2024届重庆市拔尖强基联盟高三下2月联考数学试题及答案

西南大学附中重庆育才中学万州中学高2024届拔尖强基联盟高三下二月联合考试数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）命题学校：西南大学附中2024年2月注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为（A．15B．162．已知点Q1,4在抛物线x2py上，F为抛物线的焦点，则直线QF的斜率为（）C．17D．182）16363166415A．3B．C．D．mnl．已知，，，）mmn，n//m//nm且nA．，则B．D．，则n//m//mn，nll//n，则C．，则，，1N*，则S5（4．数列a的前n项和为Sn，满足Sn1an）nn2A．30B．64C．62D．126x2y24P1AB5．已知圆O：A．22，弦过定点，则弦长不可能的取值是（ꢀꢀ）B．23C．4D．25高三下二月联合考试数学第1页（共4页）6．在同一直角坐标平面内，已知点O0，A2,0，B0,2，点P满足0，则OPOB的最小值为（）A．222B．222C．222D．222tanAtanBtanAtanB127．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，c3，C，3则ab的值为（）33A．B．C．3D．342x22y228．如图，已知M为双曲线E:0上一动点，1abab过M作双曲线E的切线交x轴于点AA作AD⊥OM于点DODOMA．aB．bC．cD．不确定）222二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．63，则下列说法正确的是（9．已知函数fx2sin2x）k,0,kZA．fx的值域为1,5B．fx的对称中心为22356C．fx在上的递增区间为D．fx在上的极值点个数为110．2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期.甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024人选择.事件M为“甲选择北京，事件N为“乙选择上海，则下列结论正确的是（）PN|MPM|NNMA．事件与互斥B．D．233136PMNC．P11．已知定义在实数集R上的函数fx，其导函数为fx，且满足fxyfxfy，1f10，f1，则（）212A．f00B．fx的图像关于点,0成中心对称2024fkC．f202410122023D．10122024k1高三下二月联合考试数学第2页（共4页）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．302x27x，集合Bxx，则212．已知集合AAB________．13ABCDABCD中，2，1E为1xZ11111C中点到平面DCE的距离为________．1a2114．已知实数a,b满足a2abb21ab的最大值为________；的取值范围1b21为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．的前n项和为Sn，同时满足n15．(13分)等差数列an*N，a,S,a成等差数列，S是3372a1和S1的等比中项．23(1)求数列a的通项公式；n1(2)当ba时，求数列b的前n项和n．nnnanan116．(15分)2024年春节期间，某家庭设计了一个抽红包游戏，以营造和谐轻松愉快的家庭氛围．游戏中有外观完全相同的红包共6个，其中装有10元，20元，30元的红包各两个，小明每次从中任意抽取3个红包，记录金额后放回，共抽2次．若每次抽的红包总金额超过60元记2分，超过40元不超过60元记1分，不超过40元不计分，两次结束得分恰好为3分奖励旺旺零食大礼包一份．(1)求小明在第一次抽取中，抽出装有20元红包个数多于装有10元红包个数的概率；(2)用随机变量X表示小明抽两次的得分总和，求X的分布列及期望．高三下二月联合考试数学第3页（共4页）17．(15分)在四棱锥MABCD中，已知，CD2，1，10CM，60，．2(1)求证：平面平面ABCD；(2)若线段MB上存在点EACE与平面ADM的夹角的余弦值为70，求实数的值．70x2y2x2y218．(17)E：11ab0与椭圆E2：1有相同的离心率，a2b2124点P3,1在椭圆EP的两条不重合直线l,l与椭圆E相交于Q,H1121E2相交于,B和C,D四点．E(1)求椭圆的标准方程；1SAPDSBQD(2)求证：；为定值．(3)若，设直线l,l的倾斜角分别为，求证：1219．(17分)已知函数fxlnx1mx，gxcosmx1，其中mR．(1)讨论fx的单调性；(2)若m1，hxfxgx1，求证：hx在定义域内有两个不同的零点；(3)若fxgx0恒成立，求m的值．高三下二月联合考试数学第4页（共4页）高三数学参考答案3323222212125，n243310．BC解：nMnNACA，nCCCCA361．D2，3，5，7，9，10，16，18，20，23．∴i1075％7.5，则取1236135∴PMPN，P，∴B正确36第8个数，选D．1∵M与N可能同时发生，∴M与N不互斥，∴A错误3141411663162．C解：由题意得8p1，∴抛物线方程为x2y，∴点F，∴KQF，故选C5∵P1P1，∴C正确101636363．B解：对于A，若m,mn则n或n对于B，若mn,m则n1313519∵PMNPMPNP，∴D错误3636对于C，若m,mn则n或n或n与相交对于D，若,l,n则ln或l与n异面故选BC11．ACD解：对于A，令xy0得f0f0f00，∴f00，故A正确对于B，令xy1得f2ff11，0114．C解：令n1，S1a，a2，由：Sn11n1nnN*，得n2n111122令x1，y1得f0f1f11，∴ff2，故B错误1121252S562，选C∴n是公比为的等比数列，对于C，令xn，y1得fnfnfn，∴fn1fnn12f1f3f2f20240123202310122023，故C正确5．D解：当AB过圆心O时，AB最大为4，当时，AB最小为24222，，故选D∴f2024f1f2f2023∴22,46．A解：∵PA0，∴P在以AB为直径的圆上，设AB中点为C，对于D，令y1得fx1fxx，两边同时求导得f'x1f'x1，202420242023110122024，则P在P处时原式取最小值，OP212222，∴f'kf'k11f'k2024f'112k1∴选A故D正确B11cosAcosBsinAsinCB12．3解：易知A2,3，B，∴A7．C解：∵2tanAtanBsinAsinBsinAsinBsinAsinB22C3c213．AC中点为OO到平面DCE距离为A到平面DCEA到平面CDE111sin∴23，∴ab3∴选C4sinAsinB2ab113的距离为d，由VCDEVADE，即SCDEdSOD18．A解：过M作MB⊥x轴，由题意可得OMB．设点Mx,y，直线AM的斜率为k．，∴ODOMOAOBAC13121x12200∴，∴O到平面CDE的距离为d2y2224x12则直线AM方程：yykxx与双曲线1联立，2b200a2523x0yy0a2421312可得AM方程为1，∴A,0，Bx,0，∴a2．141(1)由题a2abb21a2abb2b21abb1a2b2x074420，∴fx5，∴A正确61239．ACD解：∵sin2xcosabasincos3令,2，得kk1212,3,kZ，∴B错误3233令2xk，则x，∴fx的对称中心为bsinbsin612122626令2k2x2kkxkk=0x323323232313sin2sinsin∴absinsin，226k2333356C正确.令2xkxfx在上的唯一极值点为3163∴ab,1，ab的最大值为13D1(1)另解：由题1aba2b22ab2ab，当且仅当ab时取等17．解析：(1)∵AB=BC=1，60，∴为正三角形AC=1，①当ab0时，1ab2ab，1又AB∥CD，∴ACDBAC60112②当ab0时，1ab2ab，ab,0，综上：ab,1又CD=2，∴22CD22CDcos60142123331a2b223ab∵AD22CD2，∴，(2)由题知，原式t3，令tab,12a21ba2b2ab2又ADAM，AM、AC为平面AMC内两条相交直线，∴AD⊥平面MAC，，∴平面MAC⊥平面ABCD(2)取AC中点O，CD中点F，∵AM=CM，∴MO⊥AC，由(1)知平面MAC⊥平面ABCD，面MAC∩面ABCD=AC，∴MO⊥平面ABCD，又OF⊥AC，t381∴原式,t3,4t2t228t33t35t3t355838842，m令mt3,4，m42,65，∴原式42mm715．解：(1)已知数列n为等差数列，1132故以O为原点建立如图所示空间直角坐标系，C,0，A,0，M，2S337d21221212110aSad2adadS2221331312323111F,0,0，D3,,0，B,0,0，122a或a2nnN*1n11332x,y,1111设Ex,y,z，由得x,y,zz，(2)n2n12n122n12n12n12n123111nx∴Tbbbn2n221n12n2n122n1321∴y0∴E,0,C12C6C23222116．解：(1)1（1个20元，0个10元）20z21C22C12C232C1242（2个20元，0个10元或1个10元）206设平面ADM的法向量为mx,y,z16311∴PPPx,y,z3,0,01220100001111m00则13取m1(2)抽取一次得分情况为随机变量，的取值为：2，1，01322y10x,y,z,212111C2C212C22C12C22C123抽取一次得两分：P2)310设平面ACE的法向量为nx,y,z26221,0x,y,z022C12C21C126C23112C1235222y02CnCA00抽取一次得一分：P则31032z2x,y,z,,022221221C22C121抽取一次得零分：P0)6310取n,0,1，则mn0,3,1,1，m，n21∴抽取两次的得分情况为随机变量X，X的取值为：4，3，2，1，0：mn170，17由∴得：2X493213012170mn10392521P20，∴2，又21001009931240∴Ex分432101002550251001002ba224311x1，f'xm18(1)由题意知，ee，∴，∴a2b2，又∵P3,1在椭圆上，∴1，19．解析：(1)fx定义域为x1212a2b2x2y2①当m0即m0时，f'x0，fx在上为增函数；1∴b2a26，∴椭圆1的标准方程为621mmx1Ax,y,Bx,y,Px,y,Qx,y1(2)要证SAPDSBQD即证，设AABBPPQQ②当m0即m0时，f'x0x11，x1m①当直线1斜率不存在时，由椭圆对称性可知成立1f'x1，01x1②当直线l斜率存在时，设k，则AB方程：y1kx3m11111my1kx3上为减函数∴fx在1上为增函数，在2x31160m联立得k211x26k6k21x2y2111x1时，hxxxx，h'xsinx(2)m116223116612611,0①x时，h'x在1,0上单调递减，∴h'xh'00∴xx,xxPQ2PQ2111111ee1∴hx在1,0上单调递增，又h010，h1cos1210y1kx322e21212y2∴11,0，使得hx0，即hx在0上有且仅有1个零点x112联立得121x26k6k21x31k1201ex11124,时，由(1)知fxxx在,上单调递减，2②x3111261261∴xx,xxABAB221即fxf1111xxxxQ1e302QxAB，∴∴hx