2021版新高考地区高考数学人教版大一轮复习第2讲排列与组合

第2讲排列与组合

一、知识梳理

1.排列'组合的定义

排列的定义按照一定的顺序排成一列

从n个不同元素中取出加(mW")个元素

组合的定义合成一组

2.排列数、.n合数的定义、公式、性质

排列数组合数

从n个不同元素中取出个元素的所从〃个不同元素中取出机(mW")个元素的

定义

有不同排列的个数所有不同组合的个数

n!AW_M(H-1)(〃-2)…(〃—机+1)

公式AJH—n(n—l)(n加+1)—(〃_机)|C*Amm!

tn

性质A”n="-！，0!=-1Cutn=Cnn-m,Cn，"+C〃ni-1=C'〃1,

常用结论

1.“排列”与“组合”的辨析

排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取出元素后交换顺序，如果与顺序

有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合.

2.解决排列、组合问题的十种技巧

(1)特殊元素优先安排.

(2)合理分类与准确分步.

(3)排列、组合混合问题要先选后排.

(4)相邻问题捆绑处理.

(5)不相邻问题插空处理.

(6)定序问题倍缩法处理.

(7)分排问题直排处理.

(8)“小集团”排列问题先整体后局部.

(9)构造模型.

(10)正难则反，等价转化.

二、教材衍化

1.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()

A.144B.120

C.72D.24

解析：选D.“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两

人不相邻的坐法种数为Aj=4X3X2=24.

2.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()

A.8B.24

C.48D.120

解析：选C.末位数字排法有Aj种，其他位置排法有Aj种，共有A)A?=48(种)排法，

所以偶数的个数为48.

3.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是

()

A.18B.24

C.30D.36

解析：选C.选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CgC!=18种，选出的3

人中有1名男同学2名女同学的方法有C[q=12种，故3名学生中男女生都有的选法有C?

CJ+C]C3=3O种.故选C.

2

一、思考辨析

判断正误(正确的打“，错误的打“X”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()

(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()

(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()

(4)若组合式q=c第，则成立.()

(5)A«>=»(n—l)(n—2)""(n—m).()

答案：⑴X(2)X(3)V(4)X(5)X

二、易错纠偏

常见误区I(1)分类不清导致出错；

(2)相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方

法.

1.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组

装计算机各2台，则不同的取法有种.

解析：分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有C^Cg种方法；第二

类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有CgCg种方法.所以满足条件的不同取法有CgCg

+qq=350(种).

答案：350

2.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品8相邻，且产品4与产品C不相邻，则

不同的摆法有种.

解析：设这5件不同的产品分别为A,B,C,D,E,先把产品A与产品B捆绑有A,种

摆法，再与产品。，E全排列有种摆法，最后把产品C插空有Cj种摆法，所以共有AgAj

Cj=36(种)不同摆法.

3

答案：36

考点一排列问题(基础型)

复习指导I理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.

核心素养：数学建模

有3名男生、4名女生，在下列不同条

件下，求不同的排列方法总数.

(1)选5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

(4)全体排成一排，女生必须站在一起；

(5)全体排成一排，男生互不相邻.

【解】(1)从7人中选5人排列，有A》=7X6X5X4X3=2520(种).

(2)分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有A^|种方法，共有

4

A彳•A才=5040（种）.

（3）法一（特殊元素优先法）：先排甲，有5种方法，其余6人有Ag种排列方法，共有5XAg

=3600（种）.

法二（特殊位置优先法）：首尾位置可安排另6人中的两人，有A&种排法，其他有Ag种

排法，共有AgA§=3600（种）.

（4）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A?种方法，再将女生全排

列，有Aj种方法,共有Af•Aj=576（种）.

（5）（插空法）先排女生，有A&种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安

排男生，有Ag种方法，共有A3♦Ag=l440（种）.

求解排列应用问题的6种主要方法

直接法把符合条件的排列数直接列式计算

优先法优先安排特殊元素或特殊位置

捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列

对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元

插空法

素排列的空当中

定序问题

对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

除法处理

间接法正难则反、等价转化的方法

5

1.3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻的放法种

数为（）

A.36B.72

C.108D.144

解析：选B.3本数学书的放法有A/"将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插

法有2Ag种，故同类书不相邻的放法有2Aq=2X6X6=72（种）.

2.6名同学站成1排照相，要求甲同学既不站在最左边也不站在最右边，则不同站法

共有种.

解析：法一：（位置优先法）先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下

4人的位置，分为两步：

第1步，从除甲外的5人中选出2人分别站在最左边和最右边，有Ag种站法：

第2步，余下4人（含甲）站在剩下的4个位置上，有A,种站法.

由分步乘法计数原理可知，共有AgA?=480（种）不同站法.

法二：（元素优先法）先安排甲的位置（既不站在最左边也不站在最右边），再安排其他5

人的位置，分为两步：第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A1种站法；

第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有Ag种站法.由分步乘法计数原理可知，

共有A1Ag=480（种）不同的站法.

答案：480

考点二组合问题（基础型）

复习指导।理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.

核心素养：数学建模

6

某市工商局对35种商品进行抽样检

查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.

（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？

（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

【解】（1）从余下的34种商品中，

选取2种有q4=561种取法，

所以某一种假货必须在内的不同取法有561种.

（2）从34种可选商品中，选取3种，有C当种或者一g4=C[=5984种取法.

所以某一种假货不能在内的不同取法有5984种.

（3）从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有qoq5=2100种取法.

所以恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.

（4）选取2种假货有种，选取3种假货有cq5种，共有选取方式qoq5+q5=2ioo

+455=2555（种）.

所以至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.

（5）法一（间接法）：选取3种的总数为C;，因此共有选取方式

qs-Q.=6545-455=6090（种）.

所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.

法二（直接法）：共有选取方式C^o+qoC|5+CioC^5=6090（种）.

所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.

7

两类有附加条件的组合问题的解法

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再

由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”

与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用

直接法，分类复杂时，用间接法求解.

1.(2020・沈阳模拟)某地区高考改革实行“3+1+2”模式，“3”指语文、数学、外语三

门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门科目，“2”指在化学、生物、政治、

地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门科目中任意选择两门科目，则一名学生的不

同选科组合有()

A.8种B.12种

C.16种D.20种

8

解析：选C.若一名学生只选物理和历史中的一门，则有Cjq=12种组合；若一名学

生物理和历史都选，则有C1=4种组合，因此共有12+4=16种组合.故选C.

2.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：

（1）甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？

（2）甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法有多少种？

解：（1）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选

法种数共有qqq=24（种）.

（2）甲、乙两人从4门课程中各选2门不同的选法种数为CgC%又甲、乙两人所选的2

门课程都相同的选法种数为q种，因此满足条件的不同选法种数为qq-q=30（种）.

考点三排列、组合的综合应用（应用型）

复习指导I先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答

问题只需三步即可完成.

第一步：选元素，即选出符合条件的元素；

第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列；

第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算总数.

（1）将标号为1，2,3,4的四个篮球分

给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小

朋友，则不同的分法种数为（）

A.15B.20

C.30D.42

（2）将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3

本，则有种不同的分法.

【解析】（1）四个篮球中两个分到一组有q种分法，三个篮球进行全排列有Aj种分法，

标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有Ag种分法，所以有qAj-A?=36—6=30种分法.

9

(2)先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生.先选1本，有C2种选法；再

从余下的5本中选2本，有Cg种选法；最后余下3本全选，有种选法.故共有

=60种选法.由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有60Ag=360种分配

方法.

【答案】(1)C(2)360

(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过

程进行分步.

(2)以元素为主时，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主时，先满足

特殊位置的要求，再考虑其他位置.

(3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，

一般先把复杂问题分解成若干个简单的基本问题，然后应用分类加法计数原理或分步乘法计

数原理来解决，一般遵循先选后排的原则.

10

1.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、8、C三个不同社区进行帮扶活动，每

人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的

安排方法种数为（）

A.8B.7

C.6D.5

解析：选B.根据题意，分2种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人安

排到8、C社区即可，有Ay=2种情况，②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙丁都

去3社区，有1种情况，若丙丁中有1人去8社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B社

区，剩下1人安排到A或C社区，有2X2=4种情况，则不同的安排方法种数有2+1+4

=7种.故选B.

2.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中

奇数的个数为（）

A.24B.18

C.12D.6

解析：选B.从0,2中选一个数字0,则0只能排在十位，从1,3,5中选两个数字

排在个位与百位，共有Ag=6种；从0,2中选一个数字2,则2排在十位（或百位），从1,

3,5中选两个数字排在百位（或十位）、个位，共有A「Ag=12种，故共有Ag+AjA孑=18

种.故选B.

1基础题组练］

1.（2020•广西桂林一模）中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》;

现甲、乙、丙、丁、戊5名同学各选一本书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》,

乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有（）

A.18种B.24种

C.36种D.54种

II

解析：选D.（1）若甲选《春秋》，则有QA§=18种情况；（2）若甲不选《春秋》，则有

AgAg=36种情况.所以5名同学所有可能的选择有18+36=54种.故选D.

2.（2020•湖南长郡中学模拟）某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府

之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》

相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，

且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）

A.72种B.48种

C.36种D.24种

解析：选C.根据题意，分2步分析：将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定

的两首诗词进行全排列，共有A^=6种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》

插排在3个空里（最后一个空不排），有A§=6种排法，则后六场开场诗词的排法有6X6=36

种，故选C.

3.（2020•云南昆明模拟）现有6人坐成一排，任选其中3人相互调整座位（这3人中任何

一人都不能坐回原来的位置），其余3人座位不变，则不同的调整方案的种数有（）

A.30B.40

C.60D.90

解析：选B.根据题意，分2步进行分析：①从6人中选出3人，相互调整座位，有

C?=20种选法；②记选出相互调整座位的3人分别为A,B,C,则A有2种坐法，B,C

只有1种坐法，A,B,C相互调整座位有2种情况.则不同的调整方案有20X2=40种，

故选B.

4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法

共有（）

A.192种B.216种

C.240种D.288种

解析：选B.第一类：甲在最左端，有A『5X4X3X2X1=12O种方法；第二类：乙

在最左端，有4A?=4X4X3X2X1=96种方法.所以共有120+96=216种方法.

5.如图，/MON的边上有四点A/A2,&,A4，ON上有三点品，与，则以

O,A,ByB,吗中三点为顶点的三角形的个数为（）

A2,A3,42

12

A.30B.42

C.54D.56

解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有Cq种取法，再减去三点共线的

情形即可，即c?一q-q=42.

6.（2020・四川广安、眉山、内江、遂宁一诊）某地环保部门召集6家企业的负责人参加

座谈会，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的

3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（）

A.15B.30

C.35D.42

解析：选B.根据题意，分两类情况讨论：选出的3人中没有人来自甲企业，在其他5

个企业中任选3个即可，有Cg=10种情况；选出的3人中有人来自甲企业，则甲企业只能

有1人参与，在其他5个企业中任选2个即可，有2XCg=20种情况.则不同的情况共有

10+20=30种，故选B.

7.（2020•河南南阳模拟）把四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中,不允

许有空盒子的放法有（）

A.12种B.24种

C.36种D.48种

解析：选C.根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有

空盒，三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球，则分2步进行分

析：①先将四个不同的小球分成3组，有C^=6种分组方法；②将分好的3组全排列，对应

放到3个盒子中，有A§=6种放法.则不允许有空盒子的放法有6X6=36种.

8.（2020•广东韶关调研）某中学元旦晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目

甲必须排在节目乙的前面，节目丙不能排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共

13

有（）

A.720种B.360种

C.300种D.600种

解析：选C.先安排好除节目丙之外的5个节目，有太=60种可能，再安排节目丙，

有5种可能，共60X5=300种方案.故选C.

9.（多选）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三

门作为选考科目，下列说法错误的是（）

A.若任意选择三门课程，选法总数为

B.若物理和化学至少选一门，选法总数为c’q

c.若物理和历史不能同时选，选法总数为Cg-q

D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为Cjqq

解析：选ABD.对于A,若任意选择三门课程，选法总数为C＞错误；对于B,若物

理和化学选一门，有Cj种方法，其余两门从剩余的5门中选，有Cg种选法；若物理和化学

选两门，有Cy种选法，剩下一门从剩余的5门中选，有eg种选法，所以总数为c4q+gq,

错误；对于c,若物理和历史不能同时选，选法总数为cg-g・cg=c?-cg（种），正确；对

于D,有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选，有C]・q种选法；②选化学，不

选物理，有C|种选法：③物理与化学都选，有CyQ种选法，故总数为C]

+CyC[=6+10+4=20（种），错误.

10.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有

（）

A.250个B.249个

C.48个D.24个

解析：选C.①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有Aj=24（个）；②当千位上

的数字为3时，满足条件的四位数有Aj=24（个）.由分类加法计数原理得所有满足条件的四

位数共有24+24=48（个），故选C.

11.某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多

抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元（红包中金额相

同视为相同红包），则甲、乙都抢到红包的情况有（）

A.18种B.24种

C.36种D.48种

解析：选C.若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3

人中的2个人抢走，有A^A孑=12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2

个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AgAg=12种；若甲、乙抢的是一个8元和一个

10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A&q=6种；若甲、乙抢

14

的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Ag=6种，根据

分类加法计数原理可得，共有36种情况，故选C.

12.某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1,2,3,4中的任一个.现密

码破译者得知；甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两

个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同.则上述四人

所设密码最安全的是（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

解析：选C.甲所设密码共有CW]C,=48种不同设法，乙所设密码共有5咨=36种不

同设法，丙所设密码共有C?CjAg=144种不同设法，丁所设密码共有Af=24种不同设法，

所以丙最安全，故选C.

13.（2020•黑龙江哈尔滨三中期末）有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2

名女演员之间恰有1名男演员，则不同的出场顺序共种.

解析：有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演

员，则先排2名女演员，有A&种方法，然后插入1名男演员，有A、种方法，再把这3个人

当作一个整体，和其他2名男演员进行排列，有A,种方法.再根据分步乘法计数原理，可

得不同的出场顺序有AyA厂Ay=36种.

答案：36

14.从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有

一名代表，则各班级的代表数有种不同的选法.（用数字作答）

解析：由题意，从4个班级的学生中选出7名学生代表，每一个班级中至少有一名代表，

相当于7个球排成一排，然后插3块隔板把他们分成4份，即中间6个空位中选3个插板，

分成四份，共有Cg=20种不同的选法.

答案：20

15.（2020・湖北联考）某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停

车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享

汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为.

解析：设停车位有八个，这3辆共享汽车都不相邻：相当于先将（〃一3）个停车位排放好，

再将这3辆共享汽车，插入到所成的（"一2）个间隔中，故有A",种.恰有2辆共享汽车相邻，

可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将（〃一3）个停车位排好所

成的（"一2）个间隔中，故有AgA12种.因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽

车恰有2辆相邻的概率相等，所以A?2=AgA/,,解得“=10.

答案：10

15

16.（2020•浙江嘉兴一中、湖州中学联考）用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成

个无重复数字的三位数，也可以组成个能被5整除且无重复数字的五位

数.

解析：第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有CS=5种方法；第二步，

确定另外两个数位上的数，有Ag=5X4=20种方法，所以可以组成5X20=100个无重复

数字的三位数.

第二个空：被5整除且无重复数字的五位数的个位数上的数有2种情况：当个位数上的

数字是0时，其他数位上的数有A3=5X4X3X2=120种；当个位数上的数字是5时，先

确定最高数位上的数，有C]=4种方法，而后确定其他三个数位上的数有Aj=4X3X2=24

种方法，所以共有24X4=96个数.根据分类加法计算原理，可得共有120+96=216个数.

答案：100216

[综合题组练1

1.将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.若每个盒子放2

个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有（）

A.12种B.16种

C.18种D.36种

解析：选C.先将标号为1,2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均

放入剩下的2个盒子中，共有。C±A『6种情况,所以不同的方法共有3X6=18（种）.

2.（多选）（2020•山东日照期末）把四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的

盒子中，不允许有空盒子的放法有（）

A.CjQCiQ种B.qA。种

C.CJC3A3种D.18种

解析：选BC.根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的盒子