2024届新高考数学小题微点特训26 空间点、线、面的位置关系含答案

微

微点特训•数学（新）

壁立千仞，无欲则刚。

26.空间点、线、面的位置关系

完成日期：月日

［考点对点练］一保分必拿7.（多选）如图是正方体的平面展开图.则在这个正方体

中.卜一列命题正确的是)

［考点一］平面的基本性质及应用

1.茬三版建ABC-AiB©市,E,F分别为棱AA|.CC

的中点,则在空间中与直线A|BI.EF.BC都相交的

直线（）

A.不存在B.有且只有两条

C.有且只有三条D.有无数条

2.（多选题）如图所示，在正方体D,c

ABCD-AiBiC^Di中，O为

DB的中点，直线A】C交平面

C.CE=MED.AM与DF是异面直线

C}BD于点M.则下列结论正

确的是（）8.如图.正方体ABCD-A}BiC}D}中.M,N分别为棱

A.CI,M,O三点共线QD,,QC的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC）是相交直线；P.Mc.

B.g,M,O,C四点共面②直线AM与BN是平行宜线；/Y\

C.G，O,A,M四点共面③直线BN与MB।是异面直线；/'才

D.D-D,O,M四点共面④直线AM与DO1是异面直线.产……ZJc

3.如图所示，在四面体ABCD中作

其中正确的结论为（把你A--------B

截面PQR，若PQ与CB的延长

认为正确的结论的序号都填上）.

线交于点M.RQ与DB的延长

9.在正方体ABCD-A|BCD|中.点EC平面

线交于点N.RP与DC的延长

点F是线段AAi的中点，若D|E_LCF,则

线交于点K.给出以下命题：

当的面积取得最小值时，△瓯=

①直线MNU平面PQR；②点KZXEBC°S

3四边形ABCD

在直线MN上；③M,N,K*A四点共面.

其中正确结论的序号为.［考点三］异面直线所成的角

4.空间任意4点，没有任何3点共线,它们最多可以确定10.宣磁I写乖亩a而威而鬲息45。,若直线I在a内的射

个平面，空间5点，其中有4点共面，它们没影与a内的直线,"所成的角是45°.则/与,"所成的

有任何3点共线，这5个点最多可以确定——个角是（）

平面.A.30°B.45°C.60°D.90°

［考点二］空间两直线位置关系的判断11.（多选题）如图是正方体的平面展开图，在这个正方

5：以禾四L通;…体中.错误的命题是（）

①三个平面最多可以把空间分成八部分；

②若直线aU平面a,直线6U平面由则"a与"相交”

与“a与f相交”等价；

③若&（"）/?=/.直线aU平面a,直线〃U平面仇且afU

=p.则pe/；

④若"条直线中任意两条共面.则它们共面.其中正A.AB与CF成60°角B.BD与EF成60°角

确的是（）C.AB与CD成60°D.AB与EF成60°角

A.①②B.②③C.③④D,①③12.在长方体A8C£>A］B|GD|中，二面角D-AB-D1的

6.已知a./?为不同的平面，a,〃,c为不同的直线.则下列大小为60°,DC|与平面ABCD所成角的大小为30°,

说法正确的是（）那么异面直线AD|与DC,所成角的余弦值是

A.若aUa./XZ仇则a与b是异面直线

B.若a与〃是异面直线，〃与,是异面直线.则a与c72„73,,72„73

・彳民彳。•至"至

也是异面直线A

C.若aJ）不同在平面a内，则a与。是异面直线13.正三棱柱ABGAi&G,AB=2.AA}=2为棱

D.若a.b不同在任何一■个平面a内.则a与b是异面AiB,的中点.则异面直线AD与CB।成角的大小为

直线

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微点特训•数学（新）

［素养提升练］一高分必抢二、多项选择题［答题栏］

9.如图ABCD-ABCD为正方体，下列说法中正确

一、单项选择题l1ll

1.若aS是异面直线,则下列命题中的假命题为（）的是）点练

A.过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面a

与直线f平行1

B.过直线"至多可以作一个平面a与直线4垂直

C.唯一存在一个平面a与直线a、6等距2

D.可能存在平面a与直线aJ）都垂直

2.如图，正方体ABCD-Q.r5

AiBiGDi中，若E.F,G分别/—-o2ZI'

为棱BC,CG,BiG的中点，^.6—i----------A.三棱锥b6

。1，（%分别是四边形.:B.31C与AD1互为异面直线且所成的角为45°

ADDiA,AiBiCi"的中心，0'iC.ADi与AB互为异面直线且所成的角为60°1..

C

则下列说法不正确的是（）/D..WD.AA］与B［D［互为异面直线且所成的角为90°

A.A,C,O］，D|四点共面--------忆金10.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A|B】GD|-1°

B.D.E,G,F四点共面中.过对角线BQ的一个平面交棱AAi于点E.交“

C.A.E.F,D,四点共面棱CG于点F,得四边形BFD］E.在以下结论中，正

D.G.E.O,,02四点共面

3.用一个平面截定方体，所得的截面可能是（）

A.锐角三角形

B.直角梯形

C.有一个内角为75°的菱形

D.正五边形

4.,〃.",才是三条不同的直线，a.f是两个不同的平面，则

下列判断正确的是（）

A.若则

B.若，"〃a,，?Ua.则m//nA.四边形3FD|E有可能是梯形

C.若两两相交.且交于同一点.则"八，，./共面B.四边形BFD|E在底面ABCD内的投影一定是正4

D.若”，则a〃p方形

5.如图，正三角形ABC为圆锥的轴截C.四边形BFD］E有可能垂直于平面5

面,D为AB的中点.E为弧BC的

四边形E面积的最小值为骼6

中点.则直线DE与AC所成角的D.BFD,

余弦值为（）

三、填空题7

A.B.911.如图，在四面体ABCD中,AB=CD.M、N、P、Q分工......

别是、、、的中点，则MN和所成角

,,72BCADACBDPQ8

C-T为，若A13与CD所成角为30°,则MN和~

6.在长方体中ABCIAAiBiGDi,AB=3.AD=2,CD所成角为.9

AAj=l.M为线段AD（不含端点）上的动点，过5、

M、。的平面截长方体ABCD-AiBiGD所得截面

记为Q.设Q在该长方体的六个面上的正投影的面积

之和为S,则S可能的值为（）

A.9B.10C.12D.18

7.如图.平面四边形ABCD中.

E.F是AD.BD中点，AB=

AD=CD=2,BD=2

/BDC=90°.将AABD沿对12.如图.已知平面四边形AB-

角线BD折起至△A'BD.使平面A'BD_L平面BCD.则CD,AB=J3C=3,CD=1,AD

四面体A'BCD中，下列结论不正确的是（）

=展,ZADC=90°.沿直线

A.EF〃平面A'BC

AC将/XACD翻折成C

B.异面直线CD与A'B所成的角为90°

△直线与所

C.异面直线EF与A'C所成的角为60°ACD',ACBD'

D.直线A'C与平面BCD所成的角为30°成角的余弦值的最大值是

8.如图，已知圆锥CO的轴截面是正三人

角形,AB是底面圆O的直径，点D在［真题体验练］一实战抢分

⑪上，且ZAOD=2ZBOD.则异面

（2021•全国乙卷，5）在正方体ABCD-AiBiCtDi

直线AD与BC所成角的余弦值为/一厂—

中，P为小D|的中点，则直线PB与AD|所成的角

为（）

A岑

BCDA—B—C—F）—

-1-T-f2346

・63

微点特训•数学(新)

11.16K1如亩.由题靠存,XSAC微点特训26空间点、线、面的核置关系

与ASBC为全等的等■腰直角三

考点对点练——保分必拿

角形，故SC的中点O为三棱锥1.D［如图,在EF上任意取

S-ABC外接球的球心.设QS=一点M,直线A,B,与M确

OB=OA=(X：=R.久SC±OB,定一个平面，这个平面与

SC±OA,OAnOB=O.OA,OB3c有且仅有1个交点N,

<Z平面AOB.故SCJ.平面当M的位置不同时.确定不

AOB,设等■腰三角形AOB底边同的平面，从而与BC有不

同的交点N,而直线MN与

AB上的高为八，则h=-J衣一1,所以=VSA()B+

A}B},EF,BC分别有交点

，R一■2R

V(,,W)B=y•SAW•SC=yXyX2•P、M、N,故有无数条直线与直线4与、EF、BC都

相交.［

=《•畲，解得R=2,故三棱锥S-ABC外接球的表面

2.ABC［在题图中，连接A|C「

积为47r•=16x.］AC.则八CD3D=O,又A,Cn

平面GBO=M.所以三点C,,

12.257r［设直角三角形的两边分别为a,〃.则a+4M.O在平面C］BD与平面

的交线上，即，O

=3,以长度为力的直角边为轴旋转形成的旋转体的体ACC,A1GM.

三点共线，所以A.B,C均正确，

积为V=yKtz26=yKa2(3-a)(0<a<3),^D不正确.故选ABC.］

3.①②③［由PQHCB=M.RQ

力=3~冗(6。一31)，令/=0,解得a=0或a=2,

C\DB=N.RPr\DC=K得MG平面PQR.MG平面

平面PQR.NG平面平面PQR.K

所以当0VaV2时，V'>0；当2VaV3时，WVO,所以BCD,NGBCD.KG

6平面BCD,从而直线MNU平面PQK,故①正确.因为

当a=2时,体积最大.最大值为T■式,此时圆锥的底面

点M.N.K既在平面PQR上,又在平面I3CD上.因此

点M.N.K在两个平面的交线上,故②正确.设点M,N,

半径为2.高为1,设外接球的半径为K,则R2=(R~

K在直线/上.因为八庄/,则M,N,K,八四点共面.故③

1尸+22,所以外接球的半径为其表面积为25K.］正确

4.45［可以想象三棱锥的4个顶点,它们总共确定4个

［真题体验练」一实战抢分

平面.可以想象四棱锥的5个顶点.它们总共确定5个平

1.B［根据底面周长等于侧面展开图弧长.设母爱为/.底

1on0面.］

面半径为广，则有2b=揣・2以•化简得/=2r=2戏'，答案5.D［对于①，正确；对于②，逆推“a与B相交”推不出“a

360

与b相交“，也可能a〃心对于③，正确；对于④，反例：正

选

B.1方体的侧枝任意两条都共面,但这4条侧棱并不共面，故

2.C［考查信息问题.考查卫星信号覆盖的问题.计算过④错.所以正确的是①③.］

程结合简单的三角函数和球的表面积公式.属于中档6.D［对于A：若aUa,6U0,则a,小可平行，可异而，可相

„_6400_8S_1—cosa_45交.故错误；对于：若与〃是异面直线，〃与c是异

题.c°s0=6400+3600()=其，诉=~T~=106ABa

面直线，则a与c可平行，可异面•可相交.故B错误；对

―42%；于C：若a・〃不同在平面a内，则a与〃可平行•可异面.

3.D［考查棱台体积的计算.如图.高可相交.故C错误；对于D：根据异面直线的定义可知D

h=4*一①S=",.•"=!(S上是正确的•故选D.1

7.ABC［还原正方体，画出正方体

的直观图.如图FENM-AI3-

+/S上Sf+S)/=yXV2

T(CD.由图可知，AM与DF是相交

(42+4X2+22)=~^.］直线.D错误；设正方体的棱长为

.•则CE=ME=&«,C正确；由

4.A［记△ABC的外接圆圆心为(入,由AC_L8C.AC=正方体的性质可得A3与MN平

p>行且相等，所以ABNM是平行

BC=1,知01为AB的中点，且"=怎。。=与，又球

四边形，可得AM〃3N,A正确；由正方体的性质可得

的半径为1,所以OA=OB=OC=1,所以OA2+OB2=BC与MF平行且相等，所以BCMF是平行四边形，可得

CM〃3F,在正方形CDMN中，CVLLDN,所以BF±DN,

AB2g=y,于是OOJ+JC2=OC?,所以有QQi_j_

B正确，故选ABC.］

8.③④［直线AM与Cg是异面直线，直线AM与BN

O|C,a)1_LA从进而OO］_L平面ABC,所以匕…坎.=4

也是异面直线，故①②错误.］

S&ABC.OO1=y•y•1•1•孝=落故选A.39.［如图所示.连接乡口,取A3的中点G,连接QG.

5.39兀［设圆锥的高为〃，母线长为/.则B.G,由题意得CF_L平面场QG,所以当点E在直线

V=-1-SA=-穴产•/i=12穴h=30n=>h=5，BQ上时，RE_LCF,设BC=a,则S^BC=yEB•BC

所以/亍后尸=/田』传)：T'

=yZ:B•a,当△EBC的面积取最小值时.线段EB的

长度为点3到直线的距离，所以线段EB长度的最

1Q

所以Sw=7tr/=6Xy7T=39几，

小值为冬.所以S—=一乎_=吟.［

故答案为39兀1

v5b四边形Cl1U

・152•

微点特训・数学（新）

CB,>=­、=萼，且（AD,CBi>€［0,K］.A<AD,

3X2有2

国）=看....异面直线AD与CB,成角的大小为亭］

素养提升练——高分必抢

1.D［在A中.由于&、〃是异面直线.把直线。平移与直

线a相交，可确定一个平面.这个平面与直线〃平行，A

选项正确；在B中.若过直线a能作平面a、f使得A_La、

0_L£,则a〃d这与aCB=a矛盾.所以，过直线。最多只

［如图•在平面内，

10.Ca/Da能作一个平面a与直线〃垂直，由aUa,可得〃_La,当直

=A,过/上一点B作BC±

线a与。不垂直时，过直线a不能作平面与直线。垂直，

a.垂足为C,则直线AC即为

B选项正确；

/在a内的射影/',N3AC=

在C中.由于a、〃是异面直线，则两直线的公垂线段只

45°.设AC=1•则BC=1MB

有一条，过该公垂线段的中点作平面a与该公垂线垂直，

=7?■，过C作CDJ_〃?•由题可这样的平面a有且只有一个,且这个平面a与直线a、〃

知则AD=CD

NCAD=45°,等距，C选项正确；

=券,在RtABCD中・_8。=在I）中,若存在平面a与直线a、〃都垂直,由直线与平面

垂直的性质定理可得a〃〃，D错误.］

/夙'+5=容v/BAD是/与/〃所成的角，在2.B［对于A,由。是四边形ADD}Ai的中心，知（\是

AQ］的中点，所以在平面ACQ1内，所以A,C,a,

AB2-\-AD--BD2Dj四点共面,故A正确；对于B,由E,F,G分别为棱

△BAD中cosNBAD=1

2ABXAD~2BC.CQ,B,C,的中点，知E,F,G在平面BCG5内，D

AZBAD=60°.故选C.1不在平面BCGB内•所以D,E,G,F四点不共面.故B

11.ABD［由正方体的平面展开错误；对于C,由已知可知EF〃AD］，所以A,E,F,D1四

图,还原成如图所示的正方体，点共面.故C正确；对于D.连接GQ并延长，交4n于

由CF_L平面ABC,AI3U平面H,则H为的中点.连接，则？a〃GE,所以

ABC,所以CF_LA3,所以ABG,E,（）「（）2四点共面.故D正确；故选B］

与CF成90°的，故A错误；由

BD±平而A1EDF.EFU平面

AiEDF,所以3D与EF成90°

角.故B错误；又AE〃（:D,所以

N3AE是A3与CD所成角.又

△ABE是等边三角形.则/3AE=60°,所以AB与CD

成60°角.故C正确；因为A3〃A|D,又A|D_LEF•所

以A8与EF成90°角.故D错误.故选ABD.］

12.B［连接A/小，由AB}//DC,

可得NB/Di为异面直线A2

3.A［用一个平面裁正方体，只截正方体三个面，得锐角

与所成角.如图，由二面角

DC,三角形，截四个面得四边形，四边形可以是矩形.正方

D-AB-D,的大小为60°,可知

形,可以是菱形，如图中A3CD,但内角不是75°,图中菱

NDiAD=60°,・••痣AD=AA］，形锐角内角的余弦值为:,可以是梯形•如图中AEFG.

又Dg与平面ABCD所成角

的大小为30°.ADC,=2CC,=但不可能是直角梯形，截六个面得六边形,如果过一个

2AA,,DC=V3CC1=后4］,连顶点截面可为五边形（也可不过顶点）•但不会是正五边

接AB,出D,,设AD=^AA1=ya.则AB=VIa,形.故选A.］

...ADi=^a,AB|=2a,B]D1=竽.在4八810中，

J2I4242

4a±—a---a反

由余弦定理可得，cosNB/Di=---------------=4，

2底4

ZXZaX—a

.,.异面直线AQ与DC,所成角的余弦值是号

4.D［对于选项A,若成立还需要添加条件〃Ua,故A不

13.y[如图.俞二有+1方二正确；对于选项B,由m〃a,〃Ua,还可能得到in.ii是异

面直线，故B不正确；对于选项C,可举反例.如三棱锥同

-►---1------►►1—►一顶点出发的三条棱，故C不正确；对于选项D,・・・w_La.

AA~rAiBi=AAi+丁AB,

}"i〃〃，・・・〃_La,又〃_LS，・・.a〃氏故D正确.故选D.1

---AA--►---A-AB

15.C［如图所示•取BC中点0.60中点F,连接OD.OE,

CB,=CA+AB+BBX=AA1-

公+族.且Ab=AC=3C=2・FE,DF.则（）D〃AC,所以NODE就是直线。E与AC

所成角，设AB=4,则OD=2,OF=1,OE=2,可得DF

AA!=242,侧棱和底面垂直.

=VOD2-OF2=V3,EF=4）炉+OF=展、则DE=

：.AD•C3=(A4+冷人3)•

VDF2+EF2=2^2,因为E为弧BC的中点，可得OE

进而可得平面八因为平面ABC.

(AA)-AC+AB)=-y”_LBC,OE_LBCODU

所以（）E_LOD.在直角^ODE中，可得cos/ODE=^

————>•1—►111

AB・AC+yAB2=8-yX2X2Xy+yX4=9,

=春，即直线DE与AC所成角的余弦值为孝，故选C.］

AD=78TT=3,CBi=ym=2痣，，cos<AD,

・153•

微点特训・数学(新)

角范围为(0.冷卜，异面直线AD与BC所成角的余

弦值为§.]

9.ACD[对于A,因为三棱锥当一ACQ的各条枝都是

正方体表面正方形的对角线,即各条核相等.故三棱锥

B,-ACD｝为正四面体,故A正确；对于B,连接3(；,可

知在正方体中，四边形AbC'Di是平行四边形，所以

//AD且)因为故异面直线

6.C[由面面平行的性质可知.过B、M、0的平面截长方BC,｝BC1AD.BC,J_8(,

体ABCD-AiB,GD,所得截面即为平面M8ND].则3C与AD1所成角为90°•故B错误；

设AM=-①6(0,2),平面

MBND｝在平面DC；的正投影面积为3X1=3,同理在

面AS】的正投影面积为3XI=3,平面M3NR在平面

AC的正投影面积为3X(2—1),同理在面A,C