易错点11 直线与圆-2022年高考数学考试易错题（新高考专用）（教师版含解析）

易错点11直线与圆

易错题［01］写直线的截距式方程忽略截距为零的情况

直线的截距式方程为^+2=1,其中a力分别为该直线在X轴、y轴上的截距，用截距式方

ab

程表示直线，首先保证直线在x轴、y轴上的截距都存在，且不为零，当截距不存在，或截

距为零，不能使用截距方程表示直线。

易错题(02］利用斜率判断直线的垂直忽略斜率不存在的情况

若直线44的斜率分别为人，&，贝以U=&&=-1,另外还要注意当一条直线的斜率不存

在，另一条直线的斜率为零，这两条直线也垂直，因此用斜率判断直线的垂直，不要忽略斜

率不存在的情况，此外为了避免讨论直线的斜率是否存在，可利用直线的方向向量，若

分别为直线1„12的方向向量，则4_LJoa7=0。

易错题【03】忽视方程表示圆的条件致误

圆的标准方程为(x-a)，(y-4=r2(r>0),圆的一般方程为V+9+以+后,+尸=(),在

用圆的一般方程解题时要注意£>2+炉-4/>0这一条件。

易错题［04］忽略三角形三顶点不共线致误

求解与4ABC与直线与圆的交汇问题，要注意三点不共线。

易错题01

直线/过点P(l,3)，且在两坐标轴上的截距相等,则直线/的方程为

【警示】本题错误解法是：因为直线/过点P(l,3),且在两坐标轴上的截距相等，设直线/的

方程为二+上=1,则,+』=1,所以。=4,故直线/的方程为二+上=1,即》+、-4=0.

aaab44

【答案】y=3x或x+y-4=0

【问诊】错误原因是忽略宜线/过原点，截距为零的情况.正确解法为：若直线/过原点，满足

题意，此时直线/的方程为y=3x；若直线I不过原点,设直线/的方程为二+工=1,则

aa

i3xv

一+二=1,所以a=4,故直线/的方程为之+上=1,即x+y—4=0.所以直线/的方程为

ab44

y=3x或x+y-4=0.

【叮嘱】直线/的方程可以表示为^+上=1的条件是直线I在两坐标轴上的截距存在且不

ab

为零.

变式练习〉)

1.过点A(l,4),且横、纵截距的绝对值相等的直线共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】C

【解析】当直线经过原点时，横、纵截距都为0,符合题意，当直线不经过原点时，设直线

xv1+-=1|a=-3{a-5

方程为±+9=1.由题意得b解得八°或《u综上，符合题意的宜线共有3条.

。b\\a\=\b\,也=3[b=5

故选C.

2.过点A。,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()

A.x-y+l=OB.x+y-3=0

C.2x-y=0或x+y-3=0D.2x-y=0或x-y+l=0

【答案】D

【解析】当直线过原点时，满足题意，方程为y=2x,即2x—y=0；当直线不过原点时，

设方程为±+且=1,..・直线过(1,2),工一2=1,,a=_1,.•.方程为x-)+=O,故选

a-aaa

D.

。为何值时,(1)直线/i：x+2ay—1=0与直线，2：(3〃—l)x—ay—1=0平行?

(2)直线&2x+a)，=2与直线如ax+2y=l垂直？

【警示】本题错误解法是：(1)直线x+2a)，-1=0与直线(3a—l)x—纱一1=0的方程可变形

为y=__Lx+L与\，=%二

7Jy2/十2小)axa'

•当__L=%二1且

・,」2aa旦牙cf

即时,两直线平行.

(2)当一第一?=—1时，两直线垂直，此方程无解，故无论。为何值时，两直线都不垂直.

【问诊】（1）没考虑斜率不存在即。=0的情况；（2）没有考虑/3的斜率不存在且14的斜率为0

也符合要求这种情况.

【答案】⑴①当"=0时,两直线的斜率不存在，直线h：xT=0,直线』x+l=0,此时

②当时,/1：y=一斗产+/,

直线人的斜率为心=一

直线/2的斜率为攵2="3a「-1，

f_J__3〃-1

I2aa,

要使两直线平行，必须J]"]“解得。=今

岛-7

综合①②可得当“=o或时,两直线平行.

（2）方法一①当4=0时，直线卜的斜率不存在，直线/3：

工一1=0,直线3），一；=0,此时,/3，h

②当存0时，直线6：>■=一方+二与直线/4：尸一枭直线6的斜率为依=一，直线U的斜

率为自=一/要使两直线垂直，必须《3必=-1,

即子（一9=T,不存在实数a使得方程成立.

综合①②可得当«=0时,两直线垂直.

方法二要使直线N2x+ay=2和直线正ax+2y=1垂直,根据两直线垂直的充要条件，必

须4A2+8182=0,即2a+2a=0,解得a=0,所以，当«=0时,两直线垂直.

【叮嘱】求宜线方程，特别是研究含参数的直线方程问题时，一定要对宜线斜率的存在性进行

讨论,这是避免出错的重要方法.

支式练习

1.己知直线4：（/-l）x+2y=O与直线，2：x+（a—l）y+4=0垂直，则实数〃的值为（)

A.a=lB.a=—3C.。=1或a=—3D.不存在

【答案】c

【解析】当a=l时，直线4：y=0,网线4：x=T,两直线垂直，符合题意；当4H1时，由

两直线垂直口J得。--1+2（。-1）=0,解得a=—3或1（舍去），综上所述，。=1或。=—3.

故选C

2.（2022届“四省八校”高三上学期期中）直线（2m-l）x+冲+2=0和直线如+3y+l=0垂直，

则实数机的值为（）

A.0或-1B.-1

C.3土瓜D.3+瓜

【答案】A

【解析】因为直线（2，〃-l）x+m），+2=0和直线侬+3y+l=0垂直，所以（2〃?-1）加+3加=0,

,〃=-1或a=0.故选A.

易错题03

已知圆C的方程为/+丫2+办+2丫+/=0,过点A（l,2）作圆

的切线有两条，求〃的取值范围.

【警示】本题错误解法是：将圆C的方程配方有

,a,4—3a2

（x+》+（y+1）2=-—.

圆心C的坐标为（一/—1）,半径0肛.

当点A在圆外时，过点A可以作圆的两条切线，

|4Cl>r,即弋1+1+2+色小2兔,

化简得。2+。+9>0,/=1—4x9=-35<0,

••.（zGR.

【问诊】错解中只考虑了点A在圆C外部，而忽视了圆C的方程是圆的一般式方程炉+9+

公+2），+苏=0表示圆的条件没有考虑.

【答案】将圆C的方程配方有（x+当2+“+1）2=二一,

4-3/

...圆心C的坐标为（一/一1）,半径r=^4~3a\

当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线,.♦•HCI〉,；

即J+缶2+2驻守,

化简得。2+。+9>0.②

由①②得一手的取值范围是一邛.

【叮嘱】二元二次方程表示圆是有条件的，必须有。2+序一440.本题的失分原因是忽视了这

个条件.在解决此类问题时,可以直接判断。2+序_440,也可以配方后，判断方程右侧大于

0,因为右侧相当于用对于曲线方程中含有参数的，都要考虑参数的条件.

史义练习〉》

1.若点P(l,l)在圆C:x2+y2+x-y+%=。的外部，则实数人的取值范围是()

A.(-2,+co)B.-2,-；1,2,；)D.(-2,2)

【答案】C

[1+1+1—l+Zc>01

【解析】由题意得，八，解得-2<々<；,故选C.

|l+l-4k>02

2.经过点41,2)可做圆/+/+皿—2丫+4=0的两条切线，则加的范围是()

A.(—co,—2^3)I(2-\/3,+<x))B.(―5,—2>/3)(2A/3,+QO)

C.(—00,-2'x/2)(2>/2,+00)D.(—5,—2^/2)(2>/2,-i-co)

【答案】B

【解析】圆/+/+7nL2y+4=0,即为+(y-])2=：_一3,

，*3—2月或心2怎由题意知点A在圆外，「」+4+.1+4〉。，解得心£

所以-5<m<-2Q或巾>2代.故选B

易错题04

已知RtAABC的斜边为AB,点A(—2,03(4,0),求点C满足的方程.

【警示】本题错误解法是：设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半，如图,

这

样直角三角形斜边上的中点为M(l,0),c

则半径叫阴=3,4^/^

即得所求圆的方程为(X—1)2+V=9.

【问诊】因为忽视结论的检验，没有注意到点C是直角三角形的顶点，即C点不能在直线AB

上，因此造成错解.

【答案】设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中点为M(1,O),如图所示，则半径为;|AB|=3,即

得圆的方程为(x—1)2+V=9.但是顶点C不能在直线AB上，因此.泛0,也就是要除去两个点,

即(一2,0),(4,0),因此(7点满足的方程为。-1)2+尸=9。¥0).

【叮嘱】要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围.

变式练习

1.在AABC中，8(—2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足的条件，就能得到动点A

的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程：

条件方程

ABC周长为10Ci：V=25

②&A8C面积为10C2：x2+y2=4(y#0)

X2y2

③AABC中，N4=90。C3：3+a=l°¥0)

则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为()

A.。3,Cl，C2B.C],C2,C3

C.。3，。2，ClD.C],。3，。2

【答案】A

【解析】对于①,△we的周长为io,则|阴+忸q+wq=io,

又忸。=4,所以|4四+恒4=6>忸4,此时动点4的轨迹为椭圆(不与A、B重合)，

与C3对应；

对于②，△ABC的面积为10,所以:|BC|・|y|=10,即|y|=5,与C对应；

对于③，因为NA=90°,所以点A在以A8为直径的圆上(不与4、8重合)，与C2对应.

故选A.

2.已知一个等腰三角形ABC的一个顶点是A(4,2),底边的一个端点8(3,5),底边另一个端

点C的轨迹方程是.

【答案】(x-4>+(>-2)2=10(去掉(3«5),(5,-1)两点)

【解析】由题意知：设另一个端点C(x,y),腰长为r=J(3-4)2+(5-2)2=05,，C的轨

迹方程：(x-4)2+(y-2)2=10,又由4、B、C构成三角形，即三点不可共线，.•.需要去掉

重合点(3,5),反向共线点(5,-1),故答案为：(彳-4)2+(〉-2)2=10住掉(3,5),(5,-1)两点)

易错题通关

1.(2022届重庆市第一中学高三上学期期中)过点(1,2)作直线/,满足在两坐标轴上截距相

等的直线/有()条.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】若截距都为零，则直线过(0,0),则直线方程为y=2x；若截距都不为零，则设直

线方程为土+2=1，则工+2=1,解得。=3,所以直线方程为：x+y-3=0,故满足在两坐

aaaa

标轴上截距相等的直线/有2条；故选B

2.若方程/+)，2-2丫+苏-〃2+1=0表示圆，则实数的取值范围为()

A.(—2,1)B.卜LjC.(l,+oo)D.(0,1)

【答案】D

【解析】由方程丁+/一2、+机2-，"+1=0表示圆，则02+(-2)2-4(〃?2-m+1)>0,

解得0<〃?<1.所以实数m的取值范围为(0,1).故选D

3.下列四个选项中正确的是()

A.关于的方程/+/+6+号+尸=()(£>，瓦尸eR)的曲线是圆

B.设复数4,Z2是两个不同的复数，实数。>0,则关于复数z的方程|z-z/+|z-Z2|=2a的

所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆

C.设AB为两个不同的定点，上为非零常数，若尸川-|尸例=火，则动点尸的轨迹为双曲线的

一支

D.双曲线/一片=1与椭圆《+丁=1有相同的焦点

25935'

【答案】D

【解析】A.当犷+炉一4尸>0时，方程呼+F=o(R£,FeR)表示的曲线是圆，

故错误；

B.设复数z“z所对应的点A,B,复数z所对应的点C,方程|z—zj+|z-22卜2。表示点C

到点AB的距离和为2a,当|AB|<2a时，轨迹是椭圆，故错误；

C.设为两个不同的定点，上为非零常数，若网-阿卜无，当|明>妊寸，动点P的轨

迹为双曲线的一支，故错误；

D.因为双曲蟾4=1,所以6=25万=9,/=34,所以其焦点坐标为(疯0)和

卜衣,0),椭圆(+V=[,“2=35,〃=]]=34，所以其焦点坐标为(A,0)和(-取,0),

故正确；故选D

4.已知点(a+l,a-l)在圆¥+了2-2°》，-4=0的外部(不含边界)，则实数”的取值范围为

()

A.a<\B.a>\C.0<a<lD.

【答案】B

【解析】圆Y+y2-2ay-4=0,即x?+(y-a)2=/+4,圆心(0,4),半径/■=1阿,

因为点在圆/+/一2少-4=0的外部，所以点(a+1,。-1)到圆心(0,。)的距离大

于半径，即4”+1)2+(可>&/+4,解得。>1,故选B.

5.下列命题正确的是()

3

A.已知点42,-3),8(-3,-2),若直线y=A(x-1)+1与线段43有交点，贝或AV-4

B.初=1是直线4：，nr+y-l=0与直线4：(机-2)x+my-2=0垂直的充分不必要条件

C.经过点(1,1)且在X轴和y轴上的截距都相等的直线的方程为x+y-2=0

D.已知直线小at-y+l=0,/2：x+ay+l=0,aeR,和两点A(0,l),3(-1,0),如果人与

6交于点M,则陷I网的最大值是1.

【答案】ABD

【解析】对于A,•.•直线y=/(x—l)+l过定点尸(1,1),乂点A(2,—3),5(-3,-2),

,1+3-1+23

==-4A=

^T2B7734

3

如图可知若直线y=打工-1）+1与线段AB有交点，则”"八=T或&N%=（,故A正确；

对于B,由直线4：如:+y-l=O与直线/?：（m-2）x+/ny-2=0垂宜得，

m（m-2）+m-0,解得加=0或m=l,

故帆=1是直线4：皿+y-1=0与直线4：（机-2）x+叼-2=0垂直的充分不必要条件，故

B正确；

对于c,当直线过原点时，直线为

当直线不过原点时，可设直线为±+2=1,代入点（1,1）,得a=2,

aa

所以直线方程为x+y-2=0,

故经过点（1,1）且在X轴和y轴上的截距都相等的直线的方程为x+y-2=0或了=y，故c错

误；

对于D,:直线小ar-y+l=0,l2：x+纱+1=0,

Xaxl-lxa=0,所以两直线垂直，

|MA「+|幽=函=2,

.•.|M1MV幽半生=1,当且仅当=却时取等号，故D正确.

故选ABD

6.下列说法簿送的是（）

A.若直线八_丫+1=0与直线》-殴-2=0互相垂直，则”=-1

TT3万

B.直线冗sina+y+2=0的倾斜角的取值范围是0,-u[—，^）

_4J4

C.A（0,l）,B（2,l）,C（3,4）,D（-l,2）四点不在同一个圆上

D.经过点（1/）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

【答案】ACD

【解析】当。=0时，直线〃2x-y+l=0与直线x-做-2=0也互相垂直，所以选项A不正

确：

直线xsina+y+2=0的倾斜角。，可得tan0=-sinae[-l,1],所以。的取值范围是

lO,gU[?，幻；所以B正确；

由题得IAB\=2,\AD|=yf2,\BDI=710,.'.cos/BAD=‘+2二1°=一也，