2022届高三模拟数学试卷(一) 附答案

2022届模拟数学试卷（一）附答案

数学

注意事项：

i.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务

必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的.

4+2i

Z=------

1.若复数Z满足1+】，则复数Z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

<1V'

，I、B,x>-3>

2.已知集合"=国'=皿”一/,集合J,则火ns=（）

A0B（2,8）c0，8）D（&网1

.】c=I—

3.已知6=1%2-1吸3,17）,则下列关系正确的是（）

Ac?<cBb<a<ccc<b<ab<c<a

4.已知角S的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线2x+y+3=0垂直，则

sina-cosa

sina+cosa的值为（）

A.-2B.3c.2D.3

5.数学上定义的距离都意味着最短，如平面上两点的距离定义为连接两点的线段的长度，

球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆指的

是经过球心的平面截得的圆），我们把这个弧长叫做两点间的球面距离.在三棱锥P/8c中，

以1.平面/8C,AC1BC,且ZC=BC,PA=AB=4.己知三棱锥P49C的四个顶点在球O

的球面上，则8,C两点的球面距离是（）

27r2也加

A.3B.3c.*D.显71

6.教育的目标是立德树人，是为新时代具有中国特色的社会主义培养全面发展的接班人，

某初中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展决定每天减少了一节学科类课程，增

加了一节活动课，为此学校特开设了传统武术，舞蹈，书法，小提琴四门选修课程，要求每

位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修

方式有（）

A.60种B.78种C.54种D.84种

/_V_123

7.若双曲线C：1射-（°>°,6>0）的一条渐近线被圆（x+2j+y=4所截得

的弦长为2,则C的离心率为（）

23

B.无■C.屿

A.RD.2

8.十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式:

//7口-1

AAAq.JI—1Jx

SitiX=X-----+———+1•4-(-1)------------1"-

315171(2»-l)l（其中xeR

w!=lx2x3x-xw01=1),

1——十———+，+（-］）-------+

现用上述公式求214161'2力-2'的值，下列选项中与该值最接

近的是（）

A.sin33°B.sin30°C.sin36°D.sin39°

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的

得2分.

9.某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：

第X年12345

利润y/亿元23457

已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为

y=l2x+a,则下列说法正确的是（）

a=0.6

变量y与x之间的线性相关系数厂<°

预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元

该人工智能公司这5年的利润的方差小于2

10.已知4,6>0,且则（

岫/+21+2。2月口.”出人0

11.棱长为3的正方体的展开图如图所示.已知，为线段8斤的中点，动点夕在正方体的

表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（）

A.8”与ZN是异面直线

B./尸与8仞所成角为60°

C.平面8ERL平面/8MV

D.若4MLHP,则点尸的运动轨迹长度为6

12.已知函数/⑶对任意KGR都有/（》+2）+/5）=0,且函数〃"I）的图象关于

（1,0）对称.当工卜“卜4-"］时,‘（'）=皿”.则下列结论正确的是（）

A.函数'=/（'）的图象关于点Gt,0）（keZ）中心对称

B.函数"'''I的最小正周期为2

C.当问2,3］时，/㈤=皿2-才）

函数》7忖在性2Kli"GZ）上单调递减

第n卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对

应题号后的横线上.

"=1

13.已知椭圆C：a*b2«>B>0）,若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,

则此椭圆的标准方程为

14.已知（i产=%+3…+%产，则＞/号+,+箫=.

15.在边长为3的正方形/BCD中，以点/为圆心作单位圆，分别交”8,4。于E,尸两点，

点P是即上一点，则丽丽的取值范围为.

16.设件“，圆%）与了轴正半轴的交点为与，与曲线j=瓜

的交点为Q*（%,片），直线与与x轴的交点为/（4,0）,若数列｛'J的通项公式

为。二4”-1,要使数列（劭+1一*/）成等比数列，则常数p=.

四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）

已知△/8C的内角4B,C的对边分别为“，b,c,2sinj4-sinB-2sinCcosB»0

（1）求角C的大小；

（2）若八48。的周长为6+2/,面积为24，求边c的长度.

18.（12分）

已知正项数列⑷的前n项和为耳，且焰=%%*】+1,&=1.

（1）求数列的通项公式；

b_2"+3

⑵若"2"4%“，求数列也）的前n项和为K.

19.（12分）

如图，在四棱锥PT8CD中，底面/8CD是平行四边形，PA=AB,ZR4D=ZBAD,E、F

分别是48、CO的中点，AD=2,PF=3,?&=6.

（1）求证：/OL平面以8；

（2）若尸*=2及，求二面角8JCT的余弦值.

20.（12分）2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青

团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100

名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：［40,50）、［50,60）、［60,70）、…、［90,

100］,统计结果如图所示：

■率/烟顺

0.030-------------------

0.020..................FT1*

0.015.............「:---------

0.（）10m---T■-----T-----1---1-3.

405060708090100伶分

（1）试估计这100名学生得分的平均数；

（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座

谈名单中随机抽取3人，记其得分在［90,100］的人数为6,试求§的分布列和数学期望；

（3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似

地服从正态分布N印,4）,其中〃近似为样本平均数，近似为样本方差S2,经计算

52=42.25.现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取500人，若这500名学生的得分相互

独立，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？

参考数据：

尸（〃-4T<X<M+b）=66827F（4-24T<X<〃+24r）=Q,9545

，，

产（/-3b<=0.9974

21.（12分）

已知抛物线r：V=（p>°）和圆c：（*-2）+/=4,点尸是r上的动点，当

直线OP的斜率为1时，△POC的面积为4.

（1）求抛物线r的方程；

（2）若A/、N是y轴上的动点，且圆C是的内切圆，求面积的最小值.

22.（12分）

/（z）=Ainx-ax2"R

已知函数八/€K）.

（1）若在定义域内有2个零点，求”的取值范围；

（2）若*e（Q+°°）,函数=",卜）在定义域内单调递减，求〃的取值范围.

长郡中学2022届模拟试卷（一）

数学参考答案

一、二、选择题

题号123456789101112

答案DBDBBCDAACBCBCDBC

1.D

4+Z(4+2r)(l-i)

=,一3

【解析】1+?+2

,故选D.

2.B

=In(x-2"={>2)

【解析】集合I-'{1)，集合

门丫、

B=<yy=-,x>-31>={,^|0<y<8}

\/小(词,故选B.

IJ，

3.D

・。《，

【解析】；7)，••vt1

2

b=log2-21og3=log2-log/9=log―<log1=0,.,

77T797，即b<°,故

选D.

4.B

1

»=­x

【解析】因为角点的终边与直线2、+y+3=C,垂直，即角a的终边在直线2上，

1sina-cosatana-11

tana=----------------=------------=-

所以2；sina-bcosatanor-fl3,故选艮

5.B

【解析】如图所示，取尸8的中点。，

FI

平面,且月(7・3(7,PA=AB=4.

则。为三棱锥外接球的球心,

心空二逑:2代

•・•22，

C=-2TTJi=--2^r2>/2=—

，663故选B.

6.C

【解析】由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选2门，

则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,2,2,

.铲；

先将4门学科按1,1,2分成三组，有4种方式，

再分到三个学年，有勾种不同方式，

生浴小36

由分步计数原理得，不同选修方式共有4种.

至其禺=18

同理将4门课程按0,2,2分成三组，再排列，有4种,

所以共有36+18・54种,

故选C.

7.D

-2-T=1(。>0,6>0I)_八

【解析】不妨设双曲线C：ab的一条渐近线为次一卬二U,

圆映+2|+V"的圆心为(一2,0),半径广=2,

^_|-2&-0|-26

别圆心到渐近线的距离为2©，

2=2,1_/=2)4_%

弦长Vc

化简得：4/=婷，即4("=女［解得。=2。，.」一12

故选D.

8.A

SltlX=X

(21)!

【解析】因为

则($明'=cosX

y2«-i>/犬4/1/I

+--•=1——十----------H-----F-11十…

(2/2-1)1-----)214161(2^-2)!

COS1=1--+-----H---'+l-ll"-11,

(2附-2)|+

214161

当/二时，则有

则

1,穴(180)

1----1--------1----1-(-1)*1+•••=sin-11=sitiO.57=sin0.57x°削sin32.7。

214161(2«-2)I12

sm33。，故选A.

9.AC

-1-]21

”±(1+2+3+4+5)=3y=-(2+3+4+5+7)=—

【解析】依题意5,55,

c<c广—\J_]2x3+d.

因为回归直线方程为>=12x+a必过样本中心点(x/1,即5，解得a=06,

故A正确，

则回归直线方程为2]+06,则x与》成正相关，即相关系数尸故B错误.

当X=6时N=12x6+06=78,即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正

确,

该人工智能公司这5年的利润的方差为

1匕21丫/21丫(.21?(.21丫/21丫174.

5k5)I5)I5)I5)[5)\25

故D错误;

故选AC.

10.BC

【解析】因0》0b>0且则有\2/4,当且仅当2时

取“=A不正确;

因&>口，，且a+八1,则b=\-a,0<1,

«2+Z?2=I224-(1—a)3=sfdt———a=i>=—

\2J22,当且仅当2时取“=，，，B正确；

因a>0,方>口，且&十右=1,则2。十2"》2也。,2。=2血/=2-72,当且仅当

2时取“="，C正确；

,,b=-a=1—

因°〉。，八0,且"&=1,则取e,即有e,于是得

«+l,n,/>,=1l-—,+1ln-=-—1<c0

目m0,D不正确.

故选BC.

11.BCD

【解析】由展开图还原正方体如下图所示，

IH

对于A,•••施城力B,.•.四边形WB为平行四边形，

...AN"BM,.♦.8〃与/N是共面直线，A错误；

对于B,.•/〃什.，

/与8"所成角即为/N/尸，

.：AN=NF=AF,；4NF为等边三角形，

../M4尸・60。，即4尸与8M所成角为60°,B正确；

对于C,平面BCMF,"U平面BCMF,：.3；

又CP1BM,助=BMG^ABMN,.•.6_1平面/8肋¥,

又C尸c平面CDEF,：.平面CDE川平面ABMN,C正确；

对于D,由正方体性质可知平面C/W,

取8C,CD,DN,NE,£尸中点G,Q,T,S,R,连接"G,GQ,QT,ST,SR,RH

则平面"平面CFN.点P的轨迹为正六边形SRHGQT的边，

6=6

2

.•.点P的轨迹长度为JD正确.

故选BCD.

12.BC

【解析】因为函数〃"对任意xcR,都有〃"2)+加)=0,

所以〃1+2)+〃1)=0,即〃x)+/(x-2)=0,所以｛+2)=〃1-2),

所以，」(，，即+4)恒成立，所以〃”的周期为4.

因为函数”的图象关于(-1,0)对称，所以将'="的图象向右平移一个

单位，得到”的图象，所以》=/(出关于(0,0)对称，

任取向L3],则卜-2)十叫

因为函数〃”对任意"一都有〃"2)+小)=°.即〃"+〃1)=0,所以

/(j)=-/(x-2)=-sin(x-2)

si.nx.-l<x<a

-sin3

所以

作出＞=的图象如图所示:

对于A：由图象可知：函数y=的图象关于点(2k,0)(上GZ)中心对称，故A错

味、巨；

对于B：函数，=匕''"的图象可以看成＞=的图象x轴上方的图象保留，把x轴下

方的图象翻折到x轴上方，所以函数'=卜''"的最小正周期为2.故B正确;

i八一,xeTl,31/f=-sinfx—2j=sin(2-x］一，

对于C：由前面的推等可得：当'乙故ltC正确；

对于D：作出'=/(卜1的图像如图所示，在［—2,—1］上函数'=0单调递增，故D

故选BC.

三、填空题

14.0

1

z12s2iX=—

【解析】根据题意，今芯=°得阳=(1—°)之，令2,得

-2=%+T+T+…+溜-L+Y+Y+…+番=一&-0

*01a2如22，因此222252皿0

22,故答案

为：o

6［一屈司

【解析】根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系，如图:

由题意可知/(0,0),B(3,0),C(3,3),D(0,3).

P(cos&,sin&y0494二

设点I2J,

PBPD=(3-cos8,-sin8),(-cos8,3-sin0)

=-cos0-(3—cos0)—$iti0(3—sin0)=1—3sin0-3co59

=1-3^2$m("f

&n(e+3<1

1-3^"V1-3应$in^+―<-2

所以I4J

即丽而的取值范围为「—3"-2],

故答案为上一3篇-2]

16.2或4

【解析】因为圆q："+"=*(&>°)与曲线>=正的交点为以优⑴，

所以£=£+);=w+与，即&=亚+勺,

由题可知，点名的坐标为由直线方程的截距式可得直线与Q的方程为:

4+上小

由点Q(~,乂)在直线只以上得：4段.

n一4+&=i-

将凡=也+勺乂=j勺代入％段并化简得：即=1+4+护工,

即4=甲+/=甲+2」

研华了pa*=4川+2"疝-+2*)=(4-p)甲+(2-p)2"

rJ\以，

怎+2一汽+1=42+2"2-尸(甲+】+2"(+1)=(16-34*+(4-2尸)291

令4.2-鹏&「叫)徂

q，得：

(16-甸4*+(4-202=(4-尸)4*+〃2-7)2”

9

由笙干(16-。)4"+(4-22)2*=式4-9)4"+式2-")2"心近

由等式、‘'''刃对任意的N恒成立得:

16-4尸二9(4-尹)”g=8

4-2p=q(2-p)即i”g=6

P=2T/P=4

"/或’.

解得"I"2,

故当P=2时，数列(,“.)4)成公比为4的等比数列，

当P=4时，数列｛劭“加”)成公比为2的等比数列，故答案为：2或4.

四、解答题

17.【解析】

(1)2sin/I-sinB-2sinCcosB-0

•.•在中，—MB+0,

.2sin(S+C)-sin5-2sinCeos5=0

•・

整理得2smScosCt2cosBsin(7-sin5-2sinCeos5-0解得=2

..C©(。㈤

,f

C=-

/.3.

2s=S=■RaisinC="a2)x=2g==8

(2)△/8C的面积为222①

△/8C的周长为6+24=>a+b+c=6+2心②

由余弦定理得,=。+"-2abeo5C=(a+b)-%加=2/③

将①②代入③，解得G=2名.

18.【解析】

⑴•.•4$*%%+i+L/=1,

.鹤=。化+l=>a2=3

当力,2时，4工_]=4/■】+1,

.•.4%-4治-1=44.11%.4,

.4%=劭(%“-

••6_1)，

.•.4w0，

=4.

...数列(4)的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差

的等差数列.

出一4=2

.•.⑷为等差数列,通项公式为%=2"-1.

U_24+3_2"+3_1_1

广西时=2"(2。1)(2"1)=21(2”1)-2"(2H1)

_L__L'hp__M++--:------------------1---------

2°xl(21x32ax5j(2*T(2%-1)2"(2«+l)J2"(2^+1)

19.【解析】

(1)证明：连接E兄BD,

E.尸是平行四边形18。边8的中点O£尸"，且EF=z4D=2,

EF=2'

融=有>=EF)+PE)=PF2^EF1PE=^>ADLPE

PF=3

J,

AP=AB^

匕PAD=/DAB>nkPAD耍LBAD=FD=BD

AD=AD

取8P的中点M,连接DM、AM,

DMIBP

AMLBP>=B?上

AMC\DM=M\平面4DM0班，幺A

ADLBP

ADLFE^ADL

BPC]PE=P

j平面以反

(2)解：设丝=芯，则"・月入2xt

,…(2x?+(2尸-8

cosNPAB=--■―1'——

在△巴8中,2-2J.2r①

(2/+/-5

cosZ.PAB=---------------

在△R4E中,2・2十人②

联立①②得：X

...cos/PAB=0n/PRB-90°,即R41抽

建立如图所示的空间直角坐标系工一乎,

得B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),

.BP=(-2,02)蕊=(0,2,0)

••l,，

nBP=0-K+Z=0X=Z

设是平面8PC的一个法向量，则[x8C=0V=0取

Z=1,得及=(L。/).

同理可得，平面/PC的一个法向量冽="'-1,0)

Jr、1

cos(〃，微〉二-

由图可知，二面角8-PC-力的余值为2.

20•【解析】

(1)x=45x0,1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0,1=70.5

(2)参加座谈的11人中，得分在[90,100]的有2人，

六0,1,2,

尸（＞。）=*蚩尸（＞卜鬻吟,尸（"3甯/

4012

243

P28

555555

/^)=0X55+1X55+2X55=11.

70.5.6,52)

P(X>71]=P[X>+=°^827=0.15865

记500名学生中得分高于77的人数为〃，则）~'（5观'力，其中P=°15865,

.尸(号=上)=%/(1-0皿1=0

••，

口…）_＜5。1-加

>1=>*<5079.4837

则产（if-寸产"牙血一可》

当1WLW79时，尸（刀=耳＞尸（弓"-1）

当&0W1W500时,尸0?=月〈尸（7=:-1）

.•.得分高于77分的人数最有可能是79.

21.【解析】

y=x

解得P(2P，2P),

（1）当直线。尸的斜率为1时，联立方程

此时2,解得P-4,

...抛物线p的方程为〉=4x.

⑵设尸(s。)，MOM,N(<M,由题意知%>4,

yx*+加(K-m\x-xQy-^mxQ=0

则直线PM：%,即1°7°0.

•.•直线尸”与圆C相切，

|2(j0-w)+wx0|二？

也一间2+(_/了

3

4(y0-⑼’+加元+4血°(%-⑺=45-W)+4不n(7-4)苏+4%加-4%=0

同理可得：(而一切+仇…”=。