河北保定部分高中2024届高三12月联考数学试题含答案

河北保定部分高中2024届高三12月联考数学试题+答案

高三年级12月联考8.在数学中•布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维

空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊慈•布劳

数学威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数“外,存在一个实数工”使得7（X0）=^,

那么我们称该函数为“不动点”函数，工。为函数的不动点.设函数/（工）=k]+2一工十三一工

注意事项：+a,若/（2）在区间（0,3）上存在不动点，则a的取值范围是

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。A.（―e2—e-2—3»—1]B.C—e3—e-1,-1]

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂C.[-e^-eT—7,一e-e-叮D.

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

卿答题卡上。写在本试卷上无效。

求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

9.根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（除计数原理、概率、随机变量及其分

消费品零售总额同比增速如图所示，则

布外）。

园A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合速最高为18.4%

鲍

题目要求的.a我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速

1.已知集合A=（工廿一2z&0）,B={z[0Vx<2,NeN）^]AnB=的中位数为6.55%

瞅

3A.[0,2)B.(0,2)a{o,nD.⑴C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速

2.已知复数z满足z(l+i)=2-2i,则z=的40%分位数为5.05%

K

A.-2B.-2iC.2iD.2D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为8.125%

10.已知圆Ci:d+j*2—2了+2y—7=0,圆—4y—44=0.则

K3.已知单位向量a,b满足|a+2bl=2,则。・b=11

A.1B.Jc--iD-1A.直线GG与直线42+6»=0垂直

4

豕B.G与Q没有公共点

4.根据表中的数据，用最小二乘法得到y与工的线性回归方程为5=14工一14,则表中”的值为C.G与G的位置关系为外离

刘X23456D.若P,Q分别为圆G与圆G上的动点，则IPQI的最大值为10+713

y20n406070

忠11.已知函数义工）的定义域为（一8,0）U（0，+8）心）=号+修，则

图

A.15.5B.20C.20.5D.25

A./（l）=0R/（2）=l

5.已知cos（a+"1"）+2cos（a一爷）=0,则tan（2a+-^-）=

C./（工）为奇函数D./（工）没有极值点

12.如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是

A.yB.4C.-1D.一春

43J则

6.已知抛物线CdnZ,ySX））的焦点为F,PCro,8）是C上一点，且P到F的距离与P到CA.这两个球体的半径之和的最大值为月&

的对称轴的距离之差为2,则p=

B.这两个球体的半径之和的最大值为年

A.yB.1C.2或4D.4或36

7.已知数列（4）的前n项和为S“，且口产噗，若S“Q恒成立，则k的谡小值是C.这两个球体的表面积之和的最大值为号

D.这两个球体的表面积之和的报大值为（6+3"）n

A.jB.4C.jD.5

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三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.19.(12分)

13.若双曲线日多一丁=19>0)的一条渐近线的斜率大于1,则a的取值范围为▲.已知函数/(x)=2xsinI一/cosx.

(D求曲线》=/(力在点G,/(K))处的切线方程;

14.如图，在直三棱柱ABC—中,>15_13(：,的=玩=41】=2,。是8】的中点，则异

(2)求义工)在［0,2用上的最值.

面直线AG与瓦D所成角的余弦值为▲•

20.(12分)

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，平面ADE_L平面ABCD,且AB=4,正

三角形ADE的边长为2.

(D证明:EF〃平面ABCD.

诙

15.已知函数/(1)=5山(0*2：+母),/(1)的图象关于直线Z=■对称，且/(外在(卷啬)上单(2)若EF<AB,且直线AE与平面BCF所成角的正弦值为军，求EF的值.

调，则0的最大值为▲.操

16.已知函数/(x)=ln|x|+|lnx2|，若函数g(x)=/(x)-m有4个零点，且其4个零点与，

工2，工3，工4(X］<X2<CZ3<X4)成等差数列，则m=▲.沁

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

S-

17.(10分)

21.(12分)

在ZXABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=y,a=yi3,6=3c.为

圆^+yz=a^+b2称为椭圆营+1=102>6>0)的蒙日圆.已知椭圆C§+£=l(a>6

(D求c的值；

⑵求sinB的值.>0)的离心率为考,C的蒙日圆方程为工2+y=3.m

(1)求C的方程；明

(2)若F为C的左焦点，过C上的一点A作C的切线/id与C的蒙日圆交于P,Q两点，过

函

F作直线打与C交于M,N两点，且A〃L,证明：IPQI2+黯p是定值.

18.(12分)

已知数列｛a”｝满足ai=1---7'=2n+l.

4+ia„

(1)求(aj的通项公式；

⑵若生=而舞］,求数列｛A｝的前”项和T..

22.(12分)

(D证明：当工>0时,Inz&z-lVe工一2.

(2)已知函数/(x)=a/—Inx—x—Ina，试讨论/(x)的零点个数.

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高三年级12月联考

数学参考答案

1.DA={N|O&042},B={x|0<x<2,ieN}={l},AC|B={1}.

R_2—2i_(2—2i)(l—i)_.、2一-

29.B2：—।.—------------------—(1-i)——291.

1十12

3.C|a+2&|2=a2+4&2+4a•b=4,a•fo=-j.

4.B由表中数据，计算可得7=2+3+：+5+6=4,产20+〃+4厂60+7。="岁,

因为回归直线&=14z—14过样本中心点，所以有生平=14X4—14,解得“=20.

5.D因为cos(a+-^)+2cos(a一警)=0,所以cos(a+*)+2sin(a+*)=0,可得tan(aH~~5-)

ooooo

sin(«H--5-)[2tan(a+-^-).

-------所以tan(2a+手)=--------------------L=-|

cos(aH~~5")1—tan2(«+-^-)

oo

XQI=8H--葛-2,

6.D由题可知,二解得2=4或力=36.

〔忌=162，

7.BS“=1■+或+*+…+崇,界“=皮+±+/+…+9,

两式相减可得"^S〃=-^+*+/+/H^^7

3।222〃―1〃+2=?笈+4诉山s"+4

2']2〃+i-乙2〃+i，切以一42〃・

1一彳

因为甘〉0，所以4—展<4,即S„<4.故左>4.

8.A由题意可得,/(z)=ei+ei+/—x+a=z在(0,3)上有解，即e^-1+e1-ic+^2—

+1=1—a有解.令7—1=方,七(一1,2)，则一a+l=e，+e-+产.令函数g⑺=6+—十产，

g'Q)=e-2c.当fG(0,2)时,g'⑴>0,所以g(t)在(0,2)上单调递增.g(力为偶函数,

所以g(力在(一1,0)上单调递减.

g⑴min=g(。)=2,g(f)<g(2)=e2+e~2+4.故一<z+1G[2,e2+e-2+4),aG(—e2—e-2—

3,-1].

9.ABD我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为2.5%,

3.1%,4.6%,5.5%,7.6%,10.6%,12.7%,18.4%.我国今年3月份至10月份社会消费品

零售总额同比增速最高为18.4%,A正确.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额

【高三数学•参考答案第1页(共6页)】•24-228C1•

同比增速的中位数为5・5%：7.6%=6.55%,B正确.8X40%=3.2,我国今年3月份至10

月份社会消费品零售总额同比增速的40%分位数为5.5%,C错误.我国今年3月份至10月

份社会消费品零售总额同比增速的平均值为4X(2.5%+3.l%+4.6%+5.5%+7.6%+

10.6%+12.7%+18.4%)=8.125%,D正确.

10.BD由题意可知圆G：(Z一I/+(y+1/=9,圆。2：(2+1)?+(y—2)2=49,则Ci(1,

一DC(T,2),则%q［匚］=一率A不正确.因为IGG|==/13<7

—3,所以C1与。2的位置关系为内含.B正确,C不正确.由题易知|PQ|的最大值为IGC2I

+3+7=10+/13.D正确.

11.AC令得f(l)=0,A正确.

令1=)=一1,得/(一1)=0,令)=-1,得令一])=—/(%)+:.—=—/(l)，则/(JC)

为奇函数,C正确.

由由1了)=/(攵>,可得xyfQxy')-]-yfCy)?当i〉0时，可设1/(£)=Inz,

y久

则/Gr)=j"当H>0时，/(乃二111三/包)=:乎”,当zG(0,e)时,/(工)

IX

〉0,当*G(e,+8)时"'(为<0,所以/Gc)在(0,e)上单调递增，在(e,+°o)上单调递减,

此时/(n)有极值点,D错误.

/(2)的值不确定,B错误.

12.BC当这两个球体的表面积之和取最大值时,有一个球体和圆锥的c、-

底面相切，过底面圆的直径作截面，如图所示.过点。作OF,AB,垂\

足为F，过点。作。E,AB,垂足为E,过点O作。D,OF,垂足为V(>^¥

D设圆。的半径为R圆。’的半径为一H的最大值为:，且取最大My

值时，厂=4,所以Re［4，)］，/I。。=R一=

00乙0乙

R+r,\OfD\=\EF\=\AB\-\AF\~\BE\^43-^R-43r,因为IOD/+|O/D-=

|00'|2,所以(H一—产+(川—月R—而不2=(H+/)2①,整理得3H2+(2——6)H+3(r2—2-

+1)=0,解得R=11-—3r—2r2.

令函数f(r)=R+r=l—一-l-^/Sr—2r2+r=l+^—1~/3厂-21.，厂g，4],/'(/)=

OOOOO乙

2J3L2卡一令函数g(r)=2，3r—2/-3+4r,g(r)=」1,+4〉0,所以

373r-2r2〃3厂一2户

g(r)是增函数.又因为g(4)<0,g(J)>0,所以3r0G[喜,[ll,g&o)=0,所以

0乙O乙O

【高三数学•参考答案第2页(共6页)】•24-228C1•

z

/o］，g（一）<0,厂e［厂0,；］，g（厂）>o,即厂e［y,r0］,/（r）<0,rG］厂o,，，/'（厂）>0,所以

/⑺在［《，厂。］上单调递减，在卜o,J］上单调递增.因为f（（）=f（J）=1■，所以/⑺3X=

I■，即这两个球体的半径之和的最大值为:由①可得R2+/=一,（R+r）2—6（R+/）+

31,这两个球体的表面积之和为4n（R+/）=—2疝（R+「）2—6（氏+厂）+31.令］=1?十厂〈

|■•函数尸一2兀（/—67+3）在（一8卷上单调递增,所以'1nM=—2+［（尹—6X（

+3］=等，即这两个球体的表面积之和的最大值为空.

13.（0,1）E的渐近线方程为、=±1了,则1〉1,解得0<aVl.

14.”取AC的中点E,连接EB,ED,EB「因为D是CCi的中点，所以

DE//AQ.又AB=BC=AAi=2,ABJ_BC,三棱柱ABC-A.B.Q为

直三棱柱，所以3D=75,DE=73,BiE=而，cos/EDBi=

DEyDB-BE3+5—6JTK痂曰石古妞八八匚nc在田缶

2DE•DBi~2^3XV5~15，故"面直线AG与团£）所成角

的余弦值为

15.今因为一⑺的图象关于直线z=与对称，所以管+与=5十—在Z,解得s=J+3鼠％

乙JJJ乙乙

GZ.因为/⑴在（急皆）上单调，所以$一点=占1千,即7=:5）表解得|川（12.当

3=燃时,f（i）=sin（E^+~^）.当久G（亲,子）时，耳，所以当（亲，

ZZooOyLo/zSiooO

会时,/（7）单调递减.故S的最大值为学

31n,

Q—lnx,0<LrVl,

16.—In3/（jr）=ln\x\+\\nx2\=<因为/（%）是偶函数,所以宽1=

<31n（一1），2W-1.

一了4,12=一%3.因为,12，%，了4成等差数列，所以13—X2=34—%3，则3%=乙.因为

…32

/（久3）=/（£4）=相，所以—In久3=31n］4=31n（3i3），解得亚=3一丁,m=f^x^=—\n3.

17.解：（1）因为/=加+/—26ccosA,所以13="+。2+反.........................3分

因为6=3c,所以13=（30）2+02+3。2,解得。=1................................5分

（2）由（1）可得6=3c=3.

因为4=告，所以告=上字，解得sinB="等.....................10分

smnsinAsmn.ZK26

sm—

【高三数学•参考答案第3页（共6页）】•24-228C1•

18.解：（1）因为二一一-=2«+1,

所以-----.-272―1—~~——-~=2n-3,-----——2X1+1—39............................2分

a72-19一i一2a20i

累加得上一L=3+5+7H-----H2"—1=1—1,..................................................................3分

Q〃d-[

所以"〃=』,................................................................4分

n

（2）""2nan~\~l%（k+2）nn-\-2*8分

T„=l-1+|-|+|-1+-+^-^............................................-分

_1I111_32TZ+3_3722+5n1？仆

2〃+ln~\~22（〃+l）（"+2）2（n+l）（n+2）*刀

注:答案写成T“—小不扣分.

19.解：（1）因为/（了）=2zsinx-JC2COSz,所以f'（z）=2sinz+Zzcosx—2zcossinx=

（x2+2）sinx,............................................................................................................................2分

贝Ij/'（4）=0,/（兀）="2,............................................................................................................4分

故曲线》=/（丁）在点（n，/（»）处的切线方程为？=/...........................6分

⑵因为/（力―+2）sinz,所以当交£（0,式）时,/'0）＞0,当zG（7t,2"）时,/'（H）V0,

..........................................................................................................................................8分

则/Cz）在（0,7t）上单调递增，在（兀,2n）上单调递减.............................9分

又/（0）=0"（»="2"（2兀）=—4/,所以/（工）在[0,2眉上的最大值为一，最小值为

—47rz..........................................................................................................................................12分

20.（1）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AB〃CD.......................................................1分

又ABU平面CDEF,CDU平面CDEF,所以AB〃平面CDEF.....................................3分

因为平面ABFEC1平面CDEF=EF,ABU平面ABFE,所以AB〃EE........................4分

又EFU平面ABCD,ABU平面ABCD,所以EF〃平面ABCD.....................................5分

⑵解:分别取AD,BC的中点O,M,连接OE,OM,因为平面ADE

，平面ABCD,△ADE为正三角形，所以以。为坐标原点，OA,£Vx

OM,OE所在直线分别为2轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角\\\^c

坐标系，则A（l,0,0）,B（l,4,0）,C（—l,4,0）,E（0,0,同）.•••6分MS

/AVB

设F（0,m,片），则施=（—1,0,片），就=（—2,0,0）,说=（—1,%

m—4,73）,.................................................................................................................................7分

fBC•zn=0,（-2]=0,

设平面BCF的法向量为机=（k,了,之），则由＜_卞得＜

[BF•机=0,1一1+（机-4）,+悟之=0,

令之=遮，得〃1=（0,-3八,枭）........................................................................................9分

m—4

【高三数学•参考答案第4页（共6页）】•24-228C1•

因为直线AE与平面8CF所成角的正弦值为所以।cos<AE,m>1=篇

3=穹，解得二=2或加=6(舍去),...........................11分

Q(

-------------1-3

(m—4)2

故EF=2..................................................................................................................................12分

丁十注3,

21.(1)解：由题意得|e=£=乌，得%2=1,............................................................................2分

a2

[a2^b2+c2,l'

于2

所以C的方程为5•+^=1....................................................................................................3分

(2)证明：当A必的斜率等于0时，|PQ|=2=2畲，|MN|=2之■，所以IPQ-+

8V2

\MN\~'.................................................................................................................................4分

当Zi,/2的斜率不等于0时，设Zi：力=，？十方,则：x=my—l.

由得(利2+2)丁+2根方/+〃—2=0,

令△=(2,〃t)2一4(根2+2)(r—2)=0,得/=〃+2..........................................................6分

设。到人的距离为心则2W=.........................................................

7分

V+lz+1

得|PQ1=2方。=2/%^^=213m2+3-(加+2)/2m2+1-

28分

Vm2+1Vm+l-

2m

{x=my_1,>1+)2

m2+2’

设“(11，3；1),?^(12，、2)，由1久2得(加+2)3；2—2a3/—1=0,则J

1

后+…，­=

m2+29

.................................................................................................................................................9分

27

则|MN|=