南京市南京师范大学附属中学2022-2023学年高三年级上册期中考试数学解析版

南京师范大学附属中学2022-2023学年度第一学期高三期中考试

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.设全集为R,集合/={x|N—2》一3>0},集合8=W[y=lg(x2+l),xGR},则(CRJ)CB

A.{x|x>3或xV-l}B.{x|0WxW3}C.{x|0WxWl}D.{x|-3〈xWl}

【答案】B

【解析】J=(-oo,-l)kj(3,-K»)=>CR/f=[-1,3],5=[0,+«>),所以Cj!c8=[0,3]

2.已知z=9(i是虚数单位)的共钝复数为3,则5的虚部为

1—i

A.3B.-3C.1D.-1

【答案】B

4+2/-

【解析】二二-^=(2+i)(l+j)=l+3in二=1一3，

e国

3.函数人x)=^的图象大致为

4.已知数列｛斯｝是各项均为正数的等比数列，S”是它的前〃项和，若〃2〃3=64,且〃5+2〃6

=8,则$6=

A.128B.127C.126D.125

【笞案】C

【解析［a汹=64n4=8,%+24=叼+16/=8ng=丄，所以q===26,即126

2qi_l

2

5.给出下列命题：

①垂直于同一直线的两条直线相互平行；

1

②如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;

③如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行；

④如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

以上命题中真命题的序号是

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】D

【解析】三条直线两两垂直则为①反例，由空间中两直线夹角的定义可知②对，故有②制

6.己知抛物线V=4x的焦点为尸，直线/过点尸且与抛物线交于4,8两点，过点4作抛

物线准线的垂线，垂足为M,NM4尸的角平分线与抛物线的准线交于点P,线段45的中点

为0.若|/网=16,则|PQ=

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】设L：「=A(x-l),则

y1=4.r''k-

所以网=|明+|幽=2+x,+x8=2+三尹=16,解得炉J,即0(7,±2码

A3

由对称性，仅研究A=手时，此时NA/M=?即2

所以函=卩硒哈=(l+x,)•・工=(8+4⑸.(2_m=4,即力,=26

所以戶(-1,2旧)、2亿2万)，即归0|=8

7.如图，在正三棱台NBC—481cl中，AB=204丛=6,44|=43，则正三棱台/8C

一小当。的外接球体积为

A.—B.当iC.64D.64兀

33

【答案】B

2

【解析】设三棱台外接球球心为0,半径为r,O到面ABC距离为h

易得棱台的高为26+2,则有，,厂、2,解得/•=%即外接球体积为，戸=筌

〃=12+(26+2叫33

8.己知正实数x,y满足x+丄+4»+丄=10,则x+4y的最大值为

xy

A.-B.1C.2D.9

9

【答案】D

【解析】l+丄+4歹+丄=10=>10-(^+4^)=—+—

xyxy

(丄+丄)n(K+4J，)[10-(x+4)，)]=5+比马9

=>(x+4y)[10_(x+4y)]=(,r+4y)

=(x+4y)--10(r+4y)+940=(x+4>)«9.当且仅当x=2y时取等

二、多项选择题：本题共4小题，每小颗5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对的得5分，有选错的得0分，

部分选对的得2分.

9.设a,b,。都是实数，下列说法正确的是

A.是的充要条件

B.\na>\nb是a2>b2的充分不必要条件

C.厶"。中，角力，B,。对应边分别为〃，b,c,则siM>sin5是。>6的充要条件

D.tanO=亜是sin26=重的必要不充分条件

32

【答案】BC

【解析】A.c=0时不成立，故错

B.\na>lnb=>a>b>01序>必=冋>网，故对

C在三角形中4+8<〃，故对

=>6=弓+而(ZeZ),故sin26=sin|0+2l〃

D.tan。==Y>所以充分性得证，故错

3

10.已知Hx)是定义在R上的奇函数，满足大X)=一/(x+2),当OWxWl时，貝x)=x2,则下

列结论正确的有

A.函数兀0的图象关于直线x=l对称B.函数人x)是周期函数

C.函数/(x)在［2020,2022］上单调递增D.函数/(x)有最小值一1

【答案】ABD

3

爲二肾"、+2)=/冋=小力/(1)，故对

【解析】A.

B./(x)=-/(x+2)n/(x+4)=/(x)n7=4,故对

C由已知可知/(x)在［0,2］不单调，则又由周期性可知错

。由题意可知/(x)1111n=/(-1)=一/(1)=-1,故对

11.已知川,尸2分别为椭圆C：£+产=1的左、右焦，不过原点。且斜率为1的直线/与

椭圆C交于P,0两点，则下列结论正确的有

A.椭圆C的离心率为芈B.椭圆C的长轴长为2

C.若点M是线段PQ的中点，则的斜率为一：D.△OP。的面积的最大值为学

【答案】ACD

1

2

【解析】A.a2=2,b2=1c=1=>e=—=—F==——,故对

aV22

B.a=^2=>2a=2>/2,故错

S.W9=；|〃小辰一"|=*吓J啜-^±=冬Jj(3_〃j)

当m-=g时，取最大值孝,故对

12.已知函数./(x)=lnx—a/,则下列结论正确的有

A.当丄时，y=/(x)有2个零点

2e

B.当a>丄时，/(x)W0恒成立

2e

c.当。=；时，1=1是y=/a)的极值点

D.若Xi,X2是关于X的方程大力=0的2不等实数根，则xm>e

4

【答案】BC

【解析】/(x)=On豐=a,易知g(x)=豐在(0,月增，在(&+oo)减,如图，故/错，8对,

—,故对

XXX

D/(x)=0n厶(x)=]^-a=O,即不妨设0cxi＜厶＜x?

In—

<e,则为<£,则厶($)<〃—,则厶—I,贝|］见，■<./飞,

x2IW丿I占丿者、三(金］

贝|jInx2-422＜0

x-＞+e

设f=x：＞/,则孚--二＜0,

-4/+r

设両(/)=*一方，则〃/(/)=(一

-^＞0,即，〃(/)在(/,+8)上单调递增,

/+e2)

又"«/)=0,所以〃，(，)>0,故其±>6,即xj2<e错

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13.已知向量。=(2,3),6=(—1,2),c=ka+h,则E=.

4

【答案】一一

13

【解析】c=ka+b=(2k-\,3k+2),alc=>a-c=O=>2(2A-l)+3(3A+2)=O=>A=--^-

14.已知函数y=/U)的定义域为R,当x>0时，段)=2'—1,且函数y=/(x+l)关于点7(一

1,0)对称，则满足人2》-3)+人『)・0的取值范围是.

【苕案】［-3』

【解折】y=/(x+l)关于T(-l,0)对称，则/(x)为奇函数，且由题意可得/0)单调递増，

听以/(2x-3)+/(.P)40=/(Y)4/(3-2x)=x243-2xn-34x41

5

15.对如下编号为1,2,3,4的格子涂色，有红，黄，蓝，绿四种颜色可供选择，要求相

邻格子不同色，则在1号格子涂红色的条件下，4号格子也涂红色的概率是.

4

1_]

【答案】-

3

（解析】设I号涂红色事件为A,4号涂红色事件为B,则尸伊|/1）=-^―7=1

16.已知尸2分别为双曲线C：三一片=l（a>0,Q0）的左，右焦点，过点尸2且斜率为

CTD1

1的直线/与双曲线C的右支交于P,0两点，若△KP。是等腰三角形，则双曲线C的离

心率为.

［答案］-&+疝

2

【解析】设PF?=m,QF2=%由双曲线定义可得/V；=2〃+也。6〃

jrir

①尸石=P。时，m+2a=m+n,即2a=”,因为直线斜率为I,所以倾斜角为了，即2。月"=7,

44

在三角形QEE中，由余弦定理可得（『=（08/+（6片）2-2°鸟•E8•cosNQ片片

即/+"-3=0,解得e=丝巫，此时直线于双曲线的两支相交，舍；

-V2+Vl4

②。£=P。时，同理可得e=*22二,此时满足题意；

③QK=P"时，由对称可得不存在，舍.

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文

字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知等差数列｛“”｝与正项等比数列出“｝,满足m=bi=3,63-田=12,s+岳=14.

（1）求数列｛。“｝和仍“｝的通项公式；

（2）在①c.=」一；@cn=anb„；③厶=圆吐工这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，

aA+i（册%+1）-

并完成求解.

若,求数列｛为｝的前〃项和.（注：若多选，以选①评分）

6

%=A=3

‘3/-3-6d=12。=2ul”一一“

【倂析】(1)由已知得bj-a?=12=<={3所以4=2〃+1也=3;

3+d+3g=14[q=3

a2+b2=14

⑵选①’则有*£=(2〃+応“+3)出木羨

Ifl11112〃+3)=5(5-2〃+3)=6〃+9

蛔nn+-5旨+袞/.•+,一

18.(本小题满分12分)

点。为△Z8C边48上一点，满足力0=2,DB=8,记4BC=a,NBAC=p.

(I)当CD丄48,且夕=2a时，求CO的值；

⑵若a+片:,求△“CO的面积的最大值.

CDCD

tana=---tana=---

BDn8

【答案】(1)由已知得

、CDcCD

tan2a=---tanla=---

AD2

20

——丄.2tanaC。

又因为tan2a=----------,所以一=,8c,解得C。=4竝；

1-tan2a2CD

1-

(2)?£三角形ABC中，ZCAB="a-0=W.

4

由正弦定理得=即4C=10&sina,

sina宀5

sin——

4

所以S..“7)=g40sinp=io/sinasin[(-a)

=10>/2sina——cosa-------sina=10(sin«cosa-sin2a)=56in2a+cos2a-1)

22

=5Qsin(2a+?

当2a+?=',即a=^■时，取最大值5夜-5.

19.(本小题满分12分)

如图，在等腰梯形中，AB=BC=CD=2,4。=4,点£为线段4。的中点，将

/\CDE沿着CE折起到△CPE位置，M为EC的中点.

(1)求证：平面8PA/丄平面ABCE；

(2)当平面CPE丄平面ABCEVPi,求二面角B-PC-E的余弦值.

7

【解析】(I)由已知得三角形PEC和三角形BEC均为等边三角形

因为M是EC中点，所以BM丄EC,PM1EC

又因为BMcPM=A/,BMu而P8W,尸A/<=而PB,”,所以CE1面P8.”

又因为CEu面/8C£,所以面/SCE丄面P8V;

(2)以M为原点,MB所在直线为x轴，ME所在直线为y轴，MP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,

由已知得B(6,0,0),P(0,0,6),C(0,TO),即丽=(-V3,0,V3),BC=(-^-I,0)

♦而=0n卜&+戊=0

设面3PC的法向量1=(n,6,c),则

n-BC=0[-yfia-6=0

令a=1有"=

由⑴可知丽=(G,o,o)为面PC£的一个法向量，所以cos,而戶市侖=7%

答：二面角B-PC-E的余弦值为y-.

20.(本小题满分12分)

史明理，学史增信，学史崇德，学史力行.近年来，某市积极组织开展党史学习教育的

活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中

抽取了1000份试卷进行调查，根据这1000份试卷的成绩(单位：分，满分100分)得到如下

频数分布表：

成绩份[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

频数40902004001598040

(1)求这1000份试卷成绩的平均数?(同-一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

(2)假设此次测试的成绩X服从正态分布M"，标)，其中〃近似为样本平均数，〃近似为样本

方差s2,已知s的近似值为6.61,以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于

市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少(结果保留一位小数)？

(3)该市教育局准备从成绩在［90,100］内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从

8

这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记丫为抽取的3份试卷中测试成绩在［95,100］

内的份数，求y的分布列和数学期望.

参考数据：若X~N@。2),则尸(//-cVXW"+c)Q0.6827,P(/t-2a<X^/i+2CT)=«0.9545,

pQ-3o<XW〃+3<7)"0.9973.

【解析】（I）由已知得

405u90fU200rru400=150___80ecu40cruoc.u

x=-------*67.5H----------72.5H---------77.5+-------*82,5+-------*87.5+-------*92.5H---------*97.5=82.15

1000100010001000100010001000

(2)由已知得P(x>p-a)=P(x>75.54)=1+""-bvxv’ib)%0.84135,

答：市委宣传部预期平均成绩大约为75.5分;

（3）由分层抽样得抽取的6分试卷中2份在［95,100）内，4份在［90,95）内，Y的可能取值为0,1,2,

则p（y=o）=等=/（丫=1）=等］，?（丫=2）=等J

即Y的分布列为:

Y012

P丄3

555

所以E（y）=i.

21.（本小题满分12分）

已知抛物线八y=42的焦点为E

4

（1）求抛物线「的准线方程：

（2）若过点/的直线/与抛物线r交于4B两点,线段的中垂线与抛物线「的准线交于点

C,请问是否存在直线/,使得tan//C8==?若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说

明理由.

【解析】（I）由已知得-=4），，即抛物线的准线方程为y=7;

（2）由题意得F（0,l）,且/斜率一定存在，设/:y=h+l,

设4（不,弘）,8（々,必），AB中点为M,设ZACF=a,NBCF=0,则N4CB=a+。，

AMB\fAB

tana+tan夕彳十彳二斤

即tanZ.ACB=tan(a+夕)=

1-tana-tan/?AMBKf-AB2

4

的誑，则tan（a+0）=］,即4。尸？一348.。/一482=。，

9

所以(4CF+AB){CF-/B)=0,又因为CF>0,48>0,即CF=/IB

因此有/1+/一|%-力|=>/1+&卞「4|，即kIf|=2