安徽省皖豫名校联盟2023-2024学年高二（上）期中考试数学试卷含答案

2023—2024学年大联考安徽高二（上）期中考试

皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知A,B,C,。是空间中互不相同的四个点，则而一丽一衣=（）

A.ADB.CDC.BCD.DA

2.直线3x+J5y+l=0的倾斜角。为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.经过点A（l,2）,且以B（—1,1）为圆心的圆的一般方程为（）

A.尤2++2x-2y-3=0B.x?+-2x+2y-3=0

C.x?++2x—2y—7=0D.+y~—2x+2y—7=0

4.设aeR,则“a=l”是"直线（a+l）x+ay+3=0与直线2at+y—5=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知向量2=（2,尤,一2）,B=（2,4,y）,若|初=3,且。，则孙的值为（）

A.0B.4C.0或4D.1或4

22

6.已知椭圆C:rj+v、=l（a>A>0）的两个焦点为耳，居，且焦距为4,点M在C上，若|"6卜|“居|的

ab~

最大值为25,则。的离心率为（）

7.若直线y=m(x—1)+2与曲线＞=＞/4一/有且仅有两个不同的交点，则实数机的取值范围是()

A.(-8,0)U件+8B.1一8,-g)u(0,+8)

C卜Iq呜2_D.卜2VM0,|_

8.已知椭圆5+5=1(。＞方＞0)的一个焦点和一个顶点在圆0+2)2+()；-6)2=4上，则该椭圆的离心

ab

率不可能是()

1clC6cM

3232

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.过点P(2,l)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为()

A.x+y-3=0B.x+y+3=0C.x-y-1=0D.x-2y=Q

10.下列结论中正确的是()

A.若5=(—1,1,2),3=(2,2,-1)分别为直线/,〃?的方向向量，贝m

B.若1=(—1,1,2)为直线/的方向向量，3=(3,1,1)为平面a的法向量，则〃/a或/ua

C.若*=(4,—2,1),区=(—2,1,2)分别为两个不同平面a,2的法向量，则a〃尸

D.若向量"=(s,U)是平面A8C的法向量，向量通=(一1,2,0),BC=(-1,1,1),则/=1

11.己知圆£:(尤+1)2+(＞-1)2=1与圆：/+＞2-2mx+4my+4m2-2〃L1=0,则下列说法正确的是

()

A.圆G的圆心恒在直线x+2y=0上

B.若圆G经过圆G的圆心，则圆G的半径为g

C.当加=一2时，圆G与圆G有4条公切线

D.当加=0时，圆a与圆的公共弦长为百

22

12.法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆斗+斗=1(。＞0］〉°)的任意两条互相垂直的切线的交

点Q的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形G的四边均与椭圆

22

C:土+上>=1相切，则下列说法正确的是()

54

A.C的蒙日圆的方程为Y+>2=9

B.若G为正方形，则G的边长为3夜

C.若圆(x—4)2+()，—加y=4与C的蒙日圆有且仅有一个公共点，则机=±3

D.过直线/:x+2y—3=0上一点P作C的两条切线，切点分别为M,N,当/MPN为直角时，直线。尸

4

(。为坐标原点)的斜率为-一

3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知平面a的一个法向量为五=(2,-1,1),点A(3,—2,l),5«,1,-2)在平面a内，则/=.

2

14.椭圆:+9=1的右焦点到直线丫=®的距离是.

15.已知P(XO，%)(%HO)是圆M：(x—2)2+(丁一1)2=9上的动点，吐2,则实数a的取值范围是

16.已知椭圆C:亍+产=1的左、右焦点分别为耳，F2,〃是C上异于顶点的一点，。为坐标原点，E为

线段M耳的中点，鸟的平分线与直线E。交于点P,当四边形峭尸鸟的面积为2J5时，

sinZMF2F}=.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

已知圆加：/+)2-20+。-4=0经过40,3)，8(2,1)两点.

(I)求圆M的半径；

(II)判断圆N:f+(y+m2+2)2=i(meR且机/0)与圆M的位置关系.

18.(12分)

已知直线加：3x+4y+12=(^D/C:%2+y2+2x—4y—4=0.

(I)求与直线机垂直且经过圆心C的直线的方程；

(II)求与直线加平行且与圆C相切的直线的方程.

19.(12分)

已知空间中三点A(2,-1,1),8(1,1,0),C(4,-3,3).设a=而，b=AC.

(I)求怩一年

(H)若2%B与。+序互相垂直，求实数人的值.

20.(12分)

已知圆C的圆心在坐标原点，面积为97t.

(I)求圆C的方程；

(II)若直线/,/'都经过点(0,2),且/!_/',直线/交圆。于M,N两点，直线/'交圆。于P,Q两点,

求四边形PMQN面积的最大值.

21.(12分)

如图，在直三棱柱ABC—A4G中，BA=BC,E为棱A3的中点，AC=J5A4=2,二面角E—4C—A

的大小为王TT.

(I)求证：BG〃平面EAC；

(II)求直线4c与平面EA。所成角的正弦值.

22.(12分)

己知圆C的圆心为C(a,份(。>()且b>0),ab=\,圆C与x轴、y轴分别交于A,B两点(与坐标原点

。不重合)，且线段AB为圆C的一条直径.

(I)求证：也人。/?的面积为定值；

(II)若直线x-y=0经过圆C的圆心，求圆C的方程；

(III)在(II)的条件下，设P是直线/:x+2y+2=0上的一个动点，过点P作圆C的切线PG,PH,切

点为G,H,求线段G"长度的最小值.

2023—2024学年大联考安徽高二(上)期中考试

皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟

数学•答案

一、单项选择题

1.答案B

【命题意图】本题考查空间向量的线性运算.

【解析】AB-DB-AC=AB+BD-AC=AD-AC=Cb.

2.答案C

【命题意图】本题考查直线的斜率与倾斜角.

【解析】直线3x+百y+l=O的斜率％=-6,其倾斜角。满足0°〈。＜180°,因为tan(9=—6,所以

6=120°.

3.答案A

【命题意图】本题考查圆的一般方程.

【解析】由题意得，圆的半径r=|J(l+1)2+(2-1)2=有，所以圆的标准方程为(尤+1)?+(y-Ip=5,

所以圆的一般方程为龙？+丁+2光—2y—3=0.

4.答案A

【命题意图】本题考查两直线平行的定义.

【解析】直线(a+l)x+ay+3=0与直线2ax+y-5=0平行的充要条件是。+1=2〃且一5(。+1)/6。，解

得〃=1或4=」.

2

5.答案C

【命题意图】本题考查空间向量的坐标运算.

【解析】由。=(2,苍一2),且|利=3,得"+/+4=3①.由得2-B=4+4x-2y=0②.由①

②可得4或4则孙的值为。或4.

、y=41y=o,

6.答案B

【命题意图】本题考查椭圆的性质及基本不等式.

【解析】因为阿国+pW司=2a,所以入区也%1幽)=/=25(当且仅当用=阿闾=5

时，等号成立).由题可知。的半焦距c=2,所以离心率e=£=2.

a5

7.答案D

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系.

【解析】显然直线y=/〃(x-1)+2恒过点A(l,2),曲线y=，4—/为半圆,当直线与半圆相切时，有

?一团=2,解得加=0或m=-刍，由如图所示的图象知直线过点(-2,0)时，斜率m=2,直线过点(2,0)

Vm2+133

时，斜率加二一2,所以半圆y=，4一一与直线y=/%(x-l)+2有两个不同的交点时，0＜加(§或

所以实数机的取值范围为-2,-1^ufo,1.

8.答案C

【命题意图】本题考查椭圆的离心率.

【解析】设椭圆的半焦距为c(c＞0).圆(x+2)2+(y—O=4与坐标轴的公共点为(一3,0),(―1,0),

(0,6)，又椭圆的焦点在x轴上，所以，①若椭圆的上顶点为(0,6),左焦点为(一3,0)或(-1,0),即8=6,

c=3或c=l,则或。=2,离心率e=¥或;；②若椭圆的左顶点为(一3,0),左焦点为(—1,0),

则a=3,c=1,离心率e=2.

3

二、多项选择题

9.答案ACD

【命题意图】本题考查直线的方程.

21।'21

—+—=1,—T—=L或

【解析】当直线的截距不为o时，设直线的截距式方程为±+?=1,由题可得＜ab所以＜ab

ab

\a\=\b\,a=h

_I___1a-3a—]

＜'ab~‘解得4一‘或＜一’所以直线方程为x+y—3=0或x—y—l=0,故A正确，B错误，C正

b=3=

a二一九ii

确；当直线的截距为0时，设直线方程为y=Ax,由题可知％=g,故直线方程为x-2y=0,D正确.

10.答案BD

【命题意图】本题考查空间向量的应用.

【解析】•••]=(—1,1,2),B=(2,2,-1),.♦.)/=(—I)x2+lx2+2x(—1)=—2x0,.•.直线/与加不垂直，

—一A—21——►_

故A错误；：=-3+1+2=0,，ll/a或lua,故B正确；：一^=1-n,与％不共线，，a〃夕

fc-A8=0,f-s+2=0,

不成立，故c错误；由题可知/_____即4解得「=1,故D正确.

[cBC=0,[-s+l+f=0,

11.答案BC

【命题意图】本题考查圆与圆的位置关系.

【解析】圆G的方程可化为（XT"）?+。+2加了=（“7+1）2,圆心为点（根,-2相），恒在直线2x+y=0上，

故A错误：由题可知（一1—m）2+（1+2m）2=（加+1）2,解得〃?=一；，所以圆。2的半径为g,故B正确；

当初=—2时，|C|G|=J（.+l）2+（_2加—1）2=加〉|加+1|+1=2,两圆相离，所以圆G与圆G有4条

公切线，故C正确；当机=0时，圆G与圆G的公共弦所在直线的方程为x-y+1=0，G（—1,1）到公共弦

所在直线的距离为1了+”=丰，所以圆£与圆G的公共弦长为2.近,故D错误.

12.答案ABC

【命题意图】本题考查数学文化.

【解析】由题可知由的蒙日圆的半径为，睡+从=3,则蒙日圆的方程为f+y2=9,故A正确；设正方形

G的边长为f«>0）,由题可知产+/=（2。）2+（2加2=36,则/=3后，故B正确；易知点（4,m）在圆

九2+,2=9外部，所以若圆（九一4）2+（y—〃?）2=4与C的蒙日圆有且仅有一个公共点，则两圆外切，所以

（不+加2=3+2,解得加=±3,故C正确；设直线/与圆炉+；/=9交于A,B两点,联立产：2）'「3='

/+丁2=9,

912

可得4不妨设A8（3,0）,当点P与点A或8重合时，NMPN为直角,且

44

k°A=q,kOB=o,所以直线0尸的斜率为一1或o,故D错误•

三、填空题

13.答案6

【命题意图】本题考查平面的法向量的定义.

【解析】因为而=«—3,3,-3）,且而，言，所以2«-3）-3-3=0,解得f=6.

14.答案三

2

【命题意图】本题考查椭圆的性质及点到直线的距离.

【解析】由题可知椭圆的右焦点坐标为(6,0),所以右焦点到直线y=的距离是区裂=|.

15.答案1—00,——IJ[0,+00)

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系.

【解析】设A(0,-2),由题知圆M的圆心为"(2,1),半径/'=3,。表示直线PA的斜率，不妨设过点A的

圆的切线方程为y=Ax-2,则圆心M到切线的距离d=!2§二2二〉=3,解得&=。或一在，再结合图可

42+15

12

知，实数a的取值范围为-00,---------U[0,+oo).

16.答案逅

3

【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质.

【解析】由题可知用=26,附+|M用=4.因为平分所以P到9，M入的距离

相等，设为〃，则冲,=：(照用+|加用)〃=26易知是△FJM鸟的中位线，延长百尸，M玛交于

点G,则P为耳G的中点，过耳作耳〃_LMG于〃，易得比”|=2〃=比闾sin/例入耳，则

SMF,PF,=2百sinAMF2F}=2后,从而sinZMF2F,=~

四、解答题

17.【命题意图】本题考查圆的方程及圆与圆的位置关系.

9-6。+〃一4=0,0=1,

【解析】(I)由题可得<解得4

4+1—2。+/?—4=0,匕=1,

所以圆M的一般方程为尤2+丫2一2了一3=0,标准方程为无2+(y—1)2=4,

故圆M的半径为2.

(II)由(I)可知M(0,l).又N(0,-疗一2),所以|MN|="+3.

因为加2+3>3=1+2,所以圆M与圆N外离.

18.【命题意图】本题考查求直线的方程.

【解析】(I)设与直线〃?：3x+4y+12=0垂直的直线的方程为4x-3y+a=0.

圆C可化为(x++(y—2尸=9,圆心为C(-l,2),

因为直线4x—3y+a=0经过圆心C,所以4x(—l)—3x2+a=0,即a=10,

故所求直线的方程为4龙一3y+10=0.

(II)设与直线机：3x+4y+12=0平行的直线的方程为3尤+4y+c=0(c712).

因为直线3x+4y+c=0与圆C相切，

所以圆心C(—l,2)到直线3x+4y+c=0的距离等于半径，即I3±；)+4X2+0=3,

V32+42

所以|c+5|=15,c=-20或10,

故所求直线的方程为3x+4y—20=0或3x+4y+10=0.

19.【命题意图】本题考查空间向量的坐标运算.

【解析】(I)•••A(2,-1,1),B(l,l,0),C(4,-3,3)>«=A8,b=AC,

.-.5=(-1,2,-1),b=(2,-2,2),

于是2。一B=(-2,4,-2)-(2,-2,2)=(-4,6,-4),

|25—可=J(-4>+6、(-4尸=2V17.

(II)•/2ka-b=(-2k,4k,-2k)-(2,-2,2)=(~2k-2,4Z+2,-2k-2),

a+kb=(-1,2,-\)+(2k,-2k,2k)=(2k-l,2-2k,2k-1),

又2位一B与2+防互相垂直，(2依—+防)=0,

即(—2k-2)(2女-1)+(4k+2)(2-2k)+(—2k-2)(22-1)=0,

:.k2=~,k=±—.

22

20.【命题意图】本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系.

【解析】(I)由题可知圆C的圆心为C(0,0),半径r=3.

所以圆C的方程为/+;/=9.

(II)当直线/的斜率存在且不为0时，设直线/的方程为了=履+2,圆心到直线/的距离为d,

则"二卷'卿上2席彳=2^^,

44k.

当且仅当9——j=9-2J,即公=i时等号成立.

当直线/的斜率不存在时，|MN|=6,\PQ\=2yj32-22=275,

此时SpMQN=（l/N|-|PQ|=gx6x2括=6火.

当直线I的斜率为0时,根据对称性可得SPMQN=6有.

综上所述，四边形PM0N面积的最大值为14.

21.【命题意图】本题考查线面平行与线面角.

【解析】（I）如图，连接AG交A。于点。，连接。£，显然。是AG的中点,

因为E为AB的中点，所以0E为的中位线，OE//BC},

而8G,平面E&C，OEu平面E4.C，所以BG〃平面E41c.

（II）设AC的中点为连接M0并延长交AC于点M.

因为区4=8。，所以44=4G，于是有4M|J.4G.

因为三棱柱ABC-A4G是直三棱柱，所以平面AAG，平面AACG，

而平面44cln平面4ACG=4G，所以_L平面\ACC{.

因为侧面AACG是矩形，所以4G_LM|M.

以为原点，分别以直线M.M,4Ml为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设BA=BC=r(f>l),则4(—L。,。)，C(l,V2,0),E——,V2,

于是雷=(—2,—行,0)

设平面EA.C的法向量为n=(x,y,z),

-2x-y/2y—0,

一nCA=0,

则有_即43g令x=l，可得］1,-6,

n-CE=0,---XH-------Z=0,

I22

易知平面ACA的一个法向量为机=(0,0,1).

因为二面角E—A0—A的大小为四，所以cos%=此_•=,

66\m\\n\2