新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用） 空间向量及其应用2

专题45空间向量及其应用

知考纲要求

识考点预测

梳常用结论

理方法技巧

题题型一：空间向量的线性运算

型题型二：共线、共面向量定理的应用

归题型三：空间向量数量积的运算

类题型四：利用向量证明平行与垂直

训练一：

培训练二：

优训练三：

训训练四：

练训练五：

训练六：

强单选题：共8题

化多选题：共4题

测填空题：共4题

试解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐

标表不.

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

4.理解直线的方向向量及平面的法向量.

5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系6能用向量方法证明立体几何中有关

线面位置关系的一些简单定理.

【考点预测】

L空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反一模相等的向量

共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相断或重

(或平行向量)合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a,的充要条件是存在实数人使得好

並

(2)共面向量定理：如果两个向量4,〃不共线，那么向量P与向量"，8共面的充要条件是存

在唯二的有序实数对(X,y),使〃=xa+M.

⑶空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一

的有序实数组｛x,y,z),使得〃=xa+m+zc,其中，｛a,b,c｝叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积

(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作晶=a,OB=b,则N/O8

叫做向量a与〃的夹角，记作〈a,b),其范围是［0,R,若〈a,b>则称”与b互相垂

直,记作a丄力.

(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a,b,则|姉b|cos｛a,b)叫做a,6的数量积,记作。力,

即a力=|後|画cos〈s,b).

(3)空间向量数量积的运算律

①结合律：(痴)力=4“切；

②交换律：ab=ba；

③分配律：a-(h+c)=a'b+a-c.

4.空间向量的坐标表示及其应用

设a=(a”。2,6)，b=(b\,bi,bi).

向量表示坐标表示

数量积a・b。上］+4262+4363

共线a=%(bWO,AGR)，2=%>2,，3=%>3

垂直a协=O(aWO,bWO)+0262+4363=。

模l«l、/屛+潴+44

/八061+0262+4363

夹角(a,b}(aWO,bWO)cos\a,b)——/-------------।-------------

N屛++*7尻+庆+员

5.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量4的有向线段所在直线与直线/平行或重合,则称此向

量。为直线/的方向向量.

(2)平面的法向量：直线/丄a,取直线/的方向向量a,则向量a叫做平面a的法向量.

6.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

l\//hU\//〃2=〃1=2〃2

直线厶,厶的方向向量分别为的,U2

厶丄厶U\丄〃2="1丄2=0

直线/的方向向量为〃，平面a的法向1//a〃丄〃=〃〃=0

量为n/丄。u//〃=〃=%〃

a//pn\//〃2=〃i=/2

平面a,4的法向量分别为〃1,“2

a邛n1丄n2<=>ni712—0

【常用结论】

1.在平面中，A,B,C三点共线的充要条件是：扇=》%+歹沆'(其中工+丁=1),。为平面内

任意一点.

2.在空间中，P,A,B,C四点共面的充要条件是：流=工总+丁命+z困其中x+y+z=l),

。为空间中任意一点.

【方法技巧】

1.用基向量表示指定向量的方法

(1)结合已知向量和所求向量观察图形.

(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.

(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.

2.证明空间四点P,M,A,8共面的方法

{\}MP=xMA+yMB-,

⑵对空间任一点。，OP=OM+xMA+yMB:

（3）对空间任一点。，OP=xOM+yOA+zOB（x+y+z=1）：

（4）加■〃力（或再//施或麻〃河.

3.由向量数量积的定义知，要求a与力的数量积，需已知同，冋和〈%b〉,n与〃的夹角与方

向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使4协计算准确.

4.利用向量法证明平行问题

①线线平行：方向向量平行.

②线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直.

③面面平行：两平面的法向量平行.

5.利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法

证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积

线线垂直问题

为零

直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的

线面垂直问题

判定定理转化为证明线线垂直

两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化

面面垂直问题

为证明线面垂直

二、【题型归类】

【题型一】空间向量的线性运算

【典例11在空间四边形N8CO中）若丽=（一3，5，2），CD=（-7，-1，-4），点£，E分

别为线段8C，的中点，则寿的坐标为（）

A.（2，3，3）B.（-2，-3，-3）

C.（5，一2，1）D.（-5>2'-1）

【典例2】正方体N8CD-48CQ1中点E为上底面4。的中心.若向量公=刀1+工养+健），

则实数x，y的值分别为（）

A.x=1»y=1B.x=1»y=2

【典例3］在三棱锥0-48。中，M，N分别是OA，8c的中点，G是△Z8C的重心，用基向

量万4＜)B，沆＞表示(1)麻；(2)花.

【题型二】共线、共面向量定理的应用

【典例1]已知Z,B,C三点不共线，对平面/3C外的任一点O,若点M满足而=；(为十/

+OQ.

(1)判断必，施，庆三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面/8C内.

【典例2】如图所示，已知斜三棱柱/8C—点M,N分别在NG和8c上，且满足施

=kAC\,餉=皎(O&kWl).判断向量曲是否与向量蒞，与洪面.

【典例3】已知/，8,。三点不共线，对平面外的任一点O，若点M满足而=，为+/

+OQ.

(1)判断必，而B，砒三个向量是否共面；

⑵判断点M是否在平面/8C内.

【题型三】空间向量数量积的运算

【典例1】如图所示，已知空间四边形N88的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别

是4B,AD,CZ＞的中点，计算：

⑴前♦旗.

(2)求异面直线ZG和CE所成角的余弦值.

【典例2]已知MN是正方体内切球的一条直径，点尸在正方体表面上运动，正方体的棱长是

2,则丽•丽的取值范围为()

A.[0,4]B,tO,2]c,lb4]D.U，2]

【典例3]如图所示，在四棱柱/8CD4山CQi中，底面为平行四边形，以顶点4为端点的三

条棱长都为1，且两两夹角为60。.

(1)求NG的长；

(2)求证：4cl丄BD；

⑶求BD\与AC夹角的余弦值.

【题型四】利用向量证明平行与垂直

【典例1】如图，已知44i丄平面Z8C,BB\//AA\,AB=AC=3,BC=2®

AA尸币,88尸2S，点E和E分别为8c和4c的中点.

(1)求证：EF〃平面4B1B4；

(2)求证：平面ZE4丄平面8C8i.

【典例2】如图，正方形Z8C。的边长为2啦，四边形80EE是平行四边形，

8。与ZC交于点G,。为GC的中点，FO=0且EO丄平面/BCD

(1)求证：/£〃平面8CF；

(2)求证：C戶丄平面/££

【典例3］在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,孙丄底面N6C。，点£，尸分别是PC，PD

的中点，PA=AB=1'8c=2.求证:

⑴EE〃平面R48；

⑵平面必。丄平面PDC.

三、【培优训练】

【训练一】(多选)(2020•山东临沂期末)如图，一个结晶体的形状为平行六面体NBCOdBCi。，

其中，以顶点N为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确

的是()

A.(爲1+焉+疝户=2(而2

B.届•(蒞一疝)=0

C.向量巌与刀1的夹角是60°

D.8。与ZC所成角的余弦值为16

【训练二】如图，已知四棱柱/BCD—481GA的底面4囱为平行四

边形，E为棱的中点，AF=^D,AG=2G4i,ZG与平面EFG交于点

M,贝喘

【训练三】已知。点为空间直角坐标系的原点，向量晶=(1,2,3),(95=(2,1,2),0>=(1,1,2),

且点0在直线O尸上运动，当分•诙取得最小值时，诙的坐标是.

【训练四】如图，圆锥的轴截面弘8是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为S。中点,

动点P在圆锥底面内(包括圆周).若丄河P,则点。形成的轨迹长度为.

【训练五】如图，棱柱18coi的所有棱长都等于2,48C和

N/MC均为60。，平面/4CC丄平面Z8CD/y//C，

⑴求证：BDlAAt；]...戸、/

⑵在直线CG上是否存在点尸，使平面。4G?若存在，求出点尸的代/;五

B

位置，若不存在，请说明理由.

【训练六】如图，在底面为直角梯形的四棱锥7M8C。中，AD〃BC，ZABC=90°，PD丄平

面ABCD'AD=1'AB=\l3，BC=4.

(1)求证：BD丄PC；

(2)设点E在棱PC上，PE=XPC，若Z>E〃平面PAB，求%的值.

四、【强化测试】

【单选题】

1.已知向量。=(1,1,0),6=(—1,0,2),且版+〃与2a—b互相垂直，则上的值是()

75

A.-B.2C.-D.1

53

2.如图，在平行六面体N8C。一Z'B'C'D'中，NC与3。的交点为O,点/在8C'上,

且8M=2MC',则下列向量中与电相等的向量是()

A.

263

B.--j8+-jb4--zr*

263

C.-AB+-AD+-Z47*

263

1-1—,1―；*

D.-AB--AD+-AA'

263

3.在空间四边形/BCD中，范•⑦+式•物+就)•比等于()

A.-1B.0C.1D.不确定

4.如图，在大小为45。的二面角力一跖一。中，四边形/8EE,C。所都是边长为1的正方形,

则8,。两点间的距离是()

A.gB也C.1D.y'3—也

5.已知空间任意一点。和不共线的三点4,B,C,若办=x(5^+y/+z觉(x,y,zER),

则“x=2,y=—3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的()

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.已知空间向量”=(1,0,1),6=(1,1,〃)，且a协=3,则向量。与6的夹角为()

弋B5cfDT

7.如图，在大小为45。的二面角/一跖一。中，四边形Z8EE,C0EE都

是边长为1的正方形，则8,。两点间的距离是()

A.A/3B./

C.lD.A/3-^2

8.如图，正方形与矩形NCE尸所在平面互相垂直，AB=^2,AF=\,M在ER上，且

AM//平面5DE.则M点的坐标为()

A.（h1，1）B停事]

c停t0D停I]

【多选题】

9.已知空间三点Z(l,0,3),5(-1,1,4),C(2,一1,3),若前〃死,且凝尸汨，则点P的坐

标为()

A.(4,-2,2)B.(-2,2,4)

C.(—4,2,—2)D.(2,—2,4)

10.已知空间中三点/(0,1,0),5(2,2,0),。(一1,3,1),则下列结论正确的有()

A.港与充是共线向量

B.与瀝共线的单位向量是(1,1,0)

C.施与心夹角的余弦值是一呼

D.平面Z8C的一个法向量是(1,-2,5)

11.下面四个结论正确的是()

A.向量a,伙aWO,8W0),若a丄b,则a协=0

B.若空间四个点P,A,B,C,PC=^PA+^PB,则3,B,C三点共线

C.已知向量0=(1』，x),6=(-3,X,9),若XV6则〈。，万〉为钝角

D.任意向量Q,D。满足(0山)・C=Q・(6・C)

12.给出下列命题，其中为假命题的是()

A.已知〃为平面a的一个法向量，为直线/的一个方向向量，若〃丄m,贝!j/〃a

B.已知〃为平面a的一个法向量，〃，为直线/的一个方向向量，若〈〃，，〃〉=y,则/与a所

成角为/

6

C.若两个不同的平面a,4的法向量分别为〃，V,且“=(1,2,-2),0=(—2,-4,4),则a〃4

D.已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,丹z使得p

=xa+)力+zc

【填空题】

13.如图所示，在四面体。I8C中，OA=a,OB=b,OC=c,。为8C的中点，E为的中

点、,则无=(用a,b,c表示).

14.若“=(1,1,0),〃=(—1,0,2),则与。+〃同方向的单位向量是.

15.已知4(1,-2,11),8(4,2,3),C(x,歹』5)三点共线，则中=.

16.如图，已知四棱柱的底面481Goi为平行四边形，£为棱N8的中点，

AF=­AD,AG=2GA\,ZG与平面EFG交于点“，则侬=

3AC\------