2024年中考数学复习（全国版）第二章 方程与不等式（测试）（解析版）

第二章方程与不等式（考试时间：100分钟试卷满分：120分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可．【详解】解：依题意，得．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键．2．某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题中数量关系列出方程即可解题；【详解】解：由10张A票的总价与19张B票的总价相差320元可知，或，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键在于能根据实际情况对题目全面分析．3．为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】设小红答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．【详解】解：设小红答对的个数为x个，由题意得，解得，故选B．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．4．上学期某班的学生都是双人同桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，设上学期该班有男生x人，女生y人，根据题意可得方程组为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设上学期该班有男生x人，女生y人，则本学期男生有（x+4）人，根据题意，列出方程组，即可求解．【详解】解：设上学期该班有男生x人，女生y人，则本学期男生有（x+4）人，根据题意得：．故选：A【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．5．【原创题】在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0【答案】B【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【详解】解：小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为：即：小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：即：从而正确的方程是：故选：【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.6．满足的整数的值可能是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】先化简并估算的范围，再确定m的范围即可确定答案．【详解】，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了绝对值的化简，无理数的估算和不等式的求解，熟练掌握知识点是解题的关键．7．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（

）A．且 B． C．且 D．【答案】C【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，∴．整理得，．∵方程有两个实数根，∴判别式且．由得，，解得，．∴k的取值范围是且．故选：C【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．8．若关于x的分式方程有正数解，求m的取值范围．甲解得的答案是：，乙解得的答案是：，则正确的是（

）A．只有甲答案对 B．只有乙答案对C．甲、乙答案合在一起才正确 D．甲、乙答案合在一起也不正确【答案】D【分析】先解分式方程，得出，根据关于x的分式方程有正数解，得出，解不等式组即可得出答案．【详解】解：，去分母得：，移项，合并同类项得：，解得：，∵关于x的分式方程有正数解，∴，解得：或，且，∴甲、乙答案合在一起也不正确，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解不等式组，解题的关键是根据关于x的分式方程有正数解，列出关于m的不等式组．9．【原创题】设为实数，则x、y、z

中至少有一个值（

）A．大于 B．等于 C．不大于 D．小于【答案】A【分析】先计算x+y+z，再利用配方法得到x+y+z＝，根据非负数的性质和＞3得到x+y+z＞0，根据有理数的性质得到x、y、z中至少有一个正数．【详解】解：x+y+z＝＝，∵≥0，≥0，≥0，＞0，∴x+y+z＞0，∴x、y、z中至少有一个大于0．故选：A．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．10．【创新题】已知多项式，多项式．①若，则代数式的值为；②当，时，代数式的最小值为；③当时，若，则关于x的方程有两个实数根；④当时，若，则x的取值范围是．以上结论正确的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】①把代入解方程即可求解；②把代入，再配方求最小值即可；③把代入解方程即可求解；④根据绝对值的意义求解即可．【详解】解：①若，则，解得，或，∴的值为；故①错误；②当时，，∴当时，代数式的最小值为；故②错误；③由题意得，，∴或，解得，或；解，即，没有实数解，∴关于x的方程有两个实数根，故③正确；④当时，∴，解得；故④错误；综上，只有③正确；故选：B．【点睛】本题考查了配方法的应用，解一元二次方程、解不等式组、绝对值的意义，理解绝对值的性质和一元二次方程的解法是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．【原创题】已知关于x的一元一次方程12024x+3=2x+b的解为x=2，则关于y的一元一次方程12024【答案】y=1【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键；所以由题意易得12024y+1+3=2【详解】解：由方程12024y+1=2y−1+b因为关于x的一元一次方程12024x+3=2x+b的解为所以把y+1看作一个整体，则方程12024y+1+3=2解得：y=1，故答案为y=1．12．如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是．先化简，再求值：，其中解：原式【答案】5【分析】根据题意得到方程，解方程即可求解．【详解】解：依题意得：，即，去分母得：3-x+2(x-4)=0，去括号得：3-x+2x-8=0，解得：x=5，经检验，x=5是方程的解，故答案为：5．【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．13．关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为．【答案】/1.5/【分析】根据方程根的定义得到，，然后把(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54变形后，利用整体代入，得到关于a的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可．【详解】解：∵关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，∴，∴，∵(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，∴[2（am2－2bm＋a）][3(an2－2bn)－2a]＝54∴解得或∵ab≠0∴a，b均为非零实数，∴故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键．14．点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为．【答案】【分析】先分别解一元一次方程和二元一次方程组，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：，移项合并同类项得，，系数化为1得，，∴点Q的横坐标为5，∵，由得，，解得：，把代入①得，，解得：，∴，∴点Q的纵坐标为，∴点Q的坐标为，∴点Q关于y轴对称点的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题的关键．【新考法】信息题15．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（ɡuǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为尺，立夏的晷长为尺．【答案】14.5【分析】设相邻两个节气晷长减少的量为尺，由题意知，，计算求出相邻两个节气晷长减少或增加的量；根据立夏到夏至的减少量求解立夏的晷长即可．【详解】解：设相邻两个节气晷长减少的量为尺，由题意知，，解得，，∴相邻两个节气晷长减少或增加的量为1尺；∵，∴立夏的晷长为4.5尺；故答案为：1；4.5．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意列方程．【新考法】与一元二次方程有关的新定义问题16．将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝，的最大值是．【答案】4；-3【分析】利用（）与方程是“同源二次方程”得出，，即可求出；利用一元二次方程根与系数的关系可得，，进而得出，设（），得，根据方程有正数解可知，求出t的取值范围即可求出的最大值．【详解】解：根据新的定义可知，方程（）可变形为，∴，展开，，可得，，∴；∵，，∴，∵方程（）有两个根为、，∴，且，∴，设（），得，∵方程有正数解，∴，解得，即，∴．故答案为：4，-3．【点睛】本题考查新定义、一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系得到是解题的关键．三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）17．由工业和信息化部人才交流中心和国际公开赛组委会共同主办的睿抗机器人开发者大赛，年月日在线上召开赛季启动大会为备战机器人大赛，某校对机器人进行米比赛，“冲锋”和“东风”两个机器人进入了决赛比赛中，“冲锋”先出发秒后，“东风”从同一起始位置出发，结果“东风”迟到秒到达终点已知“东风”是“冲锋”的平均速度的倍，求“冲锋”的平均速度．【答案】“冲锋”的平均速度米秒【分析】设“冲锋”的平均速度为米秒，则“东风”的平均速度的米秒，根据“冲锋”从起点出发秒后，“东风”才从起点出发，结果“东风”迟到秒到达终点，可得方程，解出即可．【详解】解：设“冲锋”的平均速度为米秒，则“东风”的平均速度的米秒，由题意得，解得：，经检验是原方程的解．答：“冲锋”的平均速度米秒．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系18．已知一元二次方程□，其中系数“□”印刷不清．(1)嘉嘉把“□”猜成是2，请你解方程；(2)淇淇说：“我看答案该方程有两个相同的根”请你通过计算说明“□”是几？【答案】(1)，(2)【分析】本题考查一元二次方程的解法、一元二次方程的根的判别式，解题的关键是公式法解一元二次方程．（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据方程有两个相同的根可得，代入计算解题即可．【详解】（1）解：，，方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，；（2）设“□”里的数为，∵该方程有两个相同的根，∴，即,解得：，∴“□”里的数为．19．整式的值为P．(1)当m＝2时，求P的值；(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．【答案】(1)(2)【分析】（1）将m＝2代入代数式求解即可，（2）根据题意，根据不等式，然后求不等式的负整数解．【详解】（1）解：∵当时，；（2），由数轴可知，即，，解得，的负整数值为．【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．20．下面是小辉和小莹两位同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：令小辉：由②得，．③…………第一步将③代入①得，．……第二步整理得，．………………第三步解得．…………第四步将代入③，解得．………第五步∴原方程组的解为……………第六步小莹：得，．………………第一步解得，…………第二步将代入①得，．…………第三步整理得，．………………第四步解得…………第五步∴原方程组的解为…………第六步任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题．①我选择___________同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是___________；②该同学从第___________开始出现错误，这一步错误的原因是___________；任务二：直接写出该方程组的正确解；任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）．【答案】①小辉；等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数法，所得结果仍是等式）；②三；去括号时，括号外是“”号，去年括号后未给括号内的第二项进行变号；任务二：；任务三：【详解】任务一：①小辉；等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数法，所得结果仍是等式）；②三；去括号时，括号外是“”号，去年括号后未给括号内的第二项进行变号；或①小莹；等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式）；②四；移项未变号；任务二：令得，解得：将代入①得，解得：正确的解为任务三：．得解得：，代入①得，解得：【点睛】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方以及特殊角的三角函数值，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键．【新考法】数学与规律探究——图形规律规律21．为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．【答案】(1)16，20；，4n＋4(2)存在，见解析【分析】（1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量；（2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少1的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解证明假设成立．【详解】（1）图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9图3的白砖数量为12+4=16图4的灰砖数量应为1+2+3+4+3+2+1=16图4的白砖应比图3上下各多一行得图4白砖的数量为：16+4=20图1灰砖的数量为1图2灰砖的数量为4图3灰砖的数量为9图4灰砖的数量为16得图灰砖的数量为图1白砖的数量为8=图2白砖的数量为12=图3白砖的数量为16=图4白砖的数量为20=得图白砖的数量为故答案为：16，20；，4n＋4．（2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少1∴白砖数量为，灰砖数量为∴=∴∴∴，或（舍去）故当时，白砖的数量为24，灰砖的数量为25，白砖比灰砖少1故答案为：存在．【点睛】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质．22．某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：水果品种梨子菠萝苹果车厘子批发价格（元/kg）45640零售价格（元/kg）56850请解答下列问题：(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？【答案】(1)500元；(2)方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．【分析】（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润=每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；（2）设购进菠萝mkg，则购进苹果，根据“菠梦的进货量不低于88kg，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出各进货方案．【详解】（1）解：设第一天，该经营户批发菠萝xkg，苹果ykg，根据题意得：，解得：，∴元，答：这两种水果获得的总利润为500元；（2）解：设购进菠萝mkg，则购进苹果，根据题意：，解得：，∵m，均为正整数，∴m取88，94，∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．23．某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁甲食材50毫克乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价A包装1千克45元B包装0.25千克12元（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元【分析】（1）设乙食材每千克进价为元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克列分式方程即可求解；（2）①设每日购进甲食材千克，乙食材千克．根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解；②设为包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量不低于B的数量，可以得到m的取值范围，从而可以求得总利润的最大值．【详解】解：（1）设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，由题意得，解得．经检验，是所列方程的根，且符合题意．（元）．答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元．（2）①设每日购进甲食材千克，乙食材千克．由题意得，解得答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克．②设为包，则为包．记总利润为元，则．的数量不低于的数量，，．，随的增大而减小。当时，的最大值为2800元．答：当为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程、二元一次方程的应用，解答本题时要明确题意、弄清表格数据的意义及各种量之间关系，利用方程的求未知量和一次函数的性质解答，注意分式方