£2=2下,所以IPQ1mhi=娓,故A错误;

以AB为直径的圆的方程为（龙+1）2+（y+l）2=2与圆。外切，如图，

//<

yt*70\9

所以满足AP，5P的点P有且只有1个，故B正确；

当最大时，直线己4与圆C相切，且P为切点，如图，

因为|AC|=M，所以|PA|=J|—脚=20,故C正确;

当NAPB最小时，.MB的外接圆与圆C内切，如图，

此时，P为切点，所以。。，回且尸。平分45,故可得P（2,-2）,故|B4|=2百，故D

正确.

故选：BCD.

22

12.已知椭圆C：T+g=l（a〉6〉0）的左右焦点分别为耳，巴，左右顶点分别为A3,

点P是椭圆上的一个动点（异于A3两点），且直线尸耳,「工的斜率均存在，则（）

当/耳尸鸟的最大角为4时，椭圆的离心率为立

A.

22

JTab2

B.当NF"=耳时,上钻的面积为耳

C.直线PFi，PK的斜率之积一定大于直线PA,PB的斜率之积

D.PFXPF2>PAPB

【答案】ABD

【解析】对于A,当/耳2心取最大时，顶点P为上下顶点,

此时e-——cos—=YZ，故A正确；

a42

jr

对于B,当g=5时，

由|P片|+忸囚=23尸片「+忸6「=402,得

2|明忖阊=（附|+|也|）2-电「+|因「=4乩

所以月的面积为"「用忖用又SR形=g|耳用•七|=广]词,

T/2>]^^2

所以点的纵坐标为,则PAB的面积为S=；x2ajyp|=7^^,故B正确;

c27a~-b?

对于C,设P（w）,又耳（—c,0）,乙（c,0）,A（—a,0）,5（a,0）,

nnnnn2

则kpFjkpj

m+cm—c

*’2

所以kpFjkp%-kpA，kpB=肃二总一蔗二/

而〃，<与C?的大小不定，故上式正负不定，故C错误;

对于D,因PFX=^—c—m,—n),PF2=(c-m,-n),PA=(—a—m,-n),PB=(a—m,—n),

所以理•况=r^+n2-c2,PA-PB=m2+n2-a2,又。2</,

所以P%PB〉PAPB,故D正确.

故选：ABD.

非选择题部分

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.甲、乙两人进行投篮练习，两人之间互不影响，甲的命中率为0.6,乙的命中率为0.8,

则至少有一人投中的概率为.

【答案】0.92

【解析】设4="甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中”，

则P(A)=l—P(Z)=l—(l—0.6)x(l—0.8)=1—0.4x02=0.92.

故答案为：0.92

14.已知某组数据为4,7,8,10,11,则该组数据的方差为.

【答案】6

_4+7+8+10+11

【解析】依题意,x=----------------=8o，

5

所以/=,1（4—8）2+（7—8）2+（8—8）2+（10—8）2+（11—8）［=6.

5—-

故答案为：6.

15.已知4(—3,0),5(3,0),动点C(x,y)满足|C4|=2|C理,则点C的轨迹方程为

【答案】(x-5)*2+r=16

［解析］IC4|=J(尤+3>+y2,|CB\=7(x-3)2+r,

由题意得J(x+3)2+y2=27(%-3)2+/，所以(x+3)2+丁=4［(x-3)2+/］

整理可得一+丁―10X+9=0,即(x—5p+y2=16.

故答案为：(％-5『+丁=16.

16.己知三棱锥P—A5C与Q-ABC是两个同底面的正三棱锥，且NR4Q=90。,“是

5c的中点，记异面直线所成的角为凡则cos。的最大值为.

【答案】!

2

【解析】设AB=5C=AC=6,—ABC的外心为。，连接卜。,40，

则P,O,Q三点共线，三点共线，且W8C,PQLBC,PQ±AM,

过点。作QV/ABC,交AC于点、N,建立如图空间直角坐标系。一孙z,

则4(26,0,0),8(-6-3,0),C(-有,3,0),“(-七,0,0),

设P(0,0,b)(b>0),e(0,0,-c)(c>0),

则PM=(-瓜0,-力,BQ=(区3,-c),PA=(2后,0,-故QA=(2瓜0,c),

由PA_LQA,得PAQ4=12-bc=0,

解得》c=12,b=—.

c

又PM.8Q=Z?c-3=9,|正必=V3+&2,|B2|=A/12+C2,

।/MMBQ999

cos0=cos(PM,BQ}\=----n------=,-=-(------------------------='—f

1'71PM\\BQ用正712+C1n2fZ—~1?,

''d3T—'v12+c4/I8O+3cH—五

又Ji8O+3c2+；>J180+2卜？=18，当且仅当3c?=1即。=2&时等号成立，

,___________-9

即J18O+3c2+l^的最小值为18,所以］=17充的最大值为9，

vc2J.180+3c2+—2

即当6="，c=2，^时，cos。取到最大值］

四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在平行六面体ABC。-A4G2中，底面ABC。是正方形，

ZBA^^ZDA4,=60°,AB=2,A4j=3,设AB=a,AD=b,A4,=C.

UUULII

（1）用向量a,Z?,e表示AC],并求|ACJ；

（2）求直线AG与45所成角的余弦值.

解：（1）作出平行六面体ABC。—A4G2,如图，

因为ACLAB+BC+CCLAB+AD+M=a+b+c,

又底面ABC。是正方形，ZBA4,=ZDA4(=60°,AB^2,9=3,

所以Q•〃=AB-AD=0,Q•c=AB•AA^=AD-AAi=b-c=2x3xcos60°=3,

所以|AC1|—Ia+b+c|—+b2+。2+2a•b+2a•i+2b•W

=74+4+9+2x3+2x3=729.

(2)因为A,JB=AB—=a—c,

所以=|a—c|=y/a2+c2-2a-c=74+9-2x3=4，

又ACJ-A^B=(a+Z?+c),(tz—c)=ci~~\~a,b—b-c—c?=4-3-9=-8,

IAQ-ABI|-8|8A/203

设直线AG与48所成角为氏所以cos6=^~「T=J।=笠丁,

AQ.|AS|V29XV7203

即直线AG与48所成角的余弦值为噜1.

18.已知直线4过点(1,1)和(-1,2).

(1)若直线4，4且在y轴上的截距为-2，求直线k的方程；

(2)若圆。的圆心在y轴上，半径为3,且直线4被圆。截得的弦长为4,求圆。的方程.

2—11

解：(1)因为直线4过点(1,1)和(-1,2),所以直线4的斜率为左=二口=—

则直线12的斜率为2,所以直线6的方程为y=2x-2.

(2)依题意，直线/］的方程为二=忙工，即x+2y—3=0,

2-1-1-1

设圆心坐标为(OS),圆心到直线乙的距离为"=用?，

又d=J/一］［；=可4=追，所以=逐，得b=-l或8=4,

所以圆。的方程为：x2+(y+l)2=9或丁+(丁一4)2=9.

19.如图，在四棱锥尸―A5CD中，底面ABC。是菱形，ZBAD=60°,平面PCD,平

面ABCD，CD=2,CP=DP=y/2,M为AB的中点.

(1)求证：CP_L平面PDM；

（2）求平面与平面八45的夹角的余弦值.

解：（1）.四边形ABC。为菱形，/胡0=60°,

/.ADB是等边三角形，AD=2,DM=^/3

为AB的中点，

ADMA.AB,又,：AB//DC,

：.DM±DC,又：平面PCD，平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,DMu

平面ABCD，

以，平面PCD,CPu平面PC。，

：.DM±CP,

,/CD=2,CP=DP=④,：.CD2=CP2+DP~，:.CP上DP,

DPDM=D,DP,DMu平面PDM,：.CP±平面PDM；

（2）取CD的中点E,则由仃=。。=0,所以PE_L。。，DE=EC=EP=1,

由（1）同理可证PE_L平面ABCD,

如图，以。为原点，0M为无轴，。。为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则皿后0,0）,尸（0,1,1）,B（A1,O）,C（0,2,0）,

uum/i—\

CP=（O,-l,l）,MB=（0,1,0）,P3=（，3,0,-1）,

由CP_L平面PDM得出平面PDM法向量CP=（O,—l,l）,

设平面PAB的法向量=（a,b,c）,

m-MB=0\b=Q/厂、

则，即厂，令a=l，则a=1,0,。3.

m-PB=0[J3a-c=0'，

则。一”曰=＞亚

\/|m|CPV2x24

所以平面PDM与平面PAB的夹角的余弦值为—.

4

20.已知圆0：兀2+9=厂2（厂＞0）与圆eg—4『+（y—2）2=4有两个不同的交点。石.

（1）求，的取值范围；

（2）过直线OE上的一点尸（在线段OE外的部分上），分别作圆。与圆。的一条切线,

切点分别为A3,问是否存在常数4,使得|PA仁川尸理恒成立？若存在，求力的值；若

不存在，说明理由.

解：（1）因为圆0:丁+/=/（厂>0）与圆°：（X—4）2+6—2）2=4有两个不同的交点，

所以两圆相交，

所以『一2|<|（9C|<r+2<|0C|=J（4-0『+（2-0）2=2拜，

|r-2|<275厂广

即f1广，解得2石-2<r<26+2.

r+2>2y/5

所以厂的取值范围25—2<r<26+2.

（2）圆。:/+9=/2（厂>0）,

圆C:（无一4）?+（y—2）2=4,

两圆方程相减可得：4（2x—4）+2（2y—2）=，一4,

化简可得直线OE的方程：y=-2x+4-—,

4

设点尸（以"）,

因为Q4与圆。:犬+丁=/（厂>0）相切，

22222

所以在直角三角形PAO中=|po|_r=m+„_r,

又点尸在OE上，即〃=一2m+4-1,

(r2、2

所以可得|尸呢—m-\9-—2m+4---—r9=5m2+mr~+16-16m-3r2H---，

I4j16

同理可得|P5「=|PC「—4=(m—4)2+("—2)2-4

、

22r4

=(m—4)2+-2m+4--2—4=5m2+mr2+16-16m—3r2+一，

716

2

所以=|PB|,则|PA|=\PB\,

故存在常数4=1,使得|/闻=4归即亘成立，

22

21.已知椭圆。：1+2=1（。〉6〉0）经过点（2,1）,焦距为2#,是椭圆。上不在

坐标轴上的两点，且A3关于坐标原点对称，设点P（0,2）,直线Q4交椭圆于另一点M,

直线PB交椭圆于另一点N.

（1）求椭圆。的标准方程；

k.

（2）记直线A5与肱V的斜率分别为求证：言为定值.

解：（1）因为焦距为2振，所以2c=2痴,0=逐，

y2

因为椭圆C:工+=1(«>b>0)经过点(2,1)

ab2

22l2

所以二+二=1,又因为

ab

联立以上可得a=2&力=J5

22

所以椭圆。的标准方程为三+乙=1

82

（2）因为A3是椭圆。上不在坐标轴上的两点，且A,3关于坐标原点对称，

设5（-%,-%）,且不在坐标轴上，所以-20<%o<20,-挺<为〈夜

设直线PA-.y=kPAx+2,与椭圆的另一个交点%）,

[22

土+21=1

联立椭圆与直线方程可得，82,消去,,得（4勺：+1）£+164p/+8=0

y=kPAx+2

91

D=（16%>-32（4V+1）>0,所以％2>->

因为&A=生工，

玉）

8___8_____________8X(；

%X.....................——222

由韦达定理可得…百+14V2+i-x0+4(y0-2)

8%

所以石22代入直线方程可得

x0+4(y0-2),

%=左一+2=生工?二~电——728(%-2)+2疗+8(%-2『

22

'/靖+4(%-2)-x0+4(y0-2)

同理，设直线依：丁=上肥％+2,与椭圆的另一个交点N（%,%）

22

乙+2=1

联立椭圆与直线方程可得82,消去y,得(4%pj+i)无2+16左M彳+8=0,

y=kPBx+2

91

D=(16^B)-32(4V+1)>0,所以解>--

7--2%+2

因kpB=3一=£一，由韦达定理可得

-%%0

8,_就2,

2+4+22

^,+2+1V(Jo)

颗％0

_Qy

所以％=2*°小2，代入直线方程可得

%。+4（%+2）

-8(%+2)+2年+8(%+2)2

%=%々+2=%？/2+4（；+2/2

为2+4(%+2]

因为直线AB与MN的斜率分别为kg

所以匕=&,

%

-8(%+2)+2年+8(%+2『8(%-2)+2靖+8(%-2『

婕+4(%+2)2城+4(%一2)2

幺=9

九2-西-8%迎

%一+4(%+2)X；+4(%-2『

%?为2+4%2T6,

化简可得心

%,升2+4为2+16'

k、V+4y2+16

所以广—0，代入=8-4%2,

22

伊伯w沪k-X；+4yo2+16_8-4y0+4y0+16_24_

化间叫H、02+4%2_16-8-4%2+4%2一16一区一

故得证.

22.如图，在三棱柱ABC-Age中，AB=AC=45,BC=2,侧面是正方形,

兀

二面角A-3C—用的大小是2;.