同济六版高数第2章第2节

同济六版高数第2章第2节目录CONTENCT引言函数的极限与连续导数与微分中值定理与导数的应用不定积分与定积分微分方程与级数01引言本节主要介绍了数列极限的概念、性质以及运算法则，是微积分学的基础内容之一。通过本节的学习，可以了解数列极限的基本思想，掌握求数列极限的方法，为后续学习函数的极限和连续、微分和积分等概念打下基础。章节概述理解数列极限的定义及性质；掌握数列极限的四则运算法则；了解数列极限存在的条件及判别方法；能够运用所学知识解决一些实际问题。学习目标02函数的极限与连续要点三极限的定义设函数$f(x)$在点$x_0$的某个去心邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$epsilon$（无论它多么小），总存在正数$delta$，使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0|<delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|<epsilon$，那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$xtox_0$时的极限。要点一要点二极限的性质唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、有理运算性质（四则运算）。极限存在的条件左右极限存在且相等。要点三函数的极限连续的定义设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量$Deltax$趋于零时，对应函数值的增量$Deltay$也趋于零，即$lim_{Deltaxto0}Deltay=0$，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处连续。连续的性质局部有界性、局部保号性、运算性质（四则运算、复合运算）。连续的条件左右极限存在且等于函数值。函数的连续性有极限不一定连续01函数在某点有极限，但在该点可能没有定义或定义的值不等于极限值，因此函数在该点不连续。连续一定有极限02如果函数在某点连续，则该函数在该点一定有极限，且极限值等于函数值。连续函数的性质03连续函数在其定义域内具有许多良好的性质，如最大值最小值定理、介值定理、零点存在定理等。这些性质在微积分学、数学分析等领域有着广泛的应用。极限与连续的关系03导数与微分导数的定义与性质导数的定义：设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Deltax$（点$x_0+\Deltax$仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量$\Deltay=f(x_0+\Deltax)-f(x_0)$；如果$\Deltay$与$\Deltax$之比当$\Deltax\to0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数。导数的性质可导函数的和、差、积、商仍可导。如果两个函数在某点都可导，那么它们的复合函数在该点也可导。如果函数在某点的左右导数都存在且相等，则该函数在该点可导。01020304导数的定义与性质微分的定义：设函数$y=f(x)$在某区间内有定义，$x_0$及$x_0+\Deltax$在这区间内，如果函数的增量$\Deltay=f(x_0+\Deltax)-f(x_0)$可表示为$\Deltay=A\Deltax+o(\Deltax)$（其中A是不依赖于$\Deltax$的常数），而$o(\Deltax)$是比$\Deltax$高阶的无穷小，那么称函数$f(x)$在点$x_0$是可微的，且A\Deltax称作函数在点$x_0$相应于自变量增量$\Deltax$的微分，记作$dy$，即$dy=A\Deltax$。微分的定义与性质微分的性质微分运算具有线性性。微分是函数改变量的线性部分。微分运算满足交换律和结合律。微分的定义与性质导数与微分的关系联系区别函数在某点的导数是该点微分的商，即$f'(x)=frac{dy}{dx}$。微分和导数都是描述函数局部性质的重要工具，它们之间存在密切的联系。微分是函数增量的线性部分，而导数则是微分的商。微分是函数增量的线性部分，它是一个具体的数值或表达式；而导数则是描述函数在某一点处的变化率，它是一个极限值。导数与微分的关系04中值定理与导数的应用罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)=f'(ξ)/g'(ξ)。如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。80%80%100%导数的应用通过导数判断函数的单调性，若在某区间内f'(x)>0，则函数在该区间内单调增加；若f'(x)<0，则函数在该区间内单调减少。通过导数判断函数的极值点，若在点x0处f'(x0)=0且在该点两侧导数异号，则函数在x0处取得极值。通过二阶导数判断曲线的凹凸性，若在某区间内f''(x)>0，则曲线在该区间内凹；若f''(x)<0，则曲线在该区间内凸。函数的单调性函数的极值曲线的凹凸性利用微分中值定理求解未定式的极限问题，通过分子分母分别求导来简化计算过程。洛必达法则泰勒公式函数的图像描绘利用微分中值定理将函数展开成多项式形式，便于近似计算和误差分析。通过微分中值定理分析函数的性质如单调性、极值点和凹凸性等来描绘函数的图像。030201微分中值定理的应用05不定积分与定积分01020304定义线性性质积分区间可加性积分与微分互逆性不定积分的定义与性质若$a<c<b$，则$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^{b}f(x)dx$。$int[af(x)+bg(x)]dx=aintf(x)dx+bintg(x)dx$（$a,b$为常数）。设函数$f(x)$在区间$I$上有定义。若存在可导函数$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$对任意$xinI$成立，则称$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的一个原函数。此时，称$intf(x)dx=F(x)+C$（$C$为常数）为$f(x)$在区间$I$上的不定积分。若$F'(x)=f(x)$，则$intf(x)dx=F(x)+C$。定义设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有定义。若对于任意分割$T:a=x_0<x_1<cdots<x_n=b$，及任意点集${xi_i}subset[x_{i-1},x_i]$（$i=1,2,ldots,n$），均有$lim_{lambdato0}sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i=J$存在且唯一，则称$J$为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记作$int_{a}^{b}f(x)dx=J$。线性性质$int_{a}^{b}[af(x)+bg(x)]dx=aint_{a}^{b}f(x)dx+bint_{a}^{b}g(x)dx$（$a,b$为常数）。区间可加性若$a<c<b$，则$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^{b}f(x)dx$。保号性若在$[a,b]$上，$f(x)geq0$（或$leq0$），则$int_{a}^{b}f(x)dxgeq0$（或$leq0$）。定积分的定义与性质联系区别不定积分与定积分的关系不定积分和定积分都是对函数进行积分运算，它们之间有着密切的联系。不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程，而定积分则是求一个函数在某个区间上与坐标轴围成的面积的过程。在实际应用中，不定积分常常作为定积分的计算工具。不定积分的结果是一个函数族（即原函数加上任意常数），而定积分的结果是一个确定的数值。此外，不定积分的运算过程相对简单，而定积分的运算过程则需要考虑更多的因素，如被积函数的性质、积分区间的选择等。06微分方程与级数微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程，通常表示为包含未知函数及其导数的等式。微分方程的定义根据微分方程的阶数、线性与非线性、常系数与变系数等特征进行分类。微分方程的分类包括解的存在性、唯一性、稳定性等，这些性质对于理解和求解微分方程具有重要意义。微分方程的性质微分方程的定义与性质级数是由无穷多个数相加而成的和，通常表示为求和符号下的数列形式。级数的定义根据数列项的性质，级数可分为正项级数、交错级数、任意项级数等。级数的分类包括收敛性、发散性、绝对收敛与条件收敛等，这些性质决定了级数的和是否存在以及如何求和。级数的性质级数的定义与性质微分方程和级数都是数学分析中的重要工具，它们之间有