中考数学复习之考点题型全归纳与分层精练（全国通用）：有理数(解析版)

专题01有理数

【专题目录】

技巧1绝对值的八种常见应用

技巧2有理数中的六种易错类型

【题型】一、有理数概念理解

【题型】二、用数轴上的点表示有理数

【题型】三、求一个数的相反数

【题型】四、求一个数的绝对值

【题型】五、有理数的加减乘除混合运算

【题型】六、科学记数法

【考纲要求】

1、了解有理数的概念，知道有理数与数轴上的点---对应.

2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值.

【考点总结】一、有理数

正数大于0的数叫做正数

意义：表示具有相反意义的量

负数在正数前面加上“一”号的数叫做负数

有数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴

理只有符号不同的两个数，叫做互为相反数

数⑴若a,b互为相反数，则a+b=O;

相反数

的(2)0的相反数是0;

相(3)在数轴上，互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等.

关数轴上点a与原点的距离nU做a的绝对值，记作时

概

绝对值a(。>0)

念绝对值具有非负性：时=■0(。=0)

-a(a<0)

倒数乘积为1的两个实数互为倒数

（1）必=1C7力互为倒数；

（2）0没有倒数；

（3）倒数等于它本身的数是1和-1.

科学计数法把一个数写成"IO"（其中〃为整数）的形式

【注意】

数轴

1、数轴的三要素：更良、正方向、单住长度（重点）

2、任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。

3、数轴上的点表示的数从左到右依次增大;原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.

【考点总结】二、有理数四则运算

同号两数相加，取原来的符号。并把它们的绝对值相加。

加法异号两数相加，取绝对储较大的加数的符号,并用较大数的绝对值减失较小数的绝对值。

加法运算律：①交换律a+b=b+a；②结合律（a+〃）+c=a+S+c）。

减法减去一个效等于加上这个数的相反数。即：a-b=a+（-h）.

两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘

有几个非零实数相乘。积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当

负因数有奇数个时，积为负

理乘法

数”个数相乘，有一个因数为0,积为0.

的乘法运算律：①交换律出尸儿；②结合律（a6）c=a3c）；③分配律43+C）="6+“C。

运两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除

除法

算0除以任何一个不等于0的数都得0

求〃个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做第。

乘方

如：a"=q•a：…•q读作a的〃次方（聂），在〃"中，々叫做底数，〃叫做指数。

〃个a

分级：加减是一级运算。除是二级运算，乘方和开方是三级运算，三级运算的题序是三

运算顺序二一、（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行

运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）

【注意】

1、有理数的加减混合运算

规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算

步骤：(1)减法化加法；

(2)省略括号和加号；

(3)运用加法运算律使计算简便；

(4)运用有理数加法法则进行计算。

注：运用加法运算律时,可按如下几点进行：

(1)同号的先结合；

(2)同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；

(3)互为相反数的两数相结合；

(4)能凑成整数的两数相结合：

(5)带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。

2、多个有理数相乘的法则及规律：

(1)几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；

负因数的个数是偶数时，积是正数。

确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。

(2)几个数相乘，有一个因数为0,积为0;反之，如果积为0,那么至少有一个因数是0.

注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数,再与分数相乘。

【技巧归纳】

技巧1:绝对值的六种常见应用

【类型】一、已知一个数求这个数的绝对值

L化简：

⑴1一(+7)|；(2)-|-8|；

【类型】二、已知一个数的绝对值求这个数

2.若|a|=2,则a=.

3.若|x|=|y|,且x=—3,则y=.

【类型】三、绝对值在求字母的取值范围中的应用

4.右|x|=—x,则x的取值范围是.

5.若|x-2|=2-x,则x的取值范围是

【类型】四、绝对值在比较大小中的应用

24

6.把一(一I),一1,一一§,0,用“〉”连接正确的是()

_42八2I4

A.0>-(-l)>-->——

53B.0>-(-1)>-^>--5

八24D.-(-1)>0>-|-||>-|

C.—(―]>——g

【类型】五、绝对值的非负性在求字母值中的运用

7.若a—+b—|+c—；=0,求a+b—c的值.

【类型】六、绝对值的非负性在求最值中的应用

8.根据冏加这条性质，解答下列问题：

(1)当2=时，|a—4|有最小值，此时最小值为；

参考答案

1.解：(1)原式=7.(2)原式=-8.

2.±23+3

4.x<05.x<2

6.C

7.解：由题意知a=J,b=T,c=J,所以a+b—c=J+，；=K.

乙J•aJ।X乙

8.H?:(1)4；0

(2)因为a,b互为相反数，所以b=-a.又因为a<0,b>0.

所以何一引+22+也|=3|+22+也|=-22+22+6=1?.

技巧2：有理数中的六种易错类型

【类型】一、对有理数有关概念理解不清造成错误

1.下列说法正确的是()

A.最小的正整数是0

B.一a是负数

C.符号不同的两个数互为相反数

D.-a的相反数是a

【类型】二,误认为|a|=a,忽略对字母a分情况讨论

2.如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是（）

A.负数B.负数或零

C.正数或零D.正数

【类型】三、对括号使用不当导致错误

3.计算：

【类型】四、忽略或不清楚运算顺序

4.计算：一5一（一5）x4吊x（—5）.

【类型】五'乘法运算中确定符号与加法运算中的符号规律相混淆

5.计算：一36x佶一看一1）

【类型】六、除法没有分配律

6.计算:

参考答案

1.D2.C

1119

3.解：原式=2+§—[+]=24.

4.解:原式=—5—（―5）W1°x（—5）=-30.

5.解：原式=-36情一（一36内，一（一36）x1

=-21+30+36

=45.

6.解：原式=24■仕一合一看）

=2舄

=576.

方法指导：解本题时往往会出现将乘法分配律运用到除法运算中的错误，从而出现“原式=24+；—244一

JO

24-'=72—192—144=-264”这样的错误.

【题型讲解】

【题型】一、有理数概念理解

jr22

例1、在下列实数：->百、际、Ji石、—.-0.0010001中，有理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【提示】由题意根据有理数的定义：整数与分数统称有理数，进行提示即可判断.

【详解】

解：，；"27=3，J16=4,

22

:.际,屈，〒-0.0010001是有理数，其它的是无理数.

有理数有4个.

故选：D.

【题型】二、用数轴上的点表示有理数

例2、如图，数轴上两点M,N所对应的实数分别为"4”,则的结果可能是（）

।,、，।1

-2-1012

A.-1B.IC.2D.3

【答案】C

【提示】根据数轴确定〃?和〃的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择.

【详解】解：根据数轴可得0<加<1，一2<〃<一1，则1〈%-“<3。故选：C

【点睛】

本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确〃?和〃的范围，然后再确定机-〃的范围即可.

【题型】三、求一个数的相反数

例3、下列式子中，正确的是（）

A.|-5|=-5B.-|-5|=5C.-（-5）=-5D.-（-5）=5

【答案】D

【解析】

试题解析：A.1-51=5,故原选项错误;

B.-|-5|-5,故原选项错误；

C.-(-5)=5,故原选项错误；

D.-(-5)=5,故正确.

故选D.

【题型】四、求一介数的绝对值

例4、-2020的绝对值是()

1

A.-2020B.2020C.———D.----

20202020

【答案】B

【提示】根据绝对值的定义直接解答.

【详解】解：根据绝对值的概念可知：卜2020|=2020,故选：B.

【题型】五、有理数的加减乘除混合运算

例5、计算:

(1)12-(-18)+(-7)-15

(2)(—4)x8—(—16)+11g)

⑶匕(3飞5+立111卜一/c2外八

(4)-14-(1-0.5)X|X[2-(-3)2]

【答案】(1)8；(2)-44；(3)-20；(4)-

6

【提示】

(1)根据有理数的减法法则和加法法则计算即可：

(2)根据有理数的乘法法则、除法法则和减法法则计算即可:

(3)根据乘法分配律和各个运算法则计算即可；

(4)根据有理数的运算顺序和各个运算法则计算即可.

【详解】

w：(1)12-(-18)+(-7)-15

=12+18+(-7)-15

=30+(-7)-15

=23-15

=8

(2)(—4)x8—(—1—

=—32一(一+

=-32-(-16)xf--^

=-32-12

=-44

(3511)/

(3)+—x(-24)

(4612)

3511

=~x(-24)-qx(-24)+—x(-24)

=-18+20-22

=-20

(4)-l4-(l-0.5)xlx[2-(-3)2]

=-l-^x|x[2-9]

【题型】六、科学记数法

例6、2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于

距离地球36000公里的地球同步轨道.将36000用科学记数法表示应为（）

A.0.36X105B.3.6xlO5C.3.6xlO4D.36xl04

【答案】c

【提示】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中iv|a|<io,n为整数.当原数绝对值大于I时，n是

正数；当原数绝对值小于1时，n是负数.

【详解】解：36000=3.6xlO4,故选：C.

有理数（达标训练）

一、单选题

I.（2022.浙江金华.一模）-2的相反数是（）

A.2B.；C.—2D.—

22

【答案】A

【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，直接求解即可.

【详解】解：由相反数的定义可知-2的相反数是2,

故选：A.

【点睛】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解决问题的关键.

2.（2022•辽宁抚顺•模拟预测）的绝对值等于（）

A.--B.1C.2D.-2

22

【答案】B

【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案.

【详解】解：的绝对值是

故选：B.

【点睛】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键.

3.（2022・上海普陀・二模）下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是

A.2B.1C.-1.5D.-3

【答案】D

【分析】根据到原点距离最远的点就是绝对值最大的数，时每个数作出判断，即可求出答案.

【详解】2到原点的距离是2个长度单位，

1到原点的距离是I个长度单位，

-1.5到原点的距离是1.5个长度单位，

-3到原点的距离是3个长度单位，

即到原点的距离最远的点是-3.

故选：D.

【点睛】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离，求出每一个数的绝对值

就是到原点的距离.

4.（2022・重庆铜梁•一模）在下列四个选项中，比-1小的数是（）

A.1B.-2C.0D.2

【答案】B

【分析】根据“正数>o>负数，两个负数比较大小，绝对■值大的反而小”即可得出答案.

【详解】解：1-21=2,|-1|=1,2>1,

.■.-2<-1<0<1<2,

，其中比-1小的数是-2.

故选：B.

【点睛】本题考查了有理数的比较大小，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键.

5.（2022・河南•三模）下列各数中绝对值最大的数是（）

A.-4B.-3C.0D.1

【答案】A

【分析】先求出各数的绝对值，再比较大小即可解答.

【详解】解：|Y|=4,卜3|=3,|0|=0,同="，

♦；4>万>3>0,

...绝对值最大的数是-4,

故选：A.

【点睛】本题考查了实数的大小比较以及绝对值的概念，解题的关键是求出各数的绝对值.

6.（2023・福建莆田•二模）中国工程院院士、世界杂交水稻之父袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应

用与推广，发明“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，为中国粮食安全、农业科学发展和

世界粮食供给作出杰出贡献.2021年，全国粮食再获丰收，全年粮食总产量达到13657亿斤，粮食产量连

续7年稳定在1.3万亿斤以上.将13657用科学记数法表示应为（）

A.0.13657xl05B.1.3657xl05C.13.657xlO3D.1.3657xl04

【答案】D

【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如〃为正整数，据此解答.

【详解】解：13657用科学计数法表示应为1.3657x104

故选：D.

【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

二、填空题

7.（2022•河南・郑州外国语中学模拟预测）计算：|-3+2|=.

【答案】1

【分析】先计算出绝对值符号里面的结果，再求得此题结果即可.

【详解】解：卜3+2|=卜1|=1,

故答案为：1.

【点睛】此题考查了有理数的加法和绝对值，关键是掌握有理数的加法法则.

8.（2021•福建漳州•模拟预测）如图，数轴上A,8两点表示的两个数互为相反数（一格表示单位长度为1）,

则点C表示的数是.

ACB

【答案】-1

【分析】根据数轴上表示的数互为相反数的性质：即到原点的距离相等，再由两点之间的距离确定出A表

示的数，进而可得答案.

【详解】解：：数轴上48两点表示的数互为相反数，

••.A,B两点到原点的距离相等，

•••点A与点8之间的距离为6个单位长度，

点A到原点的距离为6+2=3,

•.•点A在原点的左侧，

...点A发示的数是-3,

二点C表示的数是-1

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数的性质，熟练掌握这些基础知识是解题的关

键.

三、解答题

2

9.计算：6x^l-lj-（-2）-5-i.

【答案】-17

【分析】根据有理数的混合运算进行计算即可求解.

【详解】解：原式=6x；-6x；-4x4

=2-3-16

=-17.

【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键.

有理数（提升测评）

一、单选题

1.（2022河北邯郸♦三模）等号左右两边一定相等的一组是（）

A.-（a+b）=-a+bB.a3=a+a+aC.-2（a+/＞）=-2«-2/7D.-^a-b）=-a-b

【答案】C

【分析】利用去括号法则与正整数幕的概念判断即可.

【详解】解：对于A,-（a+b）=-a-h,A错误，不符合题意；

对于B,a^aaa,B错误，不符合题意；

对于C,-2（a+b）=-2a-2b,C正确，符合题意；

对于D,-（a-b）=-a+b,D错误，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了去括号法则，以及正整数幕的概念，熟练掌握相关定义与运算法则是解题的关键.

2.（2022•河北保定•二模）嘉琪在《趣味数学》中学习到远古时期的一种计数方法，即“结绳计数”，类似现

在我们熟悉的“进位制如图所示，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，例如，图1中表示

的数为31,可知图2中表示的数为（）

【答案】C

【分析】由题可知，可知图2中的五进制数为321,化为十进制数即可.

【详解】解：根据题意得：

图2中的五进制数为321,

化为卜进制数为:321=3X52+2X5'+1X50=86.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了进位制，解题的关键是会将五进制转化成十进制.

3.(2022.安徽.三模)下列各数中，化简结果最小的是()

A.-5B.|-5|C.(-5)-1D.(-5)2

【答案】A

【分析】分别计算绝对值，负整数指数幕，乘方运算，再比较各数的大小，从而可得答案.

【详解】解：Q|-5|=5,(-5)“=-g,(-5『=25,

而-5<]<5<25,

\-5<(-5)'<|-5|<(-5)2,

所以最小的数是-5,

故选：A

【点睛】本题考查的是绝对值的含义，负整数指数幕的含义，有理数的乘方运算，有理数的大小比较，掌

握以上基础知识是解本题的关键.

4.(2022.贵州贵阳.三模)如图，在不完整的数轴上，点A,8分别表示数a,b,且a与人互为相反数，若

A8=8,则点A表示的数为()

-------11►

A------B

A.-4B.0C.4D.8

【答案】A

【分析】根据48=8,且点A,8分别表示数a,b互为相反数，可知A,8两点到原点的距离相等，进而

可求出8点表示的数，进而可求出A点表示的数.

【详解】解：因为A8=8,且点A,8分别表示数a,h互为相反数，

所以A,B两点到原点的距离相等，

则8点表示的数为：8+2=4,

则A点表示的数为：-4,

故选：A.

【点睛】本题考查相反数的几何意义，数轴上两点之间的距离，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的

关键.

5.(2022•河北唐山•三模)如图1,点A,B,C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为-5,b,

4,某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字。对齐数轴上的点A,发现点8对应刻度1.8cm,点C

对齐刻度5.4cm.则数轴上点8所对应的数b为()

_.4B(7.

AB.C一

-^5~~r~64

图1

A.3B.—1D.—3

【答案】C

【分析】结合图1和图2求出I个单位长度=0.6cm,再求出求出A8之间在数轴上的距离，即可求解;

【详解】解：由图1可得AC=4-(-5)=9,由图2可得AC=5.4cm,

...数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为=54+9=0.6(cm),

".,AB=1.8cm,

，AB=1.8X).6=3(单位长度)，

在数轴上点B所对应的数6=-5+3=-2；

故选：C

【点睛】本题考查了数轴，利用数形结合思想解决问题是本题的关键.

6.(2022•陕西・西安工业大学附中三模)下列算式中，运算结果为负数的是()

A.-I2B.-1-(-5)C.-(-D.-2x0

6

【答案】A

【分析】先逐一计算，后作出判断即可.

【详解】解：；是负数，

••.A符合题意；

-1-(-5)=4,是正数，

；.B不符合题意;

：-(-=7＞是正数，

66

...C不符合题意；

-2x0=0,既不是正数，也不是负数，

•••D不符合题意；

故选:A.

【点睛】本题考查了有理数的运算，负数，熟练掌握有理数的运算是解题的关键.

二、填空题

7.(2022•浙江宁波•一模)定义：[x]表示不大于x的最大整数，(x)表示不小于x的最小整数，例如：[2.3]=2,

(2.3)=3,[-2.3]=-3,(-2.3)=-2.则[1.7]+(—1.7)=.

【答案】0

【分析】根据题意，[L7]中不大于1.7的最大整数为I,(-1.7)中不小于-1.7的最小整数为-1,则可解答

【详解】解：依题意：(-1.7)=-1

/.[1.7]+(-1.7)=1-1=0

故答案为：0

【点睛】此题主要考查有理数大小的比较，读懂题意，