2014-2023年高考数学真题分享汇编：解析几何多选、填空（理科）（解析版）（全国通用）

十年(2014—2023)年高考真题分项汇编一解析几何多选、填空

目录

题型一：直线的方程.........................................1

题型二：圆的方程...........................................4

题型三：直线与圆的综合.....................................8

题型四：椭圆..............................................13

题型五：双曲线............................................23

题型六：抛物线............................................34

题型七：圆锥曲线的综合应用................................43

题型一：直线的方程

L(2020北京高考•第15题)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放

未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量少与时间f的关系为"=/«),用-"‘一”")的大小

b-a

评价在［a,切这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间

的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在上力这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在G时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在g时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标：

④甲企业在［0,4,L4］这三段时间中，在［0,的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②③

【解析】表示区间端点连线斜率的负数,

b-a

在心口这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能

力比乙企业强；①正确：

甲企业在［。，小心小国㈤这三段时间中，甲企业在卜③］这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，

即在心力的污水治理能力最强.④错误；

在时刻J，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比

乙企业强；②正确；

在g时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以卜，所以都己达标；③正确；故答案为:

①②③

2.(2014高考数学四川理科•第14题)设〃?eR,过定点〃的动直线X+冲=0和过定点8的动直线

/Mx-y-〃z+3=0交于点尸(xj),则的最大值是；

【答案】5

解析：4(0,0),8(1,3),因为所以+|0例20"8|2=IO

故|尸川•|PB区-川=5(当且仅当।qPB|=V5时取“=”)

3.(2017年高考数学上海(文理科)•第16题)如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点片、鸟、鸟、舄

以及四个标记为的点在正方形的顶点处，设集合。=｛《,《,鸟,巴｝,点Pe。，过P作直线。，使

得不在，上的的点分布在。的两侧.用，(/p)和。2(。)分别表示。一侧和另一侧的的点

到。的距离之和.若过。的直线。中有且只有一条满足"(/.)=2(/.)，则C中所有这样的。为

【答案】

【解析】设记为“"的四个点为4民。,。，线段/Bice。"的中点分别为E,E,G,〃，易知

EFGH为平行四边形，且记点4民。,。到直线。的距离为小⑷,h(B),h(C),h(D),根据题意，四

个点不在。的同侧，那么就有两种可能：

⑴若。的两侧分别有两个点,如图2,点45和C,D分别在lp的两侧，若久⑷+〃(8)=〃(C)+h(D),

则有〃(E)=Z?(G),即人(K)和方(G)所在的线段平行且相等，于是可构成相应的平行四边形，因此直线

。必过EG的中点.

若点4c和8,0分别在直线。的两侧，同理可知直线。必过尸H的中点.

于是,直线。必过平行四边形瓦G”的对角线的交点”.

⑵若Ip的一侧有三个点，另一侧有一个点，如图3,点B,A,D和C分别在。的两侧，若

h(A)+h(B)+h(D)=MC),即h(A)+h(D)=h(C)-h(B),由平面几何知识有，

h(A)+h(D)=2MH)，且h(C)-h(B)=2h(F),则有h(H)=h(F),即h(H)和h(F)所在的线段平

行且相等，于是可构成相应的平行四边形,因此直线。必过尸〃的中点.

若点A,C和8分别在直线I?的两侧，同理可知直线lp必过EG的中点.

于是，直线。必过平行四边形瓦'G”的对角线的交点”.

综上,满足已知条件的直线肯定要经过EG和FH的交点.

取值范围是

【答案】(2,+8)

解析：将方程组中上面的式子化简得y=1-0%,代入下面的式子整理得(l-ab)x=l-6,方程组无

解应该满足1—。6=0且1—所以=1且人工1,所以由基本不等式得a+b>2疯=2,即

a+6的取值范围是Q,+8).

5.(2016高考数学上海理科•第3题)已知平行直线/1：2%+丁一1=0,/2：2%+丁+1=0,则/1与4的距离

是..

【答案】—

5

解析：利用两平行线间距离公式得d=ffl=I"1"11=拽.

yla2+h2VF7F5

考点：两平行线间距离公式.

【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题

较为容易，主要考查考生的基本运算能力.

题型二：圆的方程

一、多选题

1.(2021年新高考I卷•第11题)已知点尸在圆(x-5『+(y-5)2=16上，点2(4,0)、8(0,2),贝lj

()

A.点尸到直线Z8的距离小于10

B.点尸到直线月8的距离大于2

C.当NPB/最小时，|心|=3五

D.当NP84最大时,阿=3&

【答案】ACD

解析:圆(x-5)2+(y-5>=16的圆心为M(5,5),半径为4,

直线48的方程为3+5=1,即x+2y_4=0,

|5+2x5-4|1111J5

圆心M到直线AB的距离为।g~~।=7=—>4,

Vl2+22V55

所以，点P到直线的距离的最小值为辿-4<2,最大值为11叵+4<10,A选项正确，B选项错

55

误；

如下图所示：

当NP8/最大或最小时，P8与圆M相切，连接MP、BM,可知PA/J.PB,

忸叫=J(O一5)2+(2-5『=取,\MP\=4,由勾股定理可得忸耳=J忸_|加「『=3夜,CD选项正

确，故选ACD.

二、填空题

1.(2022新高考全国I卷•第14题)写出与圆/+V=1和(％一3A+(y—4)2=16都相切的一条直线的方

程.

35725

【答案]J=_：x+：或y或x=—l

442424

解析：圆f+V=i的圆心为。(o,o),半径为1,圆@—3)2+3—4)2=16的圆心Q为(3,4),半径

为4，

两圆圆心距为J32+42=5,等于两圆半径之和，故两圆外切，

如图，

433

当切线为/时，因为自&所以勺=一^，设方程为歹=一^》+/«>0)

535

O到/的距离'解得公屋所以/的方程为、=一7+“

当切线为m时，设直线方程为Ax+y+p=0,其中p>0,k<0,

=1

J1+公725

由题意<解得j25——x----

|3k+4+2>y=2424

1.4p=---

[J1+父I24

当切线为。时，易知切线方程为x=-l,

35725

故答案为：y=—x+—或y=—或x=-1.

442424

2.(2022年高考全国乙卷数学(理)•第14题)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为

7Y或

【答案】(x-2)2+(y-3)2=13或(x_2『+(y-iy=5或x-lI+L

Ti+g)T

解析：依题意设圆的方程为产+/+6+&+尸=0,

F=0但=0

若过（0,0）,（4,0）,（-1,1）,贝1卜16+4。+尸=0,解得<。=一4,

l+l-Z>+E+F=0[«=-6

所以圆的方程为X2+J?—4X—6y=0,即（x—2）2+（y—3）2=13；

F=0但=0

若过（o,o），（4,0）,（4,2）,则16+4。+/=0,解得＜。=—4,

16+4+4。+2£+/=0,=-2

所以圆的方程为一+/—4x—2y=0,即（*一2）2+（；；-1）2=5；

,产=0

F=0

8

若过（0,0），（4,2）,（-1,1）,则J1+1-O+E+/=0,解得=,

16+4+4。+2£+歹=0

E一

3

所以圆的方程为x2+y2_|x_9y=0,即（x—g）—

L16

F=-----

l+l-Z>+£+F=05

若过（T,l）,（4,0）,（4,2）,则（16+4。+/=0,解得.0」

5

16+4+4D+2E+F=0

E=—2

所以圆的方程为—+y2_《彳_2y__^~=0，即+(卜_1)2=^^'；

故答案为：(x-2『+(y—3)2=13或(x-2)2+(y-l『=5或(x—g)二■^或

3.(2020江苏高考•第14题)在平面直角坐标系x。中，已知尸(g,0),A,8是圆C：/+(y-；/=36上

的两个动点，满足PZ=P8,则"48面积的最大值是.

【答案】106

【解析】QPA=PB；.PCLAB

型=1

设圆心C到宜线距离为"，则|第=2,36_/,|PC\=

44

22

所以SVPAB<；-2,36-/(d+1)=7(36-J)(rf+1)

令y=(36-屋)(〃+i)2(o4/<6)y'=2("+1)(-2/-4+36)=0=4(负值舍去)

当0Kd<4时•，了>0：当4Wd<6B寸，y40,因此当d=4时，N取最大值，即S&B取最大值为10小，

故答案为：10石

4.若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=3x(xN0)相切，则这个圆的方程为.

【答案】(X—1)2+(夕一6)2=1

解：若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=^x(xN0)相切，则圆心在直线丫=有*上，且

圆心的横坐标为1,所以纵坐标为JJ,这个圆的方程为*-1)2+3-百)2=1。

5.(2014高考数学陕西理科•第12题)若圆。的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称，则圆。

的标准方程为.

【答案】x2+(j-l)2=l

解析：点。与点(1,0)关于直线y=x对称，可得C(0,l).又圆。的半径为1,所以圆C的标准方程为

X?+3-1)2=1.

6.(2015高考数学湖北理科•第14题)如图，圆C与x轴相切于点“1,0),与y轴正半轴交于两点48(8

(I)圆C的标侬方程为;

(II)过点A任作一条直线与圆O:Y+必=1相交于历,N两点，下列三个结论：

①粤=阳；②粤一悭=2；③粤+脚=2日

\NB\\MB\|AC4|\MB\|恻\MB\

其中正确结论的序号是」(写出所有正确结论的序号)

【答案】(I)(x-l)2+(y-尤y=2；(H)①②③

解析：(I)依题意，设C(l,r)(r为圆的半径)，因为|Z5|=2,所以-=Jl'+l?=后,所以圆心

C(1,V2),故圆的标准方程为(x-1)?+(y-应产=2.

fx=0fx=0fx=0

(H)联立方程组1、L、，解得，L或1L，因为8在/的上方，

[(x-l)2+(^-V2)2=2[y=y/2-1[y=V2+l

所以/(0,正一1),5(0,72+1),

令直线"N的方程为x=°,此时河川((),_1),N(0,1),

所以|小|=行，|〃8|=2+行，|岫|=2—VI,|N5|=V^

因为凶=互交=1一"也=£=后一1,所以目=悭.

22\MB\2+72|网\MB\

所以将一陷=与_已=凤近2,

|附|\MB\2-V2V2+2

粤+粗=口+六=拒一员『2近，

|四|\MB\2-V2夜+2

正确结论的序号是①②③.

题型三：直线与圆的综合

一、多选题

1.(2021年新高考全国H卷•第11题)已知直线/:ax+如-/=0与圆。/2+/=/2,点ZQ6),则下列

说法正确的是()

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点4在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

【答案】ABD

解析：圆心C(0,0)到直线/的距离d=若点/(a,6)在圆C上，则〃2+从=/,所以

Va2+b2，

r2

=卜|,则直线/与圆相切，故正确;

d=7777CA

若点”(a,b)在圆C内,则j+户〈户,所以".■>卜则直线/与圆C相离，故B正确:

\la2+62

/2

若点力(a,6)在圆C外，则7+户>尸，所以d=<M，则宜线/与圆C相交，故C错误;

r2

若点以“力)在直线/上，则/+62-/=o即/+/十2,所以"==卜|,直线/与圆C相切,

y1a2+b2

故D正确.故选：ABD.

二、填空题

1.(2020年浙江省高考数学试卷•第15题)设直线/：y=h+6(%>0),圆CjV+j?1,

2

C2:(X-4)+/=1,若直线/与G，G都相切，贝必=;b-

【答案】(1).巫(2).一空

33

|b|,\4k+b\,

解析：由题意，G，G到直线的距离等于半径，即)1+]2=L

所以|回=|44+4,所以左=0(舍)或者6=—2左，

解得%=乌》=一毡.

33

2.(2022年高考全国甲卷数学(理)•第14题)若双曲线机＞0)的渐近线与圆/+/一外+3=0

m

相切，则加=.

【答案】叵

3

【解析】双曲线丁-3=1(加＞0)的渐近线为y=±\,即x±/ny=0,

不妨取x+W=0,圆x2+y2-4y+3=0,即f+&-2丫=1,所以圆心为(0,2),半径『=1,

依题意圆心(0,2)到渐近线x+叼=0的距离d=-7^1=1,

V1+〃广

解得m=—或m=(舍去).

33

故答案为：正.

3

3.(2022新高考全国H卷•第15题)设点4(-2,3),8(0,a),若直线N3关于y=a对称的直线与圆

(x+3)2+3+2)2=1有公共点，则a的取值范围是.

【答案】公

l_32J

解析：4(—2,3)关于y=a对称的点的坐标为4(—2,2a—3),8(0,a)在直线V=。上，

所以所在直线即为直线/,所以直线/为夕=二x+a,即(a-3)x+2y-2a=0；

—2

圆C:(x+3/+(y+2『=1,圆心C(一3,一2),半径尸=1,

|-3(a-3)-4-2a|

依题意圆心到直线/的距离"=J~I-------.—＜1,

i3-]3一

即(5—5a)24(a—3『+22,解得一即ae；

故答案为：—

［32j

4.(2021高考天津•第12题)若斜率为G的直线与》轴交于点A,与圆x2+(y-l)2=l相切于点8,

贝.

【答案】6

解析：设直线N5的方程为歹=技+人则点幺(0/)，

由于直线Z5与圆x2+(y-l)2=l相切，且圆心为C(0,l),半径为1，

则也”=1,解得b=—i或6=3,所以»q=2,因为忸q=i,故以外=J|zq2一忸=6.

故答案为：也.

5.(2020天津高考•第12题)已知直线X-后+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于48两点.若|/8|=6,

贝卜的值为.

【答案】5

8

［解析】因为圆心(0,0)到直线X_岛+8=0的距离d==4,

由1=2/2一/可得6=2护77,解得r=5.故答案为：5.

6.(2019•浙江•第12题)已知圆C的圆心坐标是(O,m),半径长是，，.若直线2x-y+3=0与圆C相切于

点［(一2,-1),则”?=,r=.

【答案】-2,V5

【解析】由于直线与圆相切，故ZCU,则的c=-；，直线"C："1=-；。+2)代入。(0,〃?)可得

m=-2,故“罔;隹+(-2+1)2=亚.

7.(2018年高考数学江苏卷•第12题)在平面直角坐标系x°y中，A为直线l-.y=2x上在第一象限内的点，

8(5,0),以A8为直径的圆C与直线/交于另一点D.若万.丽=0,则点A的横坐标为.

【答案】3

解析：设4伍,2°)(“>0),则圆心C(竺^,〃)，易得圆C：(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0,与y=2x联立

解得点。的横坐标标=1，所以。工2).所以N8=(5-a,-2a),

CD=(l--^^,2-a),由万•丽=0得，(5-a)(l-+(-2a)(2-a)=0,

解得Q=3或0=—1,因为。>0,所以。=3.

[.五,

X=-14----1,

8.（2018年高考数学天津（理）・第12题）已知圆/+72-2》=0的圆心为（：，直线1?.（f为参

2近，

y-3----1

2

数）与该圆相交于48两点，则△N8C的面积为.

【答案】-

2

【基本解法一】：圆C的标准方程为（彳-1）2+歹2=1,圆心为C（1,O）,半径r=l,直线的一般式方程

为

x+y—2=0,即y=x—2,将y=x—2代入/+_）；2-2》=0,整理得f-3x+2=0,解得x=l或

x=2,所以4（2,0）,8（1,-1）,可知△48C为等腰直角三角形，“。|=忸。|=1,

所以S"BC=；X1X1=；.

【基本解法二】：圆C的标准方程为（x—圆心为。（1,0）,半径r=1,直线的一般式方程

为

x+y—2=0,圆心C到直线的距离1=匠浮1=走，网=2分一屋=丘，

y/22

9.（2014高考数学重庆理科•第14题）过圆外一点尸作圆的切线4（工为切点），再作割线P8,PC分别

交圆于B,C,若P4=6,AC=S,BC=9,则45=

【答案】4

pADRAR

解析：通过弦切角定理找到NPAB=NC,易得APAB与4PCA相似，—

PCPAAC

解得AB=4

10.（2014高考数学重庆理科•第13题）已知直线ax+y—2=0与圆心为C的圆（x—1）2+。—02=4相

交于48两点，且口Z8C为等边三角形，则实数。=.

［答案】4±V15

解析：根据直线和圆相交于A,B两点，C是圆心，口N8C是等边三角形可知等边三角形边长等于圆C

的半径2,所以C到宜线的距离即为等边三角形AB边上的高，列出等式L匕己，解得

a-4+y/l5o

IL（2014高考数学上海理科•第14题）已知曲线C：X=-JZ二了"，直线/：X=6.若对于点/（〃2,0）,存在

。上的点尸和/上的点。使得"+而=6,则加的取值范围为.

（答案］2<m<3

解析：由已知得曲线C为以原点为圆心,2为半径的左半圆.A为P、。的中点.

设0（6,"），则尸（2加-6,-〃）.因为尸（2加-6,-〃）在曲线C上，则-2<2/„-6<0ap2<w<3.

12.（2014高考数学课标2理科•第16题）设点M（x0,l）,若在圆。：x2+J；2=1上存在点N,使得N

OMN=45°,则X。的取值范围是.

【答案】［-1,1］

解析：在坐标系中画出圆。和直线y=l,其中在直线上，由圆的切线相等及三角形外角知识,

可得

13.（2014高考数学湖北理科•第12题）直线4:y=X+a和4：y=X+b将单位圆C:刀2+/=1分成长度

相等的四段弧，则/+〃=

【答案】2

解析：由题意，得圆心（0,0）到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的1，即卑=卑，

4v2yj2

卑=COS45°=—,所以。2="=1,故/+加=2.

V22

14.（2014高考数学江苏•第9题）在平面直角坐标系中，直线x+2y-3=0被圆0-2）2+3+1）2=4

截得的弦长为___一

【答案】1一

5

解析：圆（x-2/+（y+l）2=4的圆心为C（2,-l）,半径为r=2,点C到直线x+2y-3=0的距离为

^=|2+2x（-l）-3|=3,所求弦长为/=2J2一/=2H=2叵.

炉两由V55

15.（2014高考数学大纲理科•第15题）直线/1和12是圆/+/=2的两条切线，若4与4的交点为（1,3）,

则4与%的夹角的正切值等于_______一

4

【答案】-

3

解析：根据题中条件易判断到直线4,12的斜率都存在，设过点(1,3)的切线方程为y-3=k(x-1)即

kx-y+3-k=0,则山圆心(0,0)到直线的距离等于半径可得［一眉=^nk=—7或

Jl+公

k_k1;74

k=l,设两直线的夹角为9,山两直线的夹角计算公式可得tan。=|上」H=|3|=2.

1+左1—73

16.(2016高考数学课标HI卷理科•第16题)已知直线/:znx+夕+3帆一G=0与圆f+/=12交于48

两点，过43分别作/的垂线与x轴交于C、。两点，若“却=26，则|CQ|=.

【答案】4

［解析】因为\AB\=2,且圆的半径为2百，所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-y5=0的距离为

JR2一(网)2=3,则由卜丹=3,解得加=一也，代入直线I的方程,得'=立》+26,所以

直线/的倾斜角为30°,由平面几何知识知,在梯形Z8CQ中，|8|=上儿=4.

11cos30°

17.(2023年新课标全国H卷•第15题)已知直线/：X-叼+1=0与口C：(x-l)2+「=4交于4B两点，

Q

写出满足"口面积为一"的m的一个值.

【答案】2(2,-2,工,一,中任意一个皆可以)

22

解析：设点C到直线28的距离为d,由弦长公式得|/8|=2,4—d2,

所以^“Bc='xdx2j4_d2=g,解得：1;如［或“=拽,

2555

由'=/"+”=/22，所以二^=当或~j^==鸣，解得：加=±2或机=土;.

故答案为：2(2,-2,1,一2中任意一个皆可以).

22

题型四：椭圆

一、填空题

工2V2

1.(2021年高考浙江卷•第16题)已知椭圆%+%=1伍>6>0),焦点耳(-c,0),5(c,0)(c>0),若过与

CY+/=C2相切，与椭圆在第一象限交于点P,且轴，则该直线的斜率是

的直线和圆X-1

,椭圆的离心率是

【答案】(1).巫⑵.正

55

解析：

Ay

如图所示：不妨假设c=2,设切点为3,

\AB\2/cl尸22广

sinZP/^R=sinZBF^A=]\=—ftanZ.PFXF2=/==—。5

|五/3V32-225

所以k:空,山％=摆,比用=2c=4,所以|桃卜至，忸用=丝叵，于是2a=阀|+|P周=46,

5Ii2155

即”2忖所以e*品邛.

故答案为宝；好.

55

22

2.(2021年高考全国甲卷理科•第15题)已知大，巴为椭圆C：二+匕=1的两个焦点，P,Q为C上关

164

于坐标原点对称的两点，且|P0|=|6用，则四边形班06的面积为

【答案】8

解析：因为P,。为。上关于坐标原点对称的两点，

且|PQ|=|百且],所以四边形班。匕为矩形，

22

设|尸片|=m,\PF21=n,则〃?+〃=8,w+n=48,

所以64=(/»+M)2=m2+2mn+tv=48+2nm,

加〃=8，即四边形P片。鸟面积等于8.

故答案：8.

3.(2022新高考全国II卷•第16题)已知直线/与椭圆《+4=1在第一象限交于A,8两点，/与x轴，y

63

轴分别交于M，N两点，且施叼=26，则/的方程为.

【答案】x+®y-2®=0

解析：令”的中点为E,因为=所以|A/£|=|NE|,

2222

设2（西,乂），8（%2，%），则子+^-T，菅+号=1，

所以近一迂+£_五=0,即（再72）（须+》2）+（凹+辿5-必）=0

663363

（弘+%）（乂一%）11

所以（…指+:=下即晒以=一相设直线止、"+〃，/＜。，加＞。,

令x=0得〉=加，令^=0得》=一/，即M[-pO,N（0,m）,所以E

m

即左x，一=—解得上=一也或左=交（舍去），

_2222

~2k

又|MN|=2JL即|儿叫=卜《/胡=2百，解得〃?=2或加=一2（舍去）,

所以宜线/8：y=—^x+2,即x+岳一2正=0：

4.（2022新高考全国I卷•第16题）已知椭圆C：\+与=1伍＞6＞0）,C的上顶点为4两个焦点为"，

ab

F2,离心率为过片且垂直于NE的直线与C交于D,E两点，|DE|=6,则口4DE的周长是

【答案】13

c1

解析：•••椭圆的离心率为e=—=—，/.a=2c,：.b2=a2-c2=3c2）；•椭圆的方程为

a2

三+J=1,E|W+4/-12C2=0，不妨设左焦点为耳，右焦点为玛，如图所示，•••

4c3c'

n

AF2=a,OF2=C,a=2c,乙460=§，△/石鸟为正三角形，•.•过6且垂直于的直线

与C交于D,£两点，OE为线段幺鸟的垂直平分线，.•.直线DE的斜率为3,斜率倒数为6，直

3

线DE的方程：x=扬一c,代入椭圆方程3-+4y2-12c2=0,整理化简得到：13/-6&y-9c2=0,

判别式△=(6GC『+4X13X9C2=62X16XC2,

=+|乂一为=2x卷=2x6x4x5=6,

13

得a=2c=—

T4

,.,QE为线段的垂直平分线，根据对称性，AD=DF294石=%，，口力。E的周长等于△月。E

的周长，利用椭圆的定义得到△入。E周长为

\DF2\+\EF2\+\DE\^\DF2\+\EF21+|DF]\+\EF]\=\DFt\+\DF21+|EFX|+忸勾=2a+2a=4〃=13故答案

为：13.

5.(2021高考天津•第18题)已知椭圆，+£=l(a>b>0)的右焦点为尸，上顶点为8,离心率

为当,且忸E|=JL

(D求椭圆的方程；

(2)直线/与椭圆有唯一的公共点“，与》轴的正半轴交于点N,过N与垂直的直线交x轴

于点尸.若MP//BF,求直线/的方程.

y2L

【答案】（1）、+/=1；（2）x-y+#=0.

解析：⑴易知点E（c,o）、B（O,b）,故忸尸|=J?寿=a=JL

因为椭圆的离心率为e=£=述，故c=2,b=yla2-c2=\>

a5

2

因此，椭圆的方程为r土+»2=i；

5

（2）设点"（七，九）为椭圆《+/=1上一点，先证明直线MN的方程为当+为y=1,

5）

g+JV=l

联立2,消去歹并整理得X2-2X°X+X；=0,A=4焉一4焉=0,

X2.

一+y=1

I5.

因此，椭圆工+/=1在点"（x0,九）处的切线方程为菅+yj=1.

53

-111

一，由题意可知%>0,即点N0,—,

7。■M

b1cl

直线AF的斜率为左"=一一=一7，所以，直线PN的方程为y=2x+—,

c2%

11、

在直线0N的方程中，令y=0,可得x=-丁，即点尸,0,

2%I2y为oJ

%_2yo___

因为MP//BF,贝!|£心=尢卬，即12x0y0+12，整理可得（X。+5%）2=0,

XQ-

2%

所以，％=-5%，因为日+丁；=6"=1,•..%>（）,故为=逅，x,=—巫

566

所以，直线/的方程为—巫》+逅歹=1，即》一少+#=0.

66

r2y2

6.（2019•浙江•第15题）已知椭圆］+q=l的左焦点为尸，点尸在椭圆上且在x轴的上方.若线段

的