2022-2023学年北京通州区高二年级下册学期期末数学试题及答案

通州区2022-2023学年第二学期高二年级期末质量检测

数学试卷2023年7月

本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答

无效。考试结束后，请将答题卡交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项。

(1)二项式（x+2F的展开式的第3项为

(A)40x2(B)80x2(O40/(D)801

(2)4名学生与1名老师站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法种数为

(A)12(B)18(C)24(D)48

(3)已知函数f（x）=ex,则/（x）的导函数/'（x）=

(A)-eT(B)-er(C)e-x(D)ex

(4)已知函数/（x）=xlnx,则/（x）的单调递减区间为

(A)(-00,—)(B)(0,-)(C)(0,+oo)(D)(一,+oo)

eee

已知离散型随机变量X的分布列为P（X=，）qg，2,3,4）

(5),则尸(XW2)=

13

(A)-(B)-(C)一(D)1

424

(6)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，恰好出现3次正面朝上的概率为

1、11

(A)—(B)—(C)-(D)-

161284

(7)已知随机变量X服从正态分布N（2,〃），且P（0<X<2）=0.2,则P（X>4）=

(A)0.3(B)0.4(C)0.6(D)0.8

高二数学试卷第1页（共4页）

(8)篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不命中得()分.已知某篮球运动员罚

球命中的概率为0.8,设其罚球一次的得分为X,则

(A)E(X)=0.5,Z)(X)=0.20(B)E(X)=0.5,D(X)=0.25

(C)E(X)=0.8,D(X)=0.12(D)E(X)=0.8,D(X)=0.16

(9)已知函数/(x)的导函数/'(x)图象如图所示，给出下列四个结论:

①/(x)在区间(-«),-3)上单调递增;

②/(x)在区间(0,2)上单调递减；

③/(x)在x=0处取得最大值；

④/(为在x=2处取得极小值.

则其中结论一定正确的个数是

(A)1(B)2

(10)已知函数/(x)=-V+x—Hnx为其定义域上的单调函数，则实数”的取值范围为

(A)［：,+oo)(B)［：,+8)(C)己,+8)(D)［：,+oo)

o4o2

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)在2道代数题和3道几何题中，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，设4="第一

次抽到代数题"，8="第二次抽到几何题”，则P(AB)=；P(B|A)=.

(12)二项式(x-')8的展开式中常数项为.

X

(13)已知函数〃x)=*，则/(X)的零点是；极值点是.

(14)已知一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都大于十位上的数字，那么我们称该

三位数为“凹数"，则没有重复数字的三位“凹数”的个数为.(用数字作答)

高二数学试卷第2页(共4页)

x2ev,x<l

(15)已知函数/(力=F，给出下列四个结论：

一■，工21

lx

①函数/(x)存在4个极值点；

513

②/\-)>/*(-)>/'(-);

③若点尸(西,乂)(玉<1)，。*2,必)(々21)为函数/(©图象上的两点，则

4e—e2

f(x})-f(x2)<―--；

④若关于X的方程"(x)］2-2如(X)=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

住高喏

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题12分)

已知函数f=—%3+—x~—2.x+1.

(I)求/(X)的单调区间及极值；

(II)求/(X)在区间［-3,0］上的最大值和最小值.

(17)(本小题12分)

袋中有4个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.

(I)若每次抽取后不放回，求连续抽取3次至少取到1个黑球的概率；

(II)若每次抽取后放回，求连续抽取3次恰好取到1个黑球的概率.

高二数学试卷第3页(共4页)

(18)(本小题14分)

某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试，现从男、女生中各随机抽取

20人作为样本，把他们的测试数据整理如下表，规定：数据60,体质健康为合格.

等级数据范围男生人数女生人数

优秀[90,100]46

良好[80,90)66

及格[60,80)76

不及格60以下32

(I)估计该校高一年级学生体质健康等级为合格的概率；

(II)从样本等级为优秀的学生中随机抽取3人进行再测试，设抽到的女生数为X,求X的分布列和

数学期望；

(III)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人健康等级

是优秀的概率.

(19)(本小题15分)

已知函数/。)=/一如一1,g(x)=xlnx-l.

(I)若/(x)在区间(-2,1)上恰有一个极值点，求实数机的取值范围；

(II)求g(x)的零点个数;

(III)若加=1,求证：对于任意XG(O,+8),恒有/(x)2g(x).

(20)(本小题16分)

已知函数/(x)="lnx+Z?x,a,beR.

(I)当a=l,人=1时，求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

(H)当。＞(),。=一2时，求/(x)在区间［1,2］上的最大值；

(III)当。=1时，设g(x)=/(x)+sinx,判断g(x)在xe(0,K］上是否存在极值.若存在，指出是

极大值还是极小值；若不存在，说明理由.

高二数学试卷第4页(共4页)

(21)(本小题16分)

为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织

学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生可答题若干次，答题赋分方法如下：第一次答题，

答对得2分，答错得1分；从第二次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得1分.学生

甲参加这次答题竞赛，每次答对的概率为7,且每次答题结果互不影响.

4

(I)求学生甲前三次答题得分之和为4分的概率；

(II)设学生甲第，•次答题所得分数X,(ieN*)的数学期望为E(X,).

(i)求七(XJ,E(X2),E(X3)；

(ii)写出E(X,T)与E(XJ(i22)满足的等量关系式(直接写出结果，不必证明)；

(iii)若E(XJ>10,求i的最小值.

高二数学试卷第5页(共4页)

通州区2022-2023学年第二学期高二年级期末质量检测

数学参考答案及评分标准2023年7月

第一部分(选择题共40分)

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

答案CCABBDADBA

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

33

(11)—；-(12)70(13)x=l；x=2(14)240(15)①③④

104

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(本小题12分)

解：(I)因为/(X)=；d+gx2-2x+],定义域为(-00,+8),

所以f'(x)=x2+x-2.

令/'(x)=O,解得了=—2,或x=l.

当了变化时，/'(x),/(x)的变化情况如下表所示.

Xy,-2)-2(-2,1)1(1,+8)

r(x)+0—0+

13

单调递增单调递减单调递增

~3~6

所以，当x=-2时，f(x)有极大值，且极大值为/(一2)=§；

当％=1时，/(x)有极小值，且极小值为/(1)=—8分

6

(H)由(I)知，/(x)在区间［-3,0］上有极大值为/(—2)=了.

因为/(—3)=|,/(0)=1.

高二数学参考答案及评分标准第1页(共6页)

所以/(x)在区间［-3,0］上的最大值为石，最小值为1...............12分

(17)(本小题12分)

解：(I)设抽取3次，黑球的个数为X,

因为每次抽取后不放回，结果不独立，所以X服从超几何分布.

所以连续抽取3次至少取到1个黑球的概率为

P(X2D=P(X=1)+P(X=2)

C2c'C'C2314

-----1----.---1--................................6分

C：C555

(ID设抽取3次，黑球的个数为y,

因为每次抽取后放回，结果独立，所以y服从二项分布.

因为袋中有4个白球、2个黑球，

21

所以每次抽取后放回，连续抽取3次每次抽取黑球的概率为一=

63

所以连续抽取3次恰好取到1个黑球的概率为

P(y=l)=C；x(l)x(l-1)2=^...............12分

(18)(本小题14分)

解：(I)由表可知，样本中合格的学生数为：4+6+7+6+6+6=35,样本总数为：20+20=40,

357

所以估计该校高一年级学生体质健康等级为合格的概率P=—=-...............3分

408

(II)依题意X的可能取值为0,1,2,3.

C31C2cl3

所以P(x=o)=番FP（X=\\=^^=—

、C10

P（X=2）=等=gP（X=3）=*3

jo乙jo°

所以X的分布列为:

X0123

13£

P

301026

13119

所以E（X）=0x-+lx—+2x-+3x-=-.................................9分

3010265

高二数学参考答案及评分标准第2页(共6页)

(Ill)设“该校高一年级男生体质健康等级是优秀”为事件A,“该校高一年级女生体质健康等级是优

秀”为事件B,

所以P(A)=3=L,=—

2052010

1137

所以随机抽取的3人中，2人健康等级是优秀的为男生的概率为一x—x(l-二)=——

5510250

随机抽取的3人中，2人健康等级是优秀的为1个男生1个女生的概率为

113L1312

—x(l——)x---1-(1——)x—X—=-----.

55105510125

71231

所以估计这3人中恰有2人健康等级是优秀的概率为P=--+—=--.................................14分

250125250

(19)(本小题15分)

解：(I)因为函数/(x)=/-皿一1,

m

所以/(X)的对称轴为X=§.

因为f(x)在区间(-2,1)上恰有一个极值点，

in

所以—2<—■<1,所以—4<<2.

2

所以实数〃?的取值范围是(一4,2)............................4分

(II)因为g(x)=xlnx-l,定义域为(0,+8),

所以g'(x)=lnx+l.

令g'(x)<0,即lnx+l<0,解得x<‘；令g'(x)>0,即lnx+l>0,解得x>,.

ee

所以g(x)在区间(0,-)上单调递减，在区间(-,+«))上单调递增.

ee

当0<工<2时，Inxc—l,所以xlnx-lvO.

e

所以g(x)在(0」)上没有零点.

e

因为g(')=-'-l<0，g(e)=e-l〉O.

ee

所以g(x)在区间(L+8)上存在1个零点.

e

高二数学参考答案及评分标准第3页(共6页)

所以g(x)的零点个数为1...............10分

(III)因为m=1,所以/(X)=%2-X-1

所以要证/(x)2g(x),即证x2—x—i»xinx—l，只需证x—lNlnx.

设g(x)=x-l-lnx,%e(0,+oo),

所以g'(x)=l_，=上.

XX

令g'(x)<0,得x<l；令g'(x)>0,得x>l.

所以g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(L+8)上单调递增.

所以g(x)在区间上的最小值为g(D=0.

所以g(x)2O,即x-124nx.

所以对于任意xw(0，+8),恒有/(x)2g(x)...............15分

(20)(本小题16分)

解：(I)因为a=l,b=l,所以f(x)=lnx+x.

所以/'(x)=’+L

X

所以."1)=1,广⑴=2.

所以曲线y=/(%)在点(1,/(D)处的切线方程为y—1=2(x—1),即2%-y-1=0.

...............3分

(II)因为6=-2,所以/(x)=alnx-2x,定义域为(0,+8).

所以/0)=3一2=0士^

XX

令/'(x)>0,即一2x+a>0,得尤<4；令/'(x)<0,即一2x+a<0,得尤〉

22

因为a>(),

所以/(x)在区间(0,9上单调递增，在区间段,+8)上单调递减.

①当即aW2时，/(x)在区间［1,2］上单调递减.

高二数学参考答案及评分标准第4页(共6页)

所以/(X)在区间［1,2］上的最大值/⑴=-2.

②当1<@<2,即2<a<4时，/(x)在区间(1,@)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减.

222

所以f(x)在区间［1,2］上的最大值/弓)="11^—a.

③当羡》2,即介4时，/(x)在区间［1,2］上单调递增.

所以“X)在区间［1,2］上的最大值/(2)=aln2—4...............9分

(IID因为。=1,g(x)=/(x)+sinx,

所以g(x)=lnx+Z?x+sinx,XG(O,TC］

所以gf(x)=—+/7+cosx.

x

令〃(x)=，+Z?+cosx,所以二一二一sinx.

XX

因为xw(0,7r］,所以〃(X)=--^-sinx<0.

X

所以g'(无)在区间(0,71］上单调递减.

当X.0时，g'O)f+8,又g'(7l)=。+工-1.

71

①当，(兀)=。+工一120,即。21—L时，gTx)，0,

7171

所以g(X)在X€(0,兀］上单调递增，

所以g(X)在X€(0,河上无极值.

②当g'(兀)=。+!-1<0,即。<1一工时，g'(X)在xe((),7i)上有唯一零点％.

7171

所以当xe(0,%)时，g'(x)〉0；当时，g'(x)<0.

g(x)在(0,%)上单调递增；在(七,兀)上单调递减.

所以x=x。是函数g(x)的一个极大值点，且无极小值.

综上所述，当a'1-L时，函数g(x)无极值；

71

当时，函数g(x)有极大值，但无极小值.................16分

兀

(21)(本小题16分)

解：(I)学生甲前三次答题得分之和为4分的概率，即为学生甲前三次答题中仅只答对一次的概率.

高二数学参考答案及评分标准第5页(共6页)

设“学生甲前三次答题得分之和为4分”为事件A,

3

所以「⑷/宁（1-3分

31

⑴学生甲