2022-2023学年河北省张家口市高二年级上册期末考试数学试题【含答案】

张家口市2022—2023学年度高二年级第一学期期末考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置

上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时,

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知两条直线5x—29+1=0和邑ax+3y+2=0相互垂直，贝！I

15

A.—2B.eq

6

C.一5D.eq

2.若点(2,4)在抛物线俨=2.(户0)上，则抛物线的准线方程为

A.x=—4

B.x=-2

C.x=-1

D.y=—4

x2y2

3,椭圆C：50+30=1的离心率为

A.eqB.eq

C.eqD.eq

4已知圆G：N+/一4x—6y+9=0与圆。2：(x+1)2+(y+l)2=9,则圆G与圆

。2的位置关系为

A.相交

B.外切

C.外离

D.内含

5.已知正方体4BC。一小囱。。1的棱长为3,E,尸分别在。瓦么囱上，且

砺=2防诟=2吗,则班=

A.3B.2也C.2小D.4

6.已知三角形数表：

1

13

139

13927

13927•••3al

现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列｛%｝,则的00=

A.37B.38

C.39D.310

2

7.已知x+y=0,则由2+*-2x-2y+2+^x_2y+y的最小值为

A.eqB.2出

C.eqD.2点

8.已知｛册｝为等比数列，。5+。8=—3,a6al=-18,则42+的1=

A.3B.19

21

C.eqD.-2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选

错的得0分.

9.下列选项正确的有

A.eq=2表示过点P(x0,%)，且斜率为2的直线

B.a=(2,1)是直线x—2y—4=0的一个方向向量

C.以2(4,1)-5(1,—2)为直径的圆的方程为七一江依一D+e—l)自+2)=o

D.直线〃〃+l)x+(2机一18一1-4加=0仰©见恒过点(2,1)

10.已知S”为等差数列｛&｝的前九项和,。9+。1。+。11>0，硒+。12<0,则下列选

项正确的有

A.数列｛即｝是单调递增数列B.当〃=10时，S”最大

C.S19-520<0D.S20-521<0

x2y23

11.已知椭圆C：a2+62=l佃>，>0)的离心率为4，B，/2是椭圆。的两个焦

点，尸为椭圆C上的动点，△为尸巳的周长为14，则下列选项正确的有

x2y2

A.椭圆C的方程为而十不=1

B.eq,尸尸2|W16

C.尸2内切圆的面积S的最大值为Ji

1

D.cos/人尸尸2》一8

12.在长方体Z5CQ—481aoi中，AA『2"AB=AD=2,〃为棱DC的中点,

—A—A—A

点尸满足'0其中4引0,1],则下列结论正确的

有

113^/7

A.当4=2,时，异面直线/尸与。氏所成角的余弦值为五

1

B.当〃=2时，AP±DXC

1

c.当4=5时，有且仅有一个点P,使得尸

D.当4=1时，存在点P,使得4P，MG

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知空间向量a=(3,2,4)，8=(4—2,38),a//b,则

a•b=.

x2y2

14.已知点尸为双曲线C：a2—62=15>0,b>0)的左焦点,过点尸作倾斜角为

60°的直线/,直线/与双曲线。有唯一交点P,且尸产|=6,则双曲线C的

方程为.

1

15.已知数列｛诙｝满足西=1,劭=〃2+3〃+2例>2),此为数列｛%｝的前〃项

和，5〃<儿恒成立，则儿的最小值为

16.过点尸(2,-1)作圆瓦炉+产―2%—4y—1=0的两条切线，切点分别为

A,B,则直线48的方程为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.(本小题满分10分)

已知此为等差数列｛%｝的前〃项和,若恁=6,52I=0.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)求数列的前50项和T5O.

18.(本小题满分12分)

已知直线/：^=丘一1与圆E：(》-2)2+(y—3)2=9交于Z，8两点.

(1)当M为最大时，求直线/的方程；

(2)若证明：'为定值.

19.(本小题满分12分)

“十三五”期间，依靠不断增强的综合国力和自主创新能力，我国桥梁设计

建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作

用.下图是我国的一座抛物线拱形拉索大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨

度为64米，拱形最高点与桥面的距离为32米.

(1)求该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距(焦点到准线的距离).

(2)已知直线机是抛物线的对称轴，。为直线机与水面的交点，尸为抛物线上

一点，。，尸分别为抛物线的顶点和焦点.若尸尸，机，POLPQ,求桥面与

水面的距离.

20.(本小题满分12分)

(an+2>A为奇数，)

已知数列｛q,｝满足勾=2,a„+i=l2a〃'〃为偶数'An=tz2„-i.

(1)求数列｛儿｝的通项公式；

(2)求数列｛nbn｝的前〃项和Sn.

21.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥尸一4BC。中，四边形4BCD是边长为4的正方形，平面

400，平面48C。，PD=2,PB=2《.

(1)求证：工尸上平面CDP；

JI

(2)若点E在线段ZC上，直线PE与直线。。所成的角为4,求平面0QE与

平面qZC夹角的余弦值.

P

22.(本小题满分12分)

已知一动圆与圆E：(x+3)2+/=18外切，与圆尸：(x—3尸+俨=2内切，该

动圆的圆心的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程.

(2)已知点尸在曲线C上，斜率为左的直线/与曲线C交于48两点(异于点

P),记直线PZ和直线尸8的斜率分别为左1，k2,从下面①、②、③中选取

两个作为已知条件，证明另外一个成立.

1

①尸(4，D；②左1+后=0；③左=—5.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

张家口市2022-2023学年度高二年级第一学期期末考试

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.D【解析】由可得5a—6=0,所以。=5,故选D.

2.B【解析】将点(2,4)代入俨=2R，则40=16,得〃=4,故准线方程为尤=一2,故选

3.A【解析】由题意椭圆C的长半轴长为。=廊=5值，短半轴长为6=椀，又

a2=b2+c2,所以半焦距c=J药=2"，所以椭圆C的离心率e=a=5,故选A.

4.B【解析】圆。的标准方程为(x—2尸+8一3)2=%所以圆心为(2,3),半径为2.圆C2

I22

(2+1)+(3+1)

是以(一1,—1)为圆心，半径为3的圆，故=5=2+3,所以

两圆外切，故选B.

5.A【解析】如图，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，所以。(0,0,0),A

-►-A-►-►

(3，0，Q),63，3，0>,团(3'3，3).才=产,”=产、,所以的，1，0),尸

(3-1)+(2-1)+(2-0)

(3，2，2),故即==3.故选A.

6.B【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类

k(k+\)13X(13+1)

推.设第左组的项数为七则前左组的项的个数之和为2.又2=91,

14X(14+1)

2=105,所以第100项为第14组的第9项，所以aioo=38.故选B.

7.C【解析】设点尸(x,y)为直线x+y=0上的动点，

又«x2+*-2x-2y+2+J(x-2)2+y2=J(x-1)2+(y-1)2+J(x-2)2+y2

设点M(l,1),NQ,0),则点时(一1,一1)为点M(l,1)关于直线x+y=0的对称点,

故=且厘2=的2+1)2+(0+1)2=机,

所以衣2+*—2工-2歹+2+｛(》-2)2+*的最小值为四.故选c.

8.C【解析】由题意，得。5。8=〃6a7=—18.

又。5+。8=-3,所以联立15+。8=-3J解得。8=—6)或(^8=3./

。8。53

当的=3,恁=—6时，z5=—2=q3,所以。2=03=—2,Q11=。8炉=12,

21

所以a2+an=2；

a81a53

当的=—6,恁=3时，a5=—2=g3,所以。2=。3=12，。11=。8夕3=—2,

21

所以念+的尸2.故选C.

二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

x—xOx—xO1

9.BCD【解析】由V-y0=2可知产勺0，所以P-y0=2不过点尸网，刈且斜率为2,所

以A错误；

1

直线x—2y—4=0过点4H，0),B(。'-2),a=2",所以〃=(2T)是直线

%—2y—4=0的方向向量，所以B正确；

PAPU

设以/G'BW-2)为直径的圆上的任意点为Pd'y),则,所

以厂p“j厂P0R=0,即依一4)a—])+e-i)e+2)=o,所以c正确；

因为伽+1)X2+但“一Dxi—1—4"?=o,所以D正确.

10.BC【解析】设｛斯｝的公差为d因为。9+aio+au=3aio>O,所以aio>O.

又09+"12=。10+。11<0，所以a”=aio+d<O,故d<0,所以A错误；

因为d<0,所以0]>02>的>04>05>"6>即>08>"9>田0>0>011>…>0“，

所以当〃=10时，S“最大，所以B正确；

19(al+al9)19X2。1020(。1+。20)20(al0+all)

因为Si9=2=2>0,5*20=2=2<0,

21(。1+。21)21X2ali

S2i=2=2<0,

所以C正确，D错误.

c3

11.ABD【解析】设焦距为2c,由题意，得。蠢，的周长为

|尸7叫十|尸尸2|+尸1%=2°+2c=14,解得a=4,c=3.又°2=62+C2,所以6=",故椭

x2y2

圆C的方程为16+不=1,所以A正确；

因为叫+|PF2|=2a=8,所以8=1尸尸1中尸尸224Pq•甲尸21,当且仅当

『尸i|=|尸尸2|=4时等号成立，所以I刊叫•甲尸2忌16,所以B正确；

11

设AFiPFz内切圆的半径为r,则SAFlPF2=2|F11\yp\=2r(\PFl|+|PF21+|F11；,

3\yp\生9"

所以r=〒.又伙到所以/<7,所以SW7,所以C错误；

222

\PF1\+\PF2\-\F\F2\

因为cos/BP6=2吐1|•\PF1\

29

(\PF1\+\PF2\)-2\PF1\•\PF2\-\F1F2\也

=2\PFl\•\PFZ\=—i+|PFl|・|朋|.

141

又吠1|・|P尸2仁16,所以一1+1尸尸1|7废12—8,所以D正确.

12.AB【解析】如图，以点。为坐标原点，N为x轴，。。为y轴，为z轴，建立

空间直角坐标系D-xyz.

图1

由题意可得。(0,0,0),力(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,0),

G(o,2,2隹)，。1(0,0,2屈)，51(2,2,2也),

所以"=(一2,0,0),"1=(0,0,2隹)，°1'=(0,2,一2")，"=(0,2,0),

人=(2,2,—2衣)，

加=(2,2,2衣)，疵L(0,1,2也),

opBCr~r~

所以—k+〃=2(—2,0,0)+〃(0,0,242)=(—2九0,242〃).

11

A>>

当丸=2,〃=2时，4P="5+'P=(o,2,0)+(—1,0,")=(一1,2,")，

所以异面直线AP与DBi所成角的余弦值为

\AP-DB\

-----------------|-2+4+4|3a

|c°s〈芥，砺〉明•l^l=Vl+4+2.V4+4T8=X所以A正确；

1-

当〃=2时，'o=（一2九0,屈），

—►—►—►

”=岫+叱=（0,2,0）+（—2九0,也）=（一212,m），

故‘0""=（一2九2,也）《0,2,—2月=0,所以B正确；

1

>>>A

当丸=2时，8F=（_i,0,2"〃），力尸='台+'尸=（（）,2,0）+（—1,0,2也I）

=（—1,2,2同，

D\P=D%BP=q,2,_2隹）+（-1,0,2口）=（1,2,-23+2也），

A—A

故1,2,2阻〃＞（1,2,—2"+2隹//）=0,得8〃2—8〃+3=0无解，所以C

错误；

—►—►—►—►

当2=］时，8尸=(—2,0,2凤),AP^AB+BP^(0,2,0)+(—2,0,2月i)

=(-2,2,2也)，

_1

MCAAP-

故•=2+8〃=0,解得〃=—4在［0,“，所以口错误.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

32A

13.—58【解析】由〃〃"得"2=4=8,所以丸=-4,故〃=(3,2,—4),

〃=(—6,-4,8),

故〃力=3X(-6)+2X(-4)+(—4)x8=—58.

叱

14.eq—48=1【解析】直线/与双曲线。有唯一交点尸，则直线/与双曲线。的渐近线平

b

行，所以a=tan60°=3

故b=#a,所以02=42+62=442.

(3—c)2(34)2(3—2。)2(34)2

又|我|=6,所以尸(3—c,34)，所以M—62=M-3M=1,解得

。=4,所以6=44，

x2y2

所以双曲线C的方程为而一反=1.

15.eq【解析】当〃=1时，S"=Si=l,

1111

又当“22时，恁=〃2+3〃+2=m+1)m+2)=〃+1一〃+2,

11111141444

所以S〃=l+3—4+4—5+…+〃+1—“+2=3—几+2<3,所以2》3,故丸的最小值为3.

16.x—3j—1=0【解析】圆£的标准方程为(%—1)2+。-2)2=6,所以El，2).

由题意，得P/L/E,PB1BE,所以P,A,E,8四点在以PE为直径的圆上，且直线

为该圆与圆E的交线，以尸E为直径的圆的方程为(x—l)(x—2)+。一2)仅+D=0,化

22

简得x+y—3x—y=0f

22

所以直线AB的方程为x+y—2x—4y—1—(^2+y2—3x—y)=Q9即x~3y—1=0.

另解：圆E的标准方程为(X—1)2+。―2)2=6,由切点弦方程可知，直线45的方程为

f2-V(x-l)+<_1_2>(y-2)=6,化简得x_3y_]=0.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

解：（1）设数列｛四｝的首项为Qi，公差为d.

21X20

由821=2*1+2d=0,得Qi+10d=0............................................................................2

分

又〃8=ai+7d=6,所以d=—2,ai=20,...........................................................................3分

所以斯=20+仇一-2）=—2九+22..............................................................................4分

（2）由斯=—2〃+2220,解得〃W11,..................................................................................5分

所以数列

（an,nW11'\

\an\=1—an1n>11J/....................................................................................................6分

故乙o=ql+a2^-----1-。]]—。12一。13--------。50.............................................................................7

分

=一41+〃2+…+Q11+Q12+Q13+…+。53+2佃1+。2+…+。11）

=-S50+2sli...................................................................................................................................................................................9

分

=1450+220=1670......................................................................................................................10

分

18.(本小题满分12分)

(1)解：圆£是以£(2,3)为圆心，3为半径的圆，.................................1

分

当直线/过圆£的圆心时，磔身最大，..........................................2

分

所以3=2左一1,解得左=2,.......................................................................................................3

分

所以当M司最大时，直线/的方程为y=2x—l......................................................................4

分

(2)证明：设'川，B(x2'阕，由题意知《存在,

/y=kx—l，[

联立[(L2)2+®-3)=9,/得值+i左一麻+/+]1=0,...................................6分

8斤+411

所以司+尤2=1+1，-无62=人+1，且(8左+4)2—44侔+1)>0..............................................8

分

my,DADB

因为•=。1，yl+l).(x2,^+l)=XlX2+(yl+l)(y2+l),10

分

y\=kx\一1jyi=k^2―1，

所以所协=制+1左必=11,即名流为定值.

12

分

19.(本小题满分12分)

解：(1)以该桥抛物线拱形部分对应抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系.

设对应抛物线的方程为x2—2py(p<0).......................................................................................1

分

又点(32,—32)在抛物线上，所以322=20X(_32),.........................................................3

分

所以〃=—16,即肋=16,故抛物线的焦准距为16米.............................4

分

(2)由题意，得|。目=8米，|EP|=16米，.........................................5

分

\FP\16

所以tan/PO尸=。门=8=2....................................................................................................6

分

又PO_LPQ,所以tan/QPP=tan/POF=2,.....................................................................8

分

\QF]\QF\

所以tan/。尸尸=PA=16=2,所以|0尸|=32米................................10

分

又拱形最高点与桥面距离为32米，所以桥面与水面的距离目=|。n=8米，

所以桥面与水面的距离为8米................................................12分

20.(本小题满分12分)

解：(1)由人”=。2"—1，得仇=。1=2,6”+1=°2"+1.................................1

分

又。2斤=。2斤—I+2,。2左+1=2。2斤，左GN*,.........................................2

分

故

a2)i+i=2S24-1+2)=2。2左—1+4,.............................................3分

bn+1+4

所以6“+i=26"+4,故bn+4=2...............................................4

分

又仇+4=6,................................................................5

分

所以数列也〃+4/是以6为首项，2为公比的等比数列，

所以儿+4=6X2"T=3X2”,故儿=3X2"—4...................................6

分

⑵nbn=3rr2n-4几.............................................................7

分

设备="2,其前”项和为

n

则7；=1X2+2X22H----\-n-2,..............................................8分

27；=1X22+2X234----"2+1,

所以-7“=2+22+23H---H2"一疗2"+1=—2+2"+i—疗2"+1,.....................9分

所以〃=色一1)2"+】+2,....................................................10分

n(n+\)

所以S“=37“一41+2+…+刃=3例-1)2"+1+6—4X2=<3〃-3)2"+1—2/一2〃+6.

...........................................................................12分

21.(本小题满分12分)

(1)证明：如图，以点。为坐标原点，。/为x轴，0c为y轴，过。垂直于平面/BCD

的直线为z轴，建立空间直角坐标系。一xyz,

故。(0，0，Q),，0，0),放4'4，0),，4，Q).............................1分

因为平面4DP_L平面4BCD,设尸佃，。

I22

I---------\(a—4)+fO—4)+c2

所以/7)=W2+C2=2,PB=\=2中,....................................2分

所以4+02=4,〃2+02—84+32=28,所以Q=1,c=±由，

由图可得c>0,所以c=小,所以尸1,0,何，..............................3分

所以/尸=「3，0,峋,。尸=（1，0，我.

又反=（。，4，“所以办作=—3+3=。，善比=0,

4

分

fypAp

所以_L,_L,又CDCPD=D,且CDU平面CD尸，尸Z>u平面CDP,

故力尸_L平面CDF..........................................................................................................................5

分

7r~AT

⑵解：设=7,0W4W1,贝UH4—44,4A，0),......................................................6

分

所以尸"=（3—4,4］，一物,

162

兀I22J2

—Icos〈座，由I4k3—叨+印）+3—

又直线尸£与直线DC所成的角为4,所以F°s\&〃"|="=2,

1

解得力=2,....................................................................................................................................7

分

fyb

故加2，2，0）,所以〃'=（2，2，0）.

fm\DE=0，

设盟=8,力，Z1）为平面PZJE的法向量，则有1"。'=0'

y2xl+2yl=0'\色

即£1+忘1=0J可取桁=（1,-1,—3）............................................................................8

分

fn-AC=O»\

设〃=(X2,»，Z2)为平面PNC的法向量，贝IJ有

(—4x2+4y2=05\

即「3》2+技2=0，)可取“=(1,i,岛.....................................10

分

mn7105

|cos(m,n)|=\m\\n\=35,

Vw5

所以平面POE与平面P/C夹角的余弦值为35..............................12分

22.(本小题满分12分)

解：⑴设动圆的圆心为M■力，半径为，，^]\ME\=r+^,\MF\=r-^2,

所以|收|—|叱|=4也<区斤|=6................................................2分

由双曲线定义可知，M的轨迹是以£,尸为焦点，实轴长为4m的双曲线的右支，

所以2°=422c—6,即a=2在，c=3,所以方2=°2—4=1，

x2

所以曲线C的方程为E—y2=l,X22m.......................................4分

(2)选择①②今③：

设直线/：y^kx+m,A(xl,yl),g(x2'阕，

^y=kx+m，、

匹_y2=lJ

联立(8"/得

(1-8左2左一16冽而一8冽2—8=0,............................5分

T6mk8m2+8

所以修+、2=-8左2—1,修切=8左2—1...........................................6

分

y2~lyl-1

因为尸(4,1),ki+k2=0,所以%2—4+%1—4=o,

即,1一4(fe2+冽一l)-\-(x2—4)(kjcl+m—l)=Qf..............................7分

即2g必+仰一1一物伉1+%2)—8伽-1)=0,

8加2+8/16mA:\

所以2左X8左2—1+例一1—448左2一”一8伽-1)=0,........................8分

化简得8k2+2左—1+冽。+1)=0,即码+1)*-1+切=o,

1

所以左=-2或机=1一4人.........................