2024届宁夏海原县一中数学高二年级上册期末学业水平测试试题 含解析

2024届宁夏海原县一中数学高二上期末学业水平测试试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.为了防控新冠病毒肺炎疫情，某市疾控中心检测人员对外来入市人员进行核酸检测，人员甲、乙均被检测.设命题。

为“甲核酸检测结果为阴性”，命题4为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴

性”可表示为()

AHB.P2

C.pD.(力)v(—

2.若椭圆C:如2+冲2=1与直线+y—1=0交于A,3两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为行，则一=

n

1

A.・---

22

C.y/2D.2

3.已知向量;=Z?=(-l,0,-2),且左o+〃与2a—b互相垂直，贝!U的值是().

1

A.lB.-

5

37

C.-D.一

55

4.丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下

了很多宝贵的成果.设函数〃%)在涉)上的导函数为/'(%),/'(x)在(。力)上的导函数为了"(1),在(。2)上

/"(%)＞。恒成立，则称函数/(%)在(。力)上为“凹函数”.则下列函数在(0,21)上是“凹函数”的是()

A./(x)=x-sinxB./(x)=x2+sinx

C./(x)=x+lnxD./(x)=e^-xlnx

22

5.已知6,B为椭圆工+匕=1的两个焦点，过耳的直线交椭圆于A,3两点，若内H+优到=10,贝!()

916

A.2B.4

C.6D.10

6.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等

于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为。

A/5—1„Vs—1

B.

4----------------------------2

C非+1D4+1

4~2

7.抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋

转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点

在它的主光轴上.如图所示的太阳灶中，灶深。即焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为1m,则灶口直径A5为（）

A.2mB.3m

C.4mD.5m

8.已知长方体ABC。—A4G〃中,AB=BC=4,CC[=2,则平面与平面ABC。所成的锐二面角的余

弦值为O

A化R百

A.------15.------

33

C.交D.-

22

22

9.已知双曲线。：斗―]〉0）的左、右焦点分别为《，耳过点£的直线与圆必+>2=/相切于点。，

交双曲线的右支于点尸，且点。是线段尸耳的中点，则双曲线。的渐近线方程为（）

“土与

B.y=±—x

32

C.y=+y/3xD.y=i2x

10.曲线y=lnx在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为（)

D.一

e

11.在ABC中，5=30。，BC=2,AB=y/3,则边AC的长等于（

A.73-1

C.V3

12.我国的刺绣有着悠久的历史，如图，⑴⑵⑶（4）为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正

方形个数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第〃个图形包含/（"）个小正方形，则

/（"）的表达式为（）

(1)(2)

A.=B./(〃)=2n

C.f（n）=2n2-2nD./（n）=2n2—2n+1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.假设要考查某公司生产的500g袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法

抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001,L,799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到

的第4个的样本个体的编号是

（下面摘取了随机数表第7行到第9行）

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695566719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

2

14.与双曲线:-y2=i有共同的渐近线，并且经过点（2,的双曲线方程是

15.已知直线乙：（a—3）x+（4—a）y+1=0与4,:2（a—3）x—2y+2=0平行，贝!]a=.

16.银行一年定期的存款的利率为p,如果将“元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年

定期……，则10年后到期本利共________元

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在①与〃=2d+1,②生=伪+4,③瓦,%，&成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，

补充在下面的问题中，并求解.

b

已知数列｛4｝中％=1,%=3%公差不等于0的等差数列｛2｝满足,求数列1的前1项和S”.

18.（12分）如图，在三棱锥S—A5C中，平面S4CL平面ABC,且5A=A5=AC=2,SAC=^BAC=120

(1)求证：SBLACx

(2)求直线SA与8C所成角的余弦值

19.(12分)已知椭圆E:]+A=l(a〉5〉0)经过点尸[百,gj,左焦点为尸卜相,0).

(I)求椭圆E的方程；

(II)若A是椭圆E的右顶点，过点产且斜率为;的直线交椭圆E于两点，求♦4VW的面积.

20.(12分)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2A—GsinA+2=0.

(1)求A；

(2)若6+C=6G，求一ABC外接圆面积的最小值.

21.(12分)设函数=+*-%-2.

(1)求/(%)在x=-2处的切线方程；

(2)求/(%)的极小值点和极大值点.

22]

22.(10分)已知椭圆C：三+方_=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为尸1,F1,离心率为不，椭圆C上点M满足

|町|+附闾=4

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)若过坐标原点。(。,0)的直线/交椭圆C于P,。两点，求线段尸。长为亚时直线/的方程

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】表示出和r,直接判断即可.

【题目详解】命题，为“甲核酸检测结果为阴性”，则命题M为“甲核酸检测结果不是阴性”；

命题q为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题f为“乙核酸检测结果不是阴性”.

故命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为

故选D.

2、D

【解题分析】细查题意，把>=1-岳代入椭圆方程如2+争2=1,得盛2+”（1一衣:>=1,整理得出

（m+2n）x2-2j2nx+n-l=Q,设出点的坐标，由根与系数的关系可以推出线段A3的中点坐标，再由过原点

与线段A3的中点的直线的斜率为正，进而可推导出一的值.

n

【题目详解】联立椭圆方程以2+期2=1与直线方程岳+匕1=0,

可得町2+”（1_衣；）2=1,

整理得（m+2n）x2-2-Jlnx+〃-l=O,

设4（芯,必）,3（无2，%），

则西+々=汉近，

m+2n

从而线段AB的中点的横坐标为％=士乂=亚7-,纵坐标为=1-血/=—,

2m+2nm+2n

因为过原点与线段AB中点的直线的斜率为J5,

m

所以%=普=及，

72rlsJ2n

m+2n

rn

所以一=2,

n

故选D.

【题目点拨】该题是一道关于直线与椭圆的综合性题目，涉及到的知识点有直线与椭圆相交时对应的解题策略，中点

坐标公式，斜率坐标公式，属于简单题目.

3、D

【解题分析】利用向量的数量积为0可求人的值.

【题目详解】因左a+b与2o—b互相垂直，^[ka+b\（2a-b）=Q,

207

故2ka-b+（2—左）=0即2左义2—5—（2—左）=0,故左=1.

故选：D.

4、B

【解题分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出

【题目详解】对A,（x）=1-cosx,f（x）=sinX,当xe（兀,2兀）时,/"（九）<0,所以A错误；

对B,/，（%）=2x+cosx,（无）=2-sinx>0在（0,2"）上恒成立，所以B正确;

对C,/(x)=l+-,/ff(x)=-4<0,所以C错误;

XX

对D,f'（x）=ex-\nx-1,尸（力=靖一],因为，《卜万―e<0,所以D错误

故选：B

5、C

【解题分析】根据椭圆的定义可得闺山+|04|+|耳目+同同=4〃，由|耳山+优同=10即可求解.

22

【题目详解】由土+匕=1,可得。=4

916

根据椭圆的定义忻H+怩H+闺用+优同=4。=16,

所以用4|+闺同=6.

故选：c

6、C

【解题分析】设CD=a,PE=b,利用PO2=-CDPE得到关于a,b的方程，解方程即可得到答案.

2

【题目详解】如图，设CD=a,PE=b,则POMylPEjE?=

1/1AA

由题意R?2=—即2=化简得4(一)2—2.――1=0,

242aa

解得2=1±妇(负值舍去).

a4

故选：C

【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.

7、C

【解题分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为y2=2px(p>0),根据。(1,0)是抛物线的焦点,

求得抛物线的方程y2=4x,进而求得AB的长.

【题目详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，。与C重合，

设抛物线的方程为丁=2PMp>0),

由题意可得。(LO)是抛物线的焦点，即孑=1，可得P=2,

所以抛物线的方程为：/=4x,

当x=l时，|y|=2,所以=

故选：C.

【解题分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为加=(x,y,z),易知平面ABC。的一个法向量为

m-n

77=（0,0,1）,由COS'm,"

=mrrn求解•

【题目详解】建立如图所示空间直角坐标系:

则A（4,0,2）,2（4,4,0）,G（0,4,2）,

所以=（0,4,-2）,AC=H，4,0）,

设平面AtBQ的一个法向量为m=（x,y,z）,

A,Bm=014y—2z=0

则《，即《,

A^C-m=01—4x+4y=0

令z=2,贝!|加=（1,1,2）,

易知平面ABCD的一个法向量为n=（0,0,1）,

所以侬/⑪\加m-n丽飞2。v6，

所以平面与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为—,

3

故选：A

9、D

【解题分析】焦点三角形问题，可结合。。为三角形片尸耳的中位线，。。，耳「判断：焦点三角形月为直角三角

形，并且有工尸=2。，耳尸=4。，可由勾股定理得出关系，从而得到。力关系，从而求得渐近线方程.

【题目详解】由题意知，。。,耳尸，且

点Q是线段P4的中点，点。是线段耳耳的中点，。。为三角形耳尸耳的中位线

故。Q//&P,故K与尸

F2P=2OQ=2a,由双曲线定义有6P=2a+吗P=4a

2

由勾股定理有FF+F2P=F]F；

故(2a)2+(4°y=(2c)2

贝！1°2=5标

贝!I〃+尸=5〃，故b=2a

b

故渐近线方程为：y=±—x=±2x

a

故选：D

【题目点拨】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利

用正弦定理、余弦定理、||PFi|-|PF2||=2a,得到a,c的关系

10、D

【解题分析】设出四点坐标，结合导数列方程，由此求得切点坐标并求得切线的斜率.

【题目详解】设切点为a，lnt),y=-,故在/点的切线的斜率为L

xt

b”lnZ^-01

所以------=一=>%=e,

t—0t

所以切点为(e,l),切线的斜率为

e

故选:D

11、B

【解题分析】利用余弦定理即得

【题目详解】由余弦定理，#AC2=AB2+BC2-2AB-BCCOSB=3+4-2A/3X2X^=1，

解得AC=1

故选：B.

12、D

【解题分析】先分别观察给出正方体的个数为：1,1+4,1+4+8,•……，总结一般性的规律，将一般性的数列转

化为特殊的数列再求解

【题目详解】解：根据前面四个发现规律：/⑵—=”3)-〃2)=4x2,/(4)-/(3)=4x3,……，

/⑺-仆-1)=4(〃-1),

累力口得：/(«)-/(1)=4X[1+2+……+(〃-1)]=4xD=2"(〃-1)=2二一2n,

"1)=1

/(n)=2n2-2n+l,

故选：D

【题目点拨】本题主要考查了归纳推理，属于中档题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、【解题分析】根据随机数表法依次列举出来即可.

【题目详解】根据随机数表法最先检测的3袋牛奶编号为：331、572、455、068.

故答案为：068.

22

14、乙-土=1

416

【解题分析】设双曲线的方程为必-4/=彳，将点(2,石)代入方程可求彳的值，从而可得结果

【题目详解】设与双曲线＞-丁2=1有共同的渐近线的双曲线的方程为％2—4,2=4,

该双曲线经过点倒,6)，

.•.4=4—4*5=—16

所求的双曲线方程为：^2-4/=-16,

22

整理得2L—L=i

416

22

故答案为匕-土=1

416

【题目点拨】本题考查双曲线的方程与简单性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.与

2222

斗-2=1共渐近线的双曲线方程可设为「-勺=X,只需根据已知条件求出2即可.

a2吩a2b2

15、3

【解题分析】根据平行可得斜率相等列出关于参数的方程，解方程进行检验即可求解.

【题目详解】因为直线4：(a—3)x+(4—a)y+l=O与4：2(a—3)x—2y+2=0平行，

所以—2(a—3)—2(4—a)(a—3)=0,解得。=3或。=5,

又因为a=5时，4：2x—y+l=0,l2.4x—2y+2=0,

所以直线4，4重合故舍去，

W«=3,/1：y+l=0,/2:-2y+2=0,所以两直线平行.

所以a=3,

故答案为：3.

【题目点拨】⑴当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊

情况.同时还要注意X,y的系数不能同时为零这一隐含条件

⑵在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论

16、+

【解题分析】根据题意求出每年底的本利和，归纳即可.

【题目详解】由题意知，

第一年本利和为：a(l+p)元，

第二年本利和为：a(l+p)(l+p)=a(l+p)2元，

第三年本利和为:a(l+p)2(l+p)=a(l+p)3元,

以此类推，

第十年本利和为：a(l+p)i0元，

故答案：a(l+p)10

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、详见解析

【解题分析】根据已知求出｛4｝的通项公式.

当①②时，设数列｛2｝公差为d,利用赋值法得到伪与打的关系式，列方程求出片与打，求出d,写出｛2｝的通项

公式，可得数列1b的通项公式，利用错位相减法求和即可;

b

选②③时，设数列｛2｝公差为d,根据题意得到d与伪的关系式，解出d与伪，写出｛〃｝的通项公式，可得数列—,

4,

的通项公式，利用错位相减法求和即可;

选①③时，设数列｛2｝公差为d,根据题意得到d与々的关系式，发现无解，则等差数列｛2｝不存在，故不合题意.

【题目详解】解：因为％=1,an+l=3an,

所以｛4｝是以1为首项，3为公比的等比数列,

所以a“=3"T,

选①②时,

设数列｛4｝公差为2,

因为%=3,所以4+4=3,

因为。2“=24+1,所以〃=1时，伪=24+1,

275

解得4=；；,b.=-,所以1=一,

3-33

所以“=学

b5〃一3

所以「〒

Un,

+—+S+5n-3

T+3+一（力

123

a2an333

所以“27125n-85H-3

-r+-T+F++--------1--------7(w)

3233343〃3〃M

225n-3

(i)—(«),得：—+5

3向

_25155n-3

-3+6-2-3n+1―-3^

310”+9

2~2.3,!+1

斫以q9l0,+9

选②③时，

设数列｛2｝公差为2,

因为%=3,所以4+人2=3,即24+d=3,

因为仇,打，打成等比数列，所以包2=4〃，即佃+d）2=4（4+3d）,

化简得解=[d,

因为dwO,所以伪=d,从而d=4=1,所以b“=n,

b“n

所以丁=*，

an3

O442123n

臬下+7+[="+?++F⑴

123n-1〃/、

所町S〃=k三+于++尸+三®

⑺-⑺，得：|s”=i+:+"+，++击学

32〃+3

~2~2-3"

b…092〃+3

所以S〃=----------7.

"44・3"T

选①③时，

设数列｛2｝公差为2,

因为瓦”=2。“+1,

所以”=1时，b2=lbx+l,

所以d=4+1.

又因为4，为，〃成等比数列，

所以，=。也，即伍+d『=4(4+3d),

化简得屋=加，

因为dwO,所以伪=d,从而无解，

所以等差数列｛bn｝不存在，故不合题意.

【题目点拨】本题考查了等差(比)数列的通项公式，考查了错位相减法在数列求和中的应用，考查了转化能力与方

程思想，属于中档题.

18、(1)证明见解析；

⑵正.

4

【解题分析】(1)过S点作SOLC4交C4的延长线于点。，连接08,由5OLC4,S0LC4,证出AC,平面SOB,

即可证出SB_LAC.

(2)以。为原点，。5,。。,。5的方向分别为国％2轴正方向，建立空间直角坐标系，

写出相应点的坐标，利用cos(SA,3C)，即可得到答案.

【小问1详解】

过S点作SOLC4交C4的延长线于点0,连接08,

因为/&4。=/胡。=120，所以/&40=/期0=60，

又因为SA=AB,AO=A。，所以_S4O三540,

所以/504=/6。4=90，即50,04，SO±CA.

因为SOcBOn。，所以AC，平面SOB,

因为SBu平面SOB,所以S5_LAC

【小问2详解】

因为平面S4CL平面ABC,平面&4c平面ABC=AC,SO，C4,

所以SO_L平面ABC,

以。为原点，OBQCQS的方向分别为％，%z轴正方向，

则A（0,l,0）,C（0,3,0）,B（A0,0）,S（0,0,73）,可得

SA=（0,1,-73）,BC=（-73,3,0）,

/c4"\SABC373

因为COS（SA,BC）=-j---—n-=-------——,

因为\'|SA||BC|2-y/n4，

所以直线SA与BC所成角的余弦值为显

4

以⑴〜1；⑺*叵

【解题分析】（I）由椭圆的定义求出。的值，由廿二4―02求出代入，得到椭圆的方程；（H）由点斜式求出

直线的方程，设M4，M）,N（X2，%），联立直线与椭圆方程，求出|%一必|的值，再算出AAMN的面积

试题解析（I）由椭圆的定义得：j（石+C『+：+；=2ana=2

又C=A/3>故Z?2=a?—C?=1,

二椭圆E的方程为：—+/=!•

(II)过网—百,0)的直线方程为y=g(x+6),|A司=2+石，

y=1(%+73)

联立<2=8丁—-1=0,

——x+y2=1i

[4

[+6

%+%=---

设M(X，X)，N(X2，%)，则｛:=|乂一%|=-^,

IO

.A2W的面积=[4用.|%_%|=3(2+6)•岑

点睛：本题主要考查了求椭圆的方程，直线与椭圆相交时弦长的计算等，属于中档题.在（H）中，注意AAMN的

面积的计算公式

20、（1）A=—

3

(2)9万

【解题分析】（1）利用二倍角公式将已知转化为正弦函数，解一元二次方程可得;

（2）由余弦定理和（1）可求a的最小值，再由正弦定理可得外接圆半径的最小值，然后可解.

【小问1详解】

因为cos2A—GsinA+2=0,所以—2sin2A—6sinA+3=0，

解得sinA=^或sinA=-&（舍去）,

2

7T

又一ABC为锐角三角形，所以A=§.

【小问2详解】

因为"=b2+c2-2bccosA=b2+C1-be=（b+c^-3bc>"=27，

当且仅当沙=c时，等号成立，所以a23G.

ABC外接圆的半径R=」一=叵23,故.ABC外接圆面积的最小值为9万.

2sinA3

21、（1）7x-y+10=0；

（2）极大