四大分布：两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布（十个题型）-高考数学复习题型练习（解析版）

考向42四大分布：两点分

布、二项分布、超几何分布与

正态分布

JZ典题型:豆

经典题型一：两点分布

经典题型二：〃次独立重复试验

经典题型三：二项分布

经典题型四：超几何分布

经典题型五：二项分布与超几何分布的综合应用

经典题型六：正态密度函数与正态曲线的性质

经典题型七：正态曲线概率的计算

经典题型八：根据正态曲线的对称性求参数

经典题型九：正态分布的实际应用

经典题型十：标准正态分布的应用

f------------------------------HMBv

?经典真题)

1.(2021•全国•高考真题)某物理量的测量结果服从正态分布N(IO,/),下列结论中不正确的是()

A.b越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

【答案】D

【解析】对于A,d为数据的方差，所以b越小，数据在〃=10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)

内的概率越大，故A正确;

对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确；

对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,

故C正确；

对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10∙2,10.3)的概率不同，所以一次测量结

果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误.

故选：D.

2.(2022•全国•高考真题)已知随机变量X服从正态分布N(2,〃)，且P(2<X≤2.5)=0.36,则

P(X>2.5)=.

【答案】0」4

【解析】因为XN(2,〃)，所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此

P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.

故答案为：。14.

知识点一.两点分布

1、若随机变量X服从两点分布，即其分布列为

^θɪ

PI-PP

其中0<p<l,则称离散型随机变量X服从参数为。的两点分布.其中P(X=I)称为成功概率.

注意：

(I)两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1；

(2)两点分布又称0-1分布、伯努利分布，其应用十分广泛.

2、两点分布的均值与方差：若随机变量X服从参数为P的两点分布，则E(X)=lχp+0χ(I-P)=p,

ZXX)=MI-P).

知识点二."次独立重复试验

1、定义

一般地，在相同条件下重复做的«次试验称为〃次独立重复试验.

注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验

都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.

2、特点

(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的；

(2)每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例.

知识点三.二项分布

1、定义

一般地，在"次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p,

不发生的概率4=1-P,那么事件A恰好发生火次的概率是P(X=&)=CPzi(Z=O,1,2........n)

于是得到X的分布列

X01kn

PCw^c[7FCPv)

由于表中第二行恰好是二项式展开式

,a

(⅛+p)'=Cθpq"+C',,p'q"-'++CPI"”+∙+C：p"q。各对应项的值，称这样的离散型随机变量X

服从参数为"，P的二项分布，记作X〜3(n，p),并称〃为成功概率.

注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即”=1时的二项分布，所以二

项分布可以看成是两点分布的一般形式.

2、二项分布的适用范围及本质

(1)适用范围：

①各次试验中的事件是相互独立的；

②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；

③随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.

(2)本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.

3、二项分布的期望、方差

若X〜B(H,p),则E(X)=,w,D(X)=πp(l-p).

知识点四.超几何分布

1、定义

在含有用件次品的N件产品中，任取”件，其中恰有X件次品，则事件{X=Q发生的概率为

「k「ii-k

m,

P(X=k)=M:一M,%=。，1,2,其中"z=min{M,n},且〃≤N,M≤N,M,NeN",

称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分

布.

X01m

「inf›n-m

LMLN-M.—

P

~cΓ55

2、超几何分布的适用范围件及本质

(1)适用范围:

①考察对象分两类；

②已知各类对象的个数；

③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数y的概率分布.

(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的.

知识点五、正态曲线

1_^^2√~

1、定义：我们把函数外,，a)=√⅛σeX∈(-∞,+8)(其中〃是样本均值，b是样本标准差)

的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.正态曲线呈钟形，即中间高，两边低.

2、正态曲线的性质

(1)曲线位于X轴上方，与X轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线X=〃对称；

(3)曲线在X=〃处达到峰值(最大值)-ɪ;

√2πσ

(4)曲线与X轴之间的面积为1；

(5)当b一定时，曲线的位置由M确定，曲线随着M的变化而沿X轴平移，如图甲所示：

(6)当4一定时，曲线的形状由b确定.b越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；b越大,

知识点六、正态分布

1、定义

随机变量X落在区间3,句的概率为P("<X≤b)=j]%"(x)dx,即由正态曲线，过点3,0)和点

(b,0)的两条X轴的垂线,及X轴所围成的平面图形的面积,如下图中阴影部分所示,就是X落在区间(“，b]

的概率的近似值.

一般地，如果对于任何实数α,b(a<b),随机变量X满足尸("X≤b)=f%.(x)dx,则称随机变量X

服从正态分布.正态分布完全由参数M,b确定，因此正态分布常记作NJ,/).如果随机变量X服从正

态分布，则记为XN(μ,σ2).

其中，参数〃是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；b是衡量随机变

量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.

2、3b原则

若XNO，/),则对于任意的实数。>0,尸(〃-α<X≤∕∕+α)=J""9必(T(X)dx为下图中阴影部分的

面积，对于固定的4和。而言，该面积随着b的减小而变大.这说明b越小，X落在区间(〃-α,"+α］的概

率越大，即X集中在〃周围的概率越大

,

特别地，有尸(〃-cr<X≤"+cr)=O.6826;F(ju-2σ<X≤∕J+2σ)=0.9544；

P(∕∕-3b<X≤"+3b)=0.9974.

由P(〃-3cr<X≤〃+3σ■)=0.9974,知正态总体几乎总取值于区间(〃-3σ^,〃+3cr)之内.而在此区间

以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件.在实际

应用中，通常认为服从于正态分布N(〃，〃)的随机变量X只取(〃-30,〃+3。)之间的值，并简称之为3b

原则.

1、在解决有关问题时,通常认为服从正态分布的随机变量X只取(〃-3(τ,〃+3b)之间的值.如

果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况.

2、求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法:

(1)根据题目中给出的条件确定〃与b的值.

(2)将待求问题向(〃-b,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,〃+3b]这三个区间进行转化；

(3)利用尤在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与X轴之间的面积为1求出最后结果.

3、假设检验的思想

(1)统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽

测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设.

(2)若随机变量服从正态分布则^落在区间(〃-34〃+36内的概率为0.9974,亦即落

在区间(〃-3b,〃+3b]之外的概率为0.0026,此为小概率事件.如果此事件发生了，就说明〈不服从正态

分布.

(3)对于小概率事件要有一个正确的理解：

小概率事件是指发生的概率小于3%的事件.对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约

33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的.不过应注意两点：一是这里的“几

乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运

用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性.

4、超几何分布和二项分布的区别

(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

(2)超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；

而二项分布是“有放回”抽取(独立重复)，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.

T经典题》蒙

经典题型一：两点分布

题型一：两点分布

1.(2022•全国•高三专题练习).若随机变量J的分布列为，其中m∈(0,l),则下列结果中正确的是

ξO]

Pmn

A.E[ξ)=m,D[ξ~)=ni

B.E(J)=,%O(J)=〃2

C.E(⅞)=∖-m,O(⅞)=m-nv

D.E^)=↑-m,D(ξ)=m2

【答案】C

【解析】由离散型随机变量的概率关系可知："=l-m.则

E^ξ^=O×m+∖×n=n=∖-nr,

£>(<)=[θ-(l-"?)丁«2+1^1—(1—wɪ)ʃ(1—m)=m-m2

2.(2022•河北•高三阶段练习)新型冠状病毒肺炎(C"θ""□wsOisease2019,CoVTO-19),简称“新冠肺

炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎

病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构

在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结

果为阴性，则未患有该疾病.现有〃(〃G^Γ,〃≥2)个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：

逐份检验，需要检验〃次；方案二：混合检验，将"份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性,

则〃个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对，7份血液逐份检验，此时共需要检验〃+1次.

⑴若〃=10,且其中两人患有该疾病，

①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；

②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；

(2)已知每个人患该疾病的概率为p(0<p<l).

(i)采用方案二，记检验次数为X,求检验次数X的期望E(X);

(H)若〃=5,判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由.

产c=2X_8X_1_X_8___2X_I_=2

【解析】(1)①根据题意可得：一10981098-45；

p_5eɜJ4

②根据题意可得：U5-9；

2,°

(2)(i)根据题意：X的取值为1,〃+1,

P(X=I)=(Jp)",P(X=∕2+l)=l-(l-p)n,

所以E(X)=(I-p)"+5+l)[l-(l-p)[;

(ii)当〃=5时，方案一：检验的次数为5次,

方案I：检查的次数期望为E(X)=(I-p)∕[l-(l-p)[,

E(X)-5=[6-5(l-p),]-5=1-5(1-/?)5,

记g(p)=l-5(l-p)',

因为O<l-p<l,所以g(p)单调递增,

当P=I-古时，g(p)=o,

所以当时，g(p)<O,则E(X)<5,

当l*<p<l时,g(p)>0,则E(X)>5,

故当0<p<l-靠时，选择方案二;

当1-表时，选择方案一；

当P=I-表时，选择两种方案检查次数一样.

3.(2022•全国•高三专题练习)2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社

区，受到了全社会的关注.为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为

了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有Z个人，把这女个人的血液混合在一起检验，若检

验结果为阴性，这人个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k

个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这4个人再逐个进行检验.假设在接受检验的人群中，随机抽一人核

酸检测呈阳性概率为P=0.003,每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的.核酸检测通常有两种分

组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组.

(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；

(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由.

(参考数据：0.997s=0.976,0.997l0=0.970)

【解析】(1)设方案一中每组的化验次数为S,则J的取值为1,11,

.∙.P(ξ=I)=0.997l°=0.970,PC=II)=I-0.997∣°=0.030,

.∙∙4的分布列为：

S111

P0.9700.030

Ee)=1×0.970+11×0.030=1.300.

设方案二中每组的化验次数为"，则〃的取值为1,9,

88

P(η=1)=0.997=0.976,P(z7=9)=l-0.997=0.024,

，〃的分布列为:

19

P0.9760.024

二£(//)=l×0.976+9×0.024=1.192.

(2)根据方案一，该社区化验分组数为200,

方案•的化验总次数的期望值为：200E(X)=200x1.3=260次.

根据方案二，该社区化验分组数为250,

方案二的化验总次数的期望为250E(γ)=250x1.192=298次.

∙.∙260<298,.∙.方案一工作量更少.故选择方案一.

4.(2022•全国•高三专题练习)某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职

工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位分为4、B、C

三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示

(并以此估计赔付概率).

工种类别ABC

121

赔付频率

方IOT

职工类别分布扇形图

A、B、C工种职工每人每年的保费分别为。元，。元，b元,出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200

万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.

(1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%,试确定保费”,匕所要满足的条件.

（2）现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相

同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%,职工个人负责保费

的40%,出险后赔偿金由保险公司赔付.若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案

一的，求〃，6所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案

一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）.

【解析】（1）设工种为48,C职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量X』,Z,则随机变量的分布列

如下：

Xaɑ-I(X)XlO4

1-x1

P

105Tor

Yaa-100×104

ι-Λ2

P

105存

Zb⅛-50×104

1-i1

P

105

E(X)=α(l-p-)+(α-100×104)×-=α-10,

22

4

E(r)=α(l-^)+(a-I00×10)×^r=A-20,

4

E(Z)=⅛(l-py)+(⅛-50×10)×py=⅛-50,

由题意(aT0)x20000x0.6+(a-20)x20000x0.3+(c-50)x20000x0.1-10xl04

>(fz×20000×0.6+6i×20000×0.3+⅛×20000×0.1)×0.2,

化简得9α+b≥275.

所以每张保单的保费需要满足9α+bZ275;

（2）若企业不与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为

121

2(XXX)×(O.6×-×1OO×1O4+O.3×-×1OO×1O4+O.1×-×5O×1O4)=17x20000,

若企业与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为

20000×(0.6×α+0.3×a+0.l×⅛)×0,6=(9a+b)×0.06×20000,

山(9α+匕)x0.06x20000<17x20000,得94+%<283.33,结果与(1)不冲突，所以企业有可能与保险公司

合作.

经典题型二："次独立重复试验

5.(2022•湖北•高三阶段练习)甲，乙，丙三人进行相互传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时,

传球者都等可能地将球传给另外两个人中的一人.

(1)当传球3次后就停止传球，求球在乙手上次数的分布列与期望；

(2)求第"次传球后球恰好在甲手上的概率.

【解析】(I)第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，

甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，

记球在乙手上次数为X,则X可能为：0,I,2；

152

P(X=O)=-,P(X=I)=-:P(X=2)=g;

OOO

X的分布列为：

X012

ɪ52

P(X)

888

1529

所以£：(乂)=0＞三+以三+2'三=3.

OOOO

(2)n次传球后球恰好在甲手中的事件记为4,则有4÷l=44÷ι+44÷∣,

3

令P,,=P(A),贝UP(AjA.)=0,∕(A,+l∣A,)=p

,

于是得∕(Λ+1)=P(A,)P(A,+I∣A,,)+p(Z)p(A,,+Z)=p,,∙o+g(ι-o3

因此，P,,+I=；(I-P,)，则=，

而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即PI=O，则有P

数列｛Λ,-∣｝是以-g为首项，为公比的等比数列，

p"-⅛｛Γ整理得*

所以«次传球后球在甲手中的概率是Pn=

6.(2022•湖南•周南中学高三阶段练习)某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由

近及远设置的A，B,C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进4

桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进8桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游

客面值90元的景区消费券；投不进则没有奖励.游客各次投球是否投进相互独立.

(1)向A桶投球3次，每次投进的概率为p,记投进2次的概率为/(p),求/(P)的极大值点外；

(2)游客甲投进A,B,C三桶的概率分别为5兄，木4，-P0,若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球

更有利？说明理由.

【解析】⑴3次向A桶投球投进2次的概率/(P)=C"(1-p)=-3p3+3p2.

贝IJr(P)=-9∕√+6p.令r(p)=0,得P=(∙

当Pe(OS时，Γ(p)>0;当PD时,r(p)<0.

∙∙∙f(p)在(o,∣)上单调递增,在(|，1)单调递减,

•••所以〃P)的极大值点兄=；.

ɪɪɪ

(2)由(1)得游客甲投进4,B,C三桶的概率分别为5,5,ɪθ.

设投进A桶的纯收入为X元，f(X)=10×→(-10)×∣=-y；

14

设投进8桶的纯收入为y元.E(y)=50×-+(-10)×-=2;

19

设投进C桶的纯收入为Z兀，E(Z)=80×-+(-10)×-=-1；

因为E(X)<E(Z)<E(Y),所以游客甲选择向B桶投球更有利.

7.(2022•青海•模拟预测(理))“数字华容道”是一款流行的益智游戏."X〃的正方形盘中有(/-1)个小

滑块，对应数字1至〃2一1.初始状态下，所有滑块打乱位置，并保证第〃行第”列为空格.游戏规则如下:

玩家经过移动小方块，将“1”归位，即将“1”由初始状态移动至“目标位置”(第一行第一列)，如图情况下最

少3步即可(“初始”至“移动3”).假设所有玩家始终用最少的移动步数进行移动.

初始移动1移动2移动3

(1)如图，图1,图2分别为二阶、三阶华容道，数字表示“以该处为T的初始位置，将其移动到，目标位置'

(第一行第一列)所需的最少移动次数”，请在图2三阶华容道的空格里填上相应数字；

(2)对于3阶华容道，从8个可能位置中的某个出发，若最终需要的最少移动次数不超过7,则获得1积分,

求甲同学三轮之后不低于2分的概率；

(3)对于3阶华容道，若A、B两人各持一个华容道游戏盘，双方各自独立地从中间列初始位置中随机选取一

个开始游戏，设两人的步数之和为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X)∙

π【解析】(1)π“数字华容道”位置关于中间斜道(正方形的左上角到右下角)对称，则数字填写如图:

EJ

HZJU

P——=———

(2)由(1)知，3阶华容道，最少移动次数不超过7的概率82,即甲同学获得1积分的概率为2,

甲同学玩三阶华容道3轮获得的积分为乙则Pq≥2)=P(ξ=2)+Pc=3)=C；(g)2xg+*A=g,

所以甲同学三轮之后不低于2分的概率为

ɪ

(3)4,8各自独立地从3阶华容道中间列随机选取初始位置，概率均为

3阶华容道中间列的数字从上到下为5,7,9,则X的所有可能值为：10,12,14,16,18,

P(X=10)=∣×∣=l,P(X=I2)=C；XgXg=P(X=I4)=C；x；xg+gx；=g,

P(X=I6)=C5,X'X'=2,P(X=18)=l×l=i,

2339339

所以X的分布列为:

X1012141618

22

Pɪɪɪ

99399

12121

数学期望E(X)=I0X-+12X-+14X-+16X-+18X-=14.

99399

8.(2022•河南•模拟预测(理))某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查

结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占到40%,而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现

从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率).

(1)求抽取到的问卷中至少有两份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；

(2)记抽取到的问卷中调查结果为少于7小时的份数为X,求X的概率分布及数学期望E(X).

2

【解析】(I)根据题意可知每位学生每天睡眠时间少于7小时的概率为二，

3

每位学生每天睡眠时间不少于7小时的概率为M，

所以4份问卷中至少有两份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为：

513

625

(2)根据题意可知X=°J2,3,4,

贝IJP(X=O)=

P(X=3)=C：X(I)

X3—=-9-6-,

5625

2丫_16

P(X=4)5)^625

所以X的分布列为:

XO234

812162169616

P

625625625625625

X生+l丝+2x”+3x里+4χ也8

所以E(X)=Ox

6256256256256255

9.(2022•全国•二模(理))“百年征程波澜壮阔，百年初心历久弥坚”.为庆祝中国建党一百周年，哈市

某高中举办了“学党史、知党情、跟党走”的党史知识竞赛.比赛分为初赛和决赛两个环节，通过初赛选出两

名同学进行最终决赛.若该高中A,8两名学生通过激烈的竞争，取得了初赛的前两名，现进行决赛.规则

如下：设置5轮抢答，每轮抢到答题权并答对则该学生得1分，答错则对方得1分.当分差达到2分或答

满5轮时，比赛结束，得分高者获胜.已知A,B每轮均抢答且抢到答题权的概率分别为`，A,B每

一轮答对的概率都为T,且两人每轮是否回答正确均相互独立.

(1)求经过2轮抢答A赢得比赛的概率；：

(2)设经过抢答了X轮后决赛结束，求随机变量X的分布列和数学期望.

【解析】(1)记事件C为“经过2轮抢答4赢得比赛”

A学生每轮得一分的概率P(A)=IXg+gxg=g,

8学生每轮得一分的概率P(3)=gx；+gxg=g,

所以经过2轮抢答4赢得比赛的概率为

(2)X的可能取值为2,4,5.

2

2轮比赛甲赢或乙赢的概率为P(X=2)=2C；(g)ɪ

2

4轮比赛甲赢或乙赢的概率为P(X=4)=2C；；xgx；x；=；,

5轮比赛甲赢或乙赢的概率为P(X=5)=l-；-(=；.

X的分布列为：

X245

ɪɪ

Pɪ

2^44

I111313

E(X)=2X→4X→5X-=7,数学期望为T

经典题型三：二项分布

10.(2022•河北•石家庄二中模拟预测)食品安全问题越来越受到人们的重视.某超市在进某种蔬菜的货

前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，该种蔬菜才能在

该超市销售.已知每箱这种蔬菜第--轮检测不合格的概率为《，第二轮检测不合格的概率为:，第三轮检测

34

不合格的概率为g,每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测互不影响.

(1)求每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率；

(2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利200元，若不能在该超市销售，则每箱亏损100元，现有3

箱这种蔬菜，求这3箱蔬菜总收益X的分布列和数学期望.

【解析】(1)设每箱这种蔬菜能在该超市销售为事件A,

则。(A)=(V升~]|,

2

即每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率为

(2)X的所有可能取值为600,30(),0,-300.

因为P(X=600)=仔)=工P(X=300)=C#]χ3=弛，

L5y12515z∕5125

23|2=哉,尸”=-300)=

P(X=O)=c；XWX

所以X的分布列为

X6003000-300

8365427

P

125125125125

'且+3OOX至-30OX"=60.

所以E(X)=600

125125125

11.(2022•湖南•邵阳市第二中学模拟预测)2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一

个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会

的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”

两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据:

(1)“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数都超过30人的学校可以作为“参与冬奥运动积极学校”，现在从

这10所学校中随机选出3所，记X为选出“参与冬奥运动积极学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望;

(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、跳跃、停止”这4个动作技巧进行集训，且在集训中进行

了多轮测试.规定：在一轮测试中，这4个动作中至少有3个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在

集训测试中，小明同学“滑行”这个动作达到“优秀”的概率均为彳，其余每个动作达到“优秀”的概率都为S,

ɔɔ

每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5

次，那么理论上至少要进行多少轮测试？

【解析】(1)“单板滑雪''与"自由式滑雪”每项参与人数超过30人的学校共5所，X的所有可能取值为0、1、

2、3,

所以P(X=O)=2=(，P(X=I)=等P(X=2)=等喉P(X=3)=∙∣∙q,

LqO"jo"JoINLqo1,

所以X的分布列如下表:

X0123

1551

P

12121212

所以E(X)=OX'+lχ2+2χa+3x-i-=3

v7121212122

(2)记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件A,

P(A)=KXO)χ∣+3Cχ0+IXCX④*

由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布,

由题意可得27X"≥5,得到“W27,因为"∈N*,所以"的最小值为27,故至少要进行27轮测试.

27

12.(2022•福建泉州•模拟预测)随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋

激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的

重要指标——询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交

的概率，己知某网店共有10位客服，按询单率分为4,B两个等级(见下表)

等级AB

询单转化率[70%,90%)[50%,70%)

人数64

视A,3等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值，完成下列两个问题的解答：

(1)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于70%的概率；

(2)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网

店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网

店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为4,被任一位B等级客服

接待的概率为江若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则α应该控制在什么范围？

【解析】(1)依题意得：A,8等级客服的询单转化率分别为80%'60%,

设事件C表示“这4人的询单转化率的中位数不低于70%”，

A等级客服的人数为X,则X的可能取值为0,123,4,

对应每种情况的询单转化率中位数分别为60%,65%,70%,75%,80%,

故P(C)=I-P(X=O)-P(X=I)=I一善—等=1一击—益=H；

(2)设改革前后A等级客服的接待顾客人数分别为匕Z

改革前，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为6=4=1，

所以y~B(10000,野，则E(y)=1oooo×∣=6000.

因为A，8等级客服的询单转化率分别为80%,60%,

所以改革前日均成交人数为6∞0x80%+(IOooO-6000)x60%=7200,

改革后，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为P2=f>a,

所以Z~3(10000,64),则E(Z)=IOoOOX64=600004,

故改革后日均成交人数为60000〃x80%+(IoOoO-600004)x60%=120004+6000,

由12(XX)α+6(XX)≥72(X)+3(XK3:a≥-,(1)

8

因为每位顾客被一位A等级客服接待的概率为α,所以每位顾客被一位B等级客服接待的概率为b=上兽,

4

13

IOoOoa≤1300a<——

则1-6«，解得：［，，②

10000-一—≤1300、2

4Ci>—

25

__113Γl13

由①②得：Q-a-,所以〃应该控制在Q

810()LθIUU_

13.(2022•陕西•安康市教学研究室三模(理))某公司在年会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案

供员工选择.方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为:，第一次抽奖，若未中奖，则抽

奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反

面朝上，员工则获得奖金500元，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则需进行第二次抽奖，且在第二

次抽奖中，若中奖，则获得奖金IOOO元；若未中奖，则所获得奖金为。元.方案乙：员工连续三次抽奖，每

次中奖率均为(，每次中奖均可获得奖金500元.

(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；

(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？请说明理由.

2312133133139

P(X=0)=-+-×-×-=-P(X=500)=-×-=-P(X=IO(X))=-X-X-=-

【解析】(1)552525,5210,52550,

所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为

X05001000

1339

P

25Io50

39

EX=500×-÷1000×-=330

(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X的均值1050

13

若选择方案乙进行抽奖中奖次数y~,贝Ij£y=3xg=w，

抽奖所获奖金X的均值EX=E(500r)=500Ey=300,

故选择方案甲更划算.

综上，方案甲更划算.

14.(2022•黑龙江•大庆实验中学模拟预测(理))核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的

唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则

为阴性.某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为1.现有4例疑似病例，分别对

其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要

有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行

化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下两种方案：

方案一：逐个化验；

方案二：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验.

在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优

(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；

(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个较“优”？做出判断并说明理由.

ζ—β∣4,-1

【解析】(1)用J表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则I4A

由题意可知，设4个疑似病例中至少有1例呈阳性为事件A

P(A)=I-P(J=O)=I-

(2)方案一：逐个检验，检验次数为4.

方案1：每组两个样本检测时，呈阴性的概率为fl-」］=-

I4j16

设方案二的检测次数为随机变量匕则y的可能取值为2,4,6,所以

97126

p(y=4)=Cy____V_____—_______

1616^256

所以随机变量y的分布列为:

Y246

8112649

P

256256256

所以方案二检测次数Y的期望为E(y)=2x袅+4x空+6x当=婴=与.

2562562562564

则采取方案二较“优”.

15.(2022•河南安阳•模拟预测(理))某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，

切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免

费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”等便民服务措施.为了更好地了解人们对出行工具的选择，交管部门随

机抽取了IOOO人，做出如下统计表：

出行方式步行骑行自驾公共交通

比例5%25%