2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评二十五

核心素养测评二十五

正弦定理和余弦定理

巩固提升练（3。分钟60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.在4ABC中，a=2、3,b=2、,，2B=45°,则A为（）

A.60°或120°B.60°

C.30°或150°D.30°

【解析】选A.在4ABC中，

由正弦定理得.二"，

^fnAcfnR

所以SinA二竺㈣二連迎竺二二亘.

b2<Z?

又a>b,所以A>B,

所以A=60°或A=120°.

2.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a\5c=2,cosA=,则b等于

A.42B.\，3C.2D.3

【解析】选D.在4ABC中，由余弦定理得a2=b2+C2-2bccosA,即5%+4-吗

-1-

解得6=3或6=▲（舍去）.

3

3.在4ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=2bcosC,则此三角形一定是

（）

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【解析】选C.在4ABC中，因为cos所以a=2bcosC=2b•宀，屮,

Tab2ab

所以a2=az+bz-C2,所以b=c,

所以此三角形一定是等腰三角形.

4.在aABC中，ZA=60°,a=v6>b、2则aABC解的情况是（）

A.无解B.有唯一解

C.有两解D.不能确定

【解析】选B.因为在4ABC中，

NA=60,a-yj6，b=J2，

所以根据正弦定理

夕日•n^bsinA2>—_1

付sInB---------------2.--,

n7

因为NA=60°，得NB+NC=120°,

所以由sinB」,得NB=30°，从而得到NC=90°,

-2-

因此，满足条件的4ABC有且只有一个.

【变式备选】

已知在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=x,b=2,B=30°,若三角

形有两个解，则x的取值范围是（）

A.（2,+8）B.（2,2、⑨

C.（2,4）D.（2,2、③

【解析】选C.因为三角形有两个解，

所以xsinB<b<x，得2<x<4,即x的取值范围是（2,4）.

5.（2020・郑州模拟）在4ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos慳-

2

cos2C=1,4sinB=3sinA,a-b=l,则c的值为（）

A.v13B.C.V'37D.6

【解析】选A.由2cos超二电-cos2c=1得

2

2cos為竺T-cos2c=0,即cos2C+cosC-0,即2coszC+cosC-1=0,解得cosC--

或cosC=-1（舍），由4sinB=3sinA得4b=3a,

又a-b=1，联立得a=4,b=3,

所以C2=a2+b2-2abcosC-16+9-12=13,c=J13,

二、填空题（每小题5分，共15分）

6.（2017•全国卷HD^ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,

b=vE，c=3,则A=.

-3-

【解析】由题意："-°，即sinB3叫=11工^，结合b〈c可得B=45°

shiRdrjCc39

则A=180°-B-C=75°.

答案:75°

7.在AABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若丄bcosA=sinB,且

a=2\?,b+c=6,则4ABC的面积为.口

【解析】由题意可得:丄abcosA=asinB,

所以丄asinBcosA=sinAsinB,

7

所以tanA」a=\，3，

所以A三.

利用余弦定理有

ccc~ci2-(b+c-a2-2bc-i.

COSn-------------------------——,

?hr9br7

结合a=2\g,b+c=6可得：bc=8,

贝IS」bcsinA』X8X虫=20耳.

△ABC279

答案：2q5

【变式备选】

-4-

在△ABC中，三个内角NA,NB,NC所对的边分别是a,b,c,若(b+2sinC)*cosA

=-2sinAcosC,且a=2\，5则AABC面积的最大值是一

【解析】因为(b+2sinC)cosA

=-2sinAcosC,

所以bcosA=-2(sinCeosA+sinAcos0)=~2sin(A+C)=-2sinB,

则2-二二结合正弦定理得一2二0二交三,即tanA;-亮,ZA=-n,

smBcnqArn^AsinA^inA3

由余弦定理得cosAT'LF-二丄,化简得b2+c2=12-bc»2bc,故bcW4,

2bc7

Sdbesin.

△ABC?y■?

答案：u3

8.已知4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinA+bsinB+

«2bsinA=csinC,a=2,b=2、2则sinB=.

【解析】因为asinA+bsinB+J2bsinA=csinC,

所以az+bz+^.,^ab-cs.

由余弦定理得cos

2ab0

又0<C<TT,所以C①.

C2=a2+b2-2abcosC=2z+(2。2-2X2X272X(—丄)=20,所以c=2\/^.

-5-

由正弦定理得‘二"，即二=巫，

^fnCshiR卫dvR

2

解得sinB=".

S

答案史

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2020•柳州模拟)在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

且(az+b2-C2)(2sinA-sinB)=(a2+c2-b2)sinB.

⑴求角C;

(2)若c=2,:2,AABC的中线CD=2,求AABC的面积.

【解析】(1)因为(a2+b2-C2)(2sinA-sinB)=(32+02-62)sinB.

所以2abeosC(2sinA-sinB)=2accosBsinB.

所以2sinAcosC=sin(B+C)=sinA,

又在aABC中，sinA于0,所以cosC=-,

2

又(KC<n,所以CW.

3

,,ICA+CBl

⑵由I而I二一2一得,

az+bz+ab=16,①

由余弦定理得C2=az+b2-2abeosC=az+bz-ab二8,②

由①②两式得ab=4,

所以AABC的面积S二absinC二区ab=、？.

74.

-6-

10.（2020•清华附中模拟）在4ABC中，3sinA=2sinB,tanC=v%.

⑴求cos2C.

（2）若AC-BC=1,求4ABC的周长.

【解析】（1）因为tanC='35,所以cosC=-,

V£

2

所以cos2c=2XU「7=-

kfi/18

⑵设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

由3sinA=2sinB及正弦定理得3a=2b,

又因为AC-BC=b-a=1,所以a=2,b=3.

由余弦定理得C2=a2+b2-2abcosC-13_2=11,

所以c'五，AABC的周长为5+v'TT.

综合运用练（15分钟35分）

1.（5分）在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若——上业——=出，

+cinB+cfnC.4

A=：b=l,则4ABC的面积为（）

3

A.@B.qC.-D.l

74.2a

【解析】选B.由正弦定理得，———fc———二出，又卜£b=l,则

TinA<7fnR^inA+cfnR+vfnC13

a=l,BA所以AABC是边长为1的正三角形，所以AABC的面积为丄XLX立=宜.

32?4.

-7-

2.（5分）（2020•揭阳模拟）已知4ABC中，AB=AC=3,sinZABC=2sinA,延长AB

到D使得BD=AB,连接CD,则CD的长为（）

A*B亠

22

c.任D.3跖

【解析】选C.因为sinZABC=2sinA,所以AC=2BC,即BC=-,

?

因为BD=AB,

所以值+5LYC定标+%2VD2p.+（药/y+（丁了1,CD2=54（CD=^.

"B'BC2BD-BC2x3x1'

3.（5分）（2020•长沙模拟）在锐角4ABC中,D为BC的中点,满足NBAD+NC=

90°,则NB,ZC的大小关系是.

【解析】由NBAD+NC=90°,得NCAD+NB=90°,由正弦定理得竺—二

RD

蚂史二'EC匹,又D为BC的中点，所以BD=DC,所以独史•二史£,化简得

cosCCDsinziCADcosBcosCcosB

sinBcosB二sinCeosC,即sin2B=sin2C,又△ABC为锐角三角形，所以NB二

ZC.

答案：NB=NC

4.（10分）已知菱形ABCD的边长为2,NDAB=60°.E是边BC上一点，线段DE交

AC于点F.

-8-

⑴若4CDE的面积为里求DE的长.

⑵若%/7CF=4DF,求sinZDFC.

【解析】(1)由已知，NBCD二NDAB=60°.

因为aCDE的面积S工CD•CE•sinZBCD=1^,

所以丄X2CE•必苴2,解得CE=1.

在4CDE中，由余弦定理得

2

DE=Jm+CE-2CD-CEcos/LBCD

=l22+l2-2x2x1x-\>r3-

⑵连接BD,由已知NACD=30°,ZBDC=60°,

设NCDE=。，则0°<9<60°.

在ACDF中，由正弦定理得耳=_—,

sirnBsin^ACD

因为、，戸CF=4DF,所以sin9=—^4,

万

所以cos。=；所以sinZDFC=sin(30°+9)=1x12+12

#7?\/12\l714.

【一题多解】由已知NACD=30°,NBDC=60°，设NCDE=0,则0°<0<60°,

设CF=4x,因为J7CF=4DF,则DF=^x,

在aCDF中，由余弦定理，得DF2=CD2+CF2-2CD・CFcosZACD,

即7x2=4+16x2-8、；3x,

-9-

解得x3三,或X二4三又因为CFW丄AC=所以X所以X=2所以DF=^1.

9124.99

在aCDF中由正弦定理得_£^—=—-,所以sinNDFC=受空

^17)/0PCKin/ACD2-2114.

g

5.(10分)(2020・大连模拟)已知4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满

足cos2B-cos20sin2A=sinAsinB.

⑴求角C.

(2)若c=2、&,AABC的中线CD=2,求4ABC的面积S的值.

【解析】(1)由已知sirvA+sirvB-sin2c

--sinAsinB,由正弦定理得a2+b2-C2=-ab,

由余弦定理得cosCH**=亠.

7ah2

因为O〈C<TT,所以Ct

⑵延长CD到M,使CD=DM,连接AM,易证^BCD纟aAMD,所以BC=AM二a,NCBD二

NMAD,所以/CAM生.

3

由余弦定理得F+〃+ab=24,

a2+b2-ab—16,

所以ab=4,S=absinZACB=1X4X色、，？

【拓广探索练】

1.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形面积的“三斜求

积”公式:设4ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则AABC的面积